田守富[1]2012年在《非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统》文中认为基于计算机数学机械化思想和‘'AC=BD"统·理论模式，借助于现有的理论及相应的符号计算软件，本论文主要研究了孤子方程的AC=BD模式与卦理论，非线性微分方程的(Binary)Darboux与Backlund变换、微分变换及Hamiltonian可积簇，非线性微分方程的非局部分析，非线性微分方程、超对称和超离散方程的有限高亏格解与可积系统问题等.第一章介绍计算机数学及计算机代数，孤子理论，非线性方程、超对称与超离散方程的机械化求解方法与可积系统问题等在国内外的历史发展概况，并介绍本论文的选题和主要工作.第二章基于AC=BD模式及其C-D可积系统与C-D对,我们做了两方面的工作.在代数几何解中：推出了Dubrovin型方程,Its-Matveev公式及Super-Its-Matveev公式；在Sato理论中：分别给了Lax方程与Sato方程、Lax方程与反散射框架、Lax方程与Zarharov-Shabat方程、Sato方程与Hirota双线性方程等之间的关系,并揭示了这些方程解的统一模式可由Tau函数表示.另一方面,为了揭示可积系统的一般性结构,我们首次系统地提出了“卦理论”,包括“卦结构”和“卦恒等式”,并分别给出了一些内分解-和外分解-卦恒等式：Wronskian、Grammian、Pfaffian、Young图的Schur函数和特征多项式、Clifford-和Heisenberg-代数的Fock表示空间等,并首次阐明Clifford-(Heisenberg-)代数的Fock表示空间均为卦(同构卦)空间.最后给出了构造Tau函数与Theta函数之间关系的新方法,间接地建立了卦结构与代数几何解之间的联系.第叁章基于Lax谱理论、Painleve奇异流形理论,分别给出了一类微分方程的叁类N-重Darboux变换,Auto-Backlund不(?)Binary Darboux变换,及其相应的周期波解和Grammian解.利用离散Lax谱问题,通过选取合适的谱Vn(m),给出了一类新的Hamiltonian Lattice簇的一些经典Lattice约化、multi-Hamiltonian(?)结构在对合意义下的可积性质、离散Darboux变换及其解析解.基于¨Sato理论框架并借助于限定的mKP方程,提出了一类自溶源rnKP (mKPESCSs)方程及其Lax谱问题；利用共轭Lax对,进而研究其向前、向后和N重Binary Darboux变换,其中Binary Darboux变换提供了两个不同次数的mKPESCSs之间的一个非自治Backlund变换；借助于这些变换可以得到mKPESCSs的一些新典型解如孤立子解、有理解、呼吸子解和指数解等.通过研究微分变换与Pade逼近理论,获得了着名的浅水波Camassa-Holm方程波峰连续与非连续解析近似解；与解析解比较,研究了其计算的有效性和高精度.第四章借助于守恒律乘子，获得了一类微分方程的非局部分析其中包括非局部相关PDE系统、树形结构、非局部对称与守恒律等.借助于非局部对称，进而研究了原PDE系统的非局部线性化，并提出了广义不变解的一套新方法.对某一类PDE系统，给出了其非局部对称与Nonclassical方法在求解方而的关系与George W. Bluman(?)教授等的合作中给出了着名的非线性Kompaneets(NLK)(?)方程的非局部分析；与近期(?)Ibragimov教授的工作相比，利用非局部分析中已得到的结论获得了NLK方程的更广义类型的解；这些新解不能由NLK方程局部对称的不变解所得到，并打破了NLK方程自1956年以来只有唯一一类局部平凡解析解的状况.特别地，得到了以前未知的五类涉及两参数的精确时间独立解析.有趣的是，这些解都可以用初等函数所表示，并且其中两类在有限时间内表现出爆破行为，另外叁类则表现出静止行为.最后证明了所有的非平凡稳态解都具有不稳定性，并且他们相对于Dubinov教授所给出的隐式解是新的.第五章基于超空间,利用Hirota双线性和Riemann theta(?)函数的性质，分别研究了一类非线性微分方程和超对称方程的有限高亏格(?)的Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析，并将其分别应用到了CDGSK方程、(2+1)-维DBS方程和超对称KdV-Burgers方程等.借助于theta函数的有理恒等式提出了求解一类离散方程的N-theta周期波解的方法：并将这类结论推广到了离散方程和(?)heta(?)函数的超离散化空间上，进而分别获得了相同亏格(?)的Ud-Riemann theta(?)函数周期波解.做为这种方法的应用，分别研究了离散修改的Korteweg-de Vires(mKdV)方程和广义的Toda lattice方程等第六章借助于多维的Bell与super Bell多项式,分别研究了一类非线性微分方程和超对称方程的可积性分析，同时给出了可积判定条件，使此类方程(组)成为一类可积系统，并将其分别应用到了一类广义变系数的KP方程、5-阶KdV方程(?)IsKdV-Burgers方程等，获得了一些新的可积性结论.借助于超离散的‘'max-plus"代数理论及其Lax(?)(?)性系统的相容条件，提出了一般超离散方程的Lax可积定理和可解性定理：通过研究有限高亏格(?)的Riemann theta (?)函数的超离散化，进而获得了一类超离散化方程相同亏格(?)的Ud-Riemann theta函数解.最后将这一般的超离散化及其可积性理论分别应用到了离散的Lattice Krichever-Novikov方程、离散的mKdV方程和离散的Painleve方程等.
申建伟[2]2006年在《非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究》文中提出本文从动力系统分岔理论的角度来研究非线性波方程的行波解，行波解的分岔及其动力学行为，并结合计算机符号代数的方法和相图分析的方法给出了不同波方程可能存在的行波解的种类，分析了这些复杂行波解产生的原因。在实际模型中，有界行波解具有很强的实际应用价值，目前求解行波解的方法给出的解不能明确给出该行波解是否有界，本文根据动力系统理论的特点，利用连接平衡点的闭轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性波方程的精确行波解的显式表达式。对于具有耗散项的非线性波方程，有些情况下，精确行波解不易求出，本文就根据平衡点附近轨道的性质，给出其近似解的表达式，拓广了求解的方法。在研究非线性波方程中，很多方程会出现非解析解(非光滑解)，对于这些非解析的行波解，尤其是Peakon解和Compacton解，在文中解释了这些非解析波存在的原因，并证明了Peakon解是广义导数意义下的广义解而非弱解，Compacton解是广义导数意义下的弱解，利用分岔理论揭示了这些非解析波解与解析波解之间的关系以及产生这些行波解的分岔条件。另外本文还证明了在积分常数不为0的情况下，非线性波方程也可以产生Compacton解，当方程的首次积分比较复杂时，尤其是出现超越函