金融市场预测中数学的使用、误用和滥用，本文主要内容关键词为：市场预测论文,数学论文,金融论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引论
布莱克(F.Black)和舒尔茨(M.Scholes)干1973年在《政治经济学杂志》(Journal of Political Economy)上发表了关于“期权定价和公司负债”一文，而默顿(R.Merton)同年发表了“期权定价理论”，登载于《贝尔经济和管理科学杂志》上(Bell Journal of Economic and Management Science)。这些文章的发表是不容易的，因为文章所包含的某些观点与那时公众所掌握的关于金融工具定价的流行信念相冲突。然而，过了20多年之后，在1997年舒尔茨和默顿因为这方面的工作荣获了诺贝尔经济学奖，而布莱克在此2年前因病逝世。
在25年间，由于布莱克－舒尔茨模型的发展，金融世界不仅在数量上，而且在复杂性上都有了显著的增长。复杂衍生品的名义论价值(notional value)是以数百万兆美元来计量的。而个体交易者通常在20年前，就控制着价值高达数百万美元的合约，同时相应地获得了天文数字般的薪水。
从前，这些交易者可以在牛津研究历史，并通过校友关系网找到一份工作。在20世纪80年代，对银行来说，雇用没有受过大学教育的东伦敦街头小商贩(East End barrow boys)已成为一种时尚，交易中所需要的全部内容是直觉和浮夸。然而，后来那些具有数学和物理学博士学位的人被认为是掌握金融市场复杂性的合适人选。
对于做金融建模学术研究工作的人来讲，人们认识到先进的数学在如此重要的全球性行业中发挥了作用，这点的确令人高兴。可惜它并非它如此简单。金融理论发展前进的速度非常快，以致于数学被人们所误用和滥用。我们将考察一个用以阐明此问题的例子：宝洁公司(Procter & Gamble P&G)在其衍生证券交易中损失惨重的训练。
二、如何导致失败的例子
宝洁公司是一家主要制造美容和保健产品、食品和饮料、洗涤和清洁用品的跨国公司。宝洁公司拥有大量的利率和汇率风险敞口头寸。为了减少这种风险敞口，他们运用利率和货币的互换，即适度复杂的金融工具。在80年代后期和90年代初，宝洁公司对冲其风险敞口非常成功，还大量地运用金融工具在利率上进行投机。他们在这方面也获得了很大成功，从而促成其除正常行业外的利润。
在1993年的后期，宝洁公司希望进行一笔固定利率与浮动利率的互换，因为他们认为低利率水平仍会保持。只要利率不上升，一种非常基本的互换形式（称之为大众型，vanilla）就会看好。但是，他们做了些什么呢？银行家信托(BT)作为交易的另一方提出对互换进行某些修正来满足宝洁公司的要求。
交易在1993年11月2日成交，它是一份名义价值为2亿美元的5年期利率互换。交易合约中包括了少量非常规的内容。交易是这样的：银行家信托付给宝洁公司名义价值为2亿美元的5年固定利率。反之，P&G支付给BT头6个月的固定利率，此后利率被定义为：
其中r[,c]表示宝洁公司拥有的债券的利率，Y[,5]表示5年期国债收益，而P[,30]表示30年期国债的价格。国债收益和价格在1994年5月2日第一次支付时是已知的，此时在公式中可计算出其固定值。换句话说，收益和价格是为了锁定剩余下来的4年半的时期。
P&G能够从这笔交易中获得的最佳结果是希望利率在1993年11月的水平附近刚好保持住几个月，在此情况下，他们收益是0.0075×200（百万美元）×5=7.5（百万美元）。
5年和30年的利率在20世纪90年代的初期相当平稳地下跌。与短期收益的稳定性相匹配，他们或许会继续不断地这样做。然而，如果利率在11月到5月之间上升的话，情况会完全不同。
当5年收益增加时，表达式(1)的值会增大，如果30年债券价格上升，那么(1)式的值会减少。当然，如果30年收益上升，那么债券价格下跌，从而(2.1)式的值会增大。尽管这条收益曲线的斜率风险敞口较小，但是主要影响应取决于收益曲线的水平。在1993年11月份，于2023年8月到期6.25%息票债券价格为103.02美元左右，相应地对应于约5.97%的收益。5年国债收益率是4.95%，表达式(2.1)自然就是所需要的r[,c]-0.0075。然而，利率在1994年伊始上升，从而潜在的750万美元没有赚得；而宝洁公司损失近2亿美元。紧接着，宝洁公司以BT未披露有关信息为缘由起诉BT。此案件在庭外和解。
下面的内容是从宝洁公司在新闻媒体上发表的信息中摘录的。
宝洁公司银行家信托解决衍生证券诉讼案（1996年5月9日）
辛辛那提：1996年5月9日——宝洁公司今天为解决其诉讼银行家信托一案而达成一项协议。此诉讼包括两个衍生证券合约，银行家信托宣称，宝洁公司欠其大约2亿美元。在协议的条款中，宝洁公司将承担有争议部分的三千五百万美元，而银行家信托则承担其余部分，大致占总数量的83%。
其实从收益曲线的移动中算出潜在损失是不难的。在表1中，假设利率变化导致收益曲线平行移动，宝洁公司在利率上升大致0.7%之后，开始受到损失。此后，利率每变动1个百分点他们损失230万美元。在1994年5月2日，5年和30年的利率分别上升为6.687%和7.328%，而平均利率上升超过1.5%。
表1 收益曲线平行移动对P&G损失的影响
平行移动（%）0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
5年收益（%） 4.95 5.45 5.95 6.45 6.95
30年债券价格103.02 97.77 93.04 88.74 84.82
30年收益（%）5.97 6.47 6.97 7.47 7.97
4.5年所损失的（百万美元）0
0
75
190
302
美国利率变化的历史数据资料间接地表明，在宝洁公司开始遭受损失时存在着14%的机会使利率上升超过0.7%。存在着3%的机会使利率上升1.5%，或者更高。运用这些数据资料来计算出超过5年的期望利润，人们发现它是-870万美元，而不是所期望的750万美元。宝洁公司或银行家信托做过如此简单的计算吗？虽然引发问题的金融工具能够使用非常高水准的数学来建模，这种简单计算仍有着显著的作用。
三、布莱克－舒尔茨－默顿理论
在我们考察数学在金融市场发展中的作用之前，我们需要知晓一些市场中可运用的金融工具。我们将仅谈论一些最简单的工具，然后运用它们来作为引出许多思想和概念的切入点：现今存在着众多的金融产品，其中一些产品非常复杂。
股票（股份或者权益）是构成公司的一个组成部分。它的价值名义上是依赖于公司的价值，但是更直接地依赖于人们对公司的认可价值(perceived value)。如果一个人认为公司被市场低估了，那么他就能够以买入某种股票的方式来对公司投资。如果股票价格上涨，那么其利润便产生了。如果一个人预测错误，股票价格下跌，那么便产生了损失。如果你认为股票价格将上涨，但是想要防止犯错误做什么呢？这方面存在着象保险那样的事吗？在金融市场上有一种称之为期权的合约，就拥有我们所需要的特性。买入期权（call option，或称为看涨期权）是给其持有人一种在将来某一时间即到期日(expiry date)，以确定的价格即执行价格(strike price)来买入资产的权力。
如果你认为股票价格将要上涨，而且想要警戒下跌，那么你就购买买入期权。类似地，卖出期权是给其持有人一种在规定的日期以确定的价格卖出股票的权力。
在20世纪70年代，相当多的金融研究集中于以股票为基础的期权估值的特定模型下。在1973年，布莱克、舒尔茨以及默顿发表了他们的文章。那些文章中所包含的一些思想可以追溯到20世纪的初期，诸如把股票价格随机运动的表现作为布朗运动，巴施利叶(Bachelier)在1900年写出的关于期权定价的论文，甚至做出了一个基于预期的对期权价值估价的理论模型；股票价格运动是随机的，但是在平均水平上发生了什么呢？
在期权定价理论上，巴施利叶和布莱克－舒尔茨－默顿之间很少有什么不一样。使用缘于正态分布的资产价格变化的巴施利叶权益模型，在20世纪50年代被修订为正态分布的资产价格收益（资产价格变动被资产价格去除）。这就是关于权益价格的对数正态随机行走。然而，布莱克、舒尔茨和默顿给出了基本上改变金融世界的一些真知灼见，而且不久就促使金融学成为一个严肃的数学主题。下面列出了这方面最流行的几种论点：
论点1：显然，期权价值依赖于标的资产的价值。如果执行价格是固定的，那么标的资产价值上升将伴随着期权价值上升。这是因为资产多半在到期日以较高的价值结束，而在到期日对期权给予较大价值的评估，导致现在的价值也较大。如果股票价格下跌，那么期权价格也将下跌。这种情况的另一种说法是，买入期权的价格变化与资产价格的变动是相关的，并且是正相关的。卖出期权是与其资产价格变动呈负相关的。
如果一种资产和其对应的买入期权是以这种方式相关的，那么此期权和一定数目的标的资产构成的投资组合对资产价格变动是不敏感的。当此资产价格上升（或下降）时，其期权价值亦上升（或下降），而这两者配以适当的权数之后，其总和将是一个常量。为了确保这一点，人们必须卖掉相当数量的资产，这称之为"delta"，同时是期权与其资产之间的一种简单相关。消除投资组合对其资产价格变动上的敏感性的过程，称为“delta对冲”或者“动态对冲”，对冲作为减少变化或者风险的普通术语。在动态对冲形式下，布莱克、舒尔茨和默顿曾证明如何借助于构建一种非常具体的投资组合来消除所有的变异性。在金融术语中，变异性被看成是对布莱克、舒尔茨和默顿消除风险的一种度量。
论点2：他们构建的投资组合完全是无风险的。然而，存在着另一种无风险的金融工具，即银行存款帐户。如果存在着两种无风险的金融工具，那么它们两者必须获得相同的利率。如果它们的利率不一样，那么就存在着套利的机会：以借入较低的那种来投资于具有较高利率的投资组合。有效市场理论表明，这样的套利机会不能存在。这样，等于拥有银行存款帐户利率的特定delta对冲的投资组合导致了一个方程，即布莱克－舒尔茨(Black-Scholes)方程。
布莱克－舒尔茨方程是一种抛物型偏微分方程。在数学形式上，它与热能或扩散方程有相同的形式，是一种得到最广泛研究的偏微分方程。实际上，扩散方程已有近2个世纪研究的丰富历史。对数学家而言，金融学突然成为一门令人感兴趣的主题，并且是比那种简单组合更有趣的研究领域。
四、从理论到实践
布莱克－舒尔茨方程对买入期权和卖出期权的理论价值而言，有非常简单的解。相应的公式是以累积分布函数的形式表示正态分布随机变量，并且能够给出概率意义上的解释。对许多最重要的合约都存在简单的公式，这确保了布莱克－舒尔茨－默顿模型能够被实践者所运用。在某种程度上，公式又促使用许多复杂数值技术对偏微分方程求解的需求。
模型在实践运用中起到了相当大的作用，但是它绝算不上是完美无缺的。金融世界是远离物质世界甚远的，没有理由认为金融世界应该有任何不可改变的控制定律或原则。甚至在经济学中流行的“理性行为人”(rational agents)的思想都是有缺陷的。通常经验表明，人类是由理性出发思考问题的。然而，是否存在着“非理性行为理论”？
由于模型是不完美的，所以金融研究者和实践者为改进理论发明了一些“补钉”。这些改进经常与理论中其余部分不相一致，同时大概在探索真相的道路上走远了。
为总结20世纪70年代中后期金融学发展的状况，存在基于优美原则而建立的完好的理论，凭借简单公式的优点，这些原则在实践中运用得十分成功，以致于很容易地实现。
有趣的是，对于简单期权而言的布莱克－舒尔茨公式包含一些容易测量的参数，而有一个参数是不容易测量的，即是波动性(volatility)，也就是资产价格在演变中随机性的数值。这个波动性在期权的理论定价中起着关键作用，它仍是不可能准确观察或测量的。这一点可能被认为是模型中固有的问题。然而，由于这一原因，几乎存在着相对立的情况；当建模凭其拥有完备的数值时，波动性被人们捕捉住。依据你个人的观点，这能够被看成是更复杂的数学建模，或者只是粗制滥造的东西。不可观察、不可测量的参数是完全无法掌握的因素。
在20世纪80年代，这类事情实实在在地开始了。例如，更复杂的模型出现在把波动性当作随机变量来处理的情形中。与此同时，却几乎没有概念上的变化，优美的布莱克、舒尔茨和默顿理论被采用到利率和利率产品上。在股权市场和固定收益市场之间、以及股权价格动力学和利率动力学之间无疑存在着许多相似性。但是，这些相似性确实如此之大，以致于仅仅对股权成立的理论所以被全部采用，并且可应用于另外的市场吗？当然，什么都会发生。象宝洁公司的故事所表明的那样，依靠数学模型控制大量的货币，而常识和简单的统计分析好像被依赖于不是人人都理解的复杂模型的信念所代替。
在20世纪90年代中期，信用风险(credit risk)成为热门专题。新兴市场(emerging markets)突然变成关注的焦点，在新兴市场上总是存在着违约的真实风险。简单的原则、模型，以及布莱克－舒尔茨－默顿公式再一次成为符合需求的内容，并且只进行了极少的修正就成为信用风险的全部理论。这次修正是无价值的，不过只是概念的变化，把r（利率）变成P（违约概率）而已。事情发展得很快。没有一种方法是能把以动态对冲为基础的模型应用于基本上无法对冲的违约风险上的。
五、过去25年的回顾
就数学有关的内容而言，刚刚过去的25年里，几乎不变地依赖于下面的内容。
(1)布朗运动：对扩散(diffusion)的数学描述，利用来自于正态分布的随机数来刻划。
(2)随机微分方程：运用布朗运动对连续时间框架的情况建模。
(3)动态对冲：买入／卖出彼此之间完全关联的合约。
(4)风险剔除：动态对冲的理想结果。
(5)工具之间相关性：多种多样工具的价格变化。诸如单独的股权之间的关系就能够利用能测量的相关性来找到。
(6)市场完备性：完美的动态对冲和风险剔除可能意味着期权能够通过对标的资产（underlying asset，或译为原生资产）采用适当的买入／卖出策略人为地创造出来。因此，期权在某种意义上是多余的。
(7)风险中性定价：风险剔除的可行性意味着期权持有者不应以持有非对冲期权来获得额外风险的报酬。持有这种头寸的收益必须与持有无风险投资的收益是一样的。
在模型中许多最为基本的假设，诸如正态分布的重要性、风险剔除。可测量相关性等等，都是不正确的。利用相关的简单统计分析很容易地证明，它们是不正确的。在接下来的25年里，人们将看到这些基础将由某些极其少的约束性条件所替代，从而基础更坚实。这方面仅有少数的刚刚开始出现的新思想。这一常见的线索是，它们使用着不同于古典金融学运用的数学，其所附带的假设非常少。
(1)不确定参数：如上所述，波动性是不可观察的，并是不能测量的。但是，随机性的思想在资产价格演变中显然是重要的。最近的金融建模发展是把波动性作为不确定因素，这意味着我们不为其规定一个确切的值，而是允许它处于指定范围之内。我们有未知的波动性和期权价格变化的区域，而不是一个已知的波动性和单一的期权价值。以期权最坏的可能价值观点发出，波动性所必须经过轨迹是在其使期权处于最低理论价值之时的范围里，这点是人们很自然的考虑。此种思想能够应用于古典扩散期权模型中的任何参数上。
(2)崩溃建模(crash modelling)：在资产价格和利率中，突发的、非套期保值的变动对投资银行的利润有着极其显著的影响。突发变动经常是向下的，进而使银行受到很大损失。直到最近，仅有一种模型对应于这样的崩溃，它就是跳跃－扩散模型(jump-diffusion model)。在该模型中，崩溃效果是使期权定价处在“平均”意义上。当崩溃传遍许多市场时，这种效果是相关联的，但是如果单一的崩溃导致某家银行倒闭，那么这样的模型显然是不相关联的。对连续不断具有最坏情况的未来事件的设想，最近的许多模型目的在于决定对崩溃而言什么时候是最坏的时间，怎样大的资产价格变动导致可能最低的投资组合价值。当投资组合中包含有期权时，下跌甚至能获取利润。如果期权能够减少崩溃的影响，那么要想象保险一样来对付崩溃，什么是最佳的期权投资组合呢？
(3)非概率的VaR：VaR传统上是考察银行在给定的概率下，其所能损失的数值多少的估计。这些测量通常是以正态分布收益假设为基础的。常识和经验表明，银行倒闭由于两个原因：错误管理及对许多头寸和极端市场条件下控制乏力。这里，我们不必对前者焦虑，而后者正是市场崩溃(market carsh)。象上面所述，它并不适合于审查试图决定银行未来命运时，所能够发生的最坏情况是什么。在市场崩溃期间，收益不是正态分布的，同时在市场一天一天交易条件下人们测量到的相关性是非关联的；在崩溃期间，所有相关性变成一个。一种最简单而又最流行的新的风险测量方法之一，简明地概括为“坠落妄身体”(CrashMetrics)。
(4)同积性（Cointegration或称为协整性）：同积性是一种在两种资产之间远比相关性更敏感的关系度量。当两种资产是同积时，粗略地讲，它们的时间序列彼此之间距离不是太远。尽管这种想法在资产配置中获得运用，它还没有成功地应用于期权市场。
(5)非概率利率模型(Non-probabilistic interest rate modelling)：现今利率模型刚好是带着一些装饰门面的权益模型，而固定收益市场在许多方面、许多方法上是不同于权益市场的，其不少内容是许多利率产品中最为重要的部分。当前的方法是瞄准获得可行的更为精确的建模途径。正如不确定参数在概率意义上代替建模随机性一样，人们审查最坏情况的设想方案。对利率的概率演变给出了极少的假设：人们指明什么是不允许发生的。
(6)信用风险效用：当合约存在违约风险时，几乎总是含有赌博的成份：公司违约，还是不违约？因此，在风险中性框架中，它与模型是不相关联的。不同投资者对同样的合约以不同方式来估价。在更好的框架中，对经济学家而言流行运用效用理论。本质上，效用是测量财富分配（主观）价值的一种尺度。其宗旨是抓住额外的100英磅，与对大学生相比而言，对百万富翁就显得微不足道，尽管它能够用于购买完全相同的商品。效用理论在信用风险中刚刚开始找到用途。在过去，这些就有些难以驾御，因为不可避免的非线性因素被引入到期权定价之中，结果，复杂的数值方法就被用于求解控制方程。
来自于许多科学学科的大学生参与到银行之中，他们拥有各种各样不同的知识和经历，所有这一切最能有助于对金融世界的认识了解。物理学家、工程师和应用数学家与传统的工商管理硕士、经济学家和纯数学家结合起来。许多大学现今开设了数量金融学方面的硕士研究生学位，很多在（数学家软件／数量化）金融学方向的硕士生课程，现在被认为是大学中的必修课，同时取代了工商管理硕士作为赚钱的生意。
数学金融学正处在转折点。过去的25年中，所形成的许多模型已变为建模的课程。金融世界的复杂性日益增长，边际利润正在下降，存在着许多广为人知的衍生证券损失惨重的事例。这一切指明了未来建模在方向上的重要变化。在接下来的25年里，不确定性将增加建模中的随机性。许多理论发展将导致价格是一个区域，而不是单一的数值。常识将得以回归，这取代了对数学模型盲目的依赖。市场完备性将会被人们所接受，同时不再令人感到敬畏。对数量金融学中的研究人员来说，这是一个振奋人心的时刻。
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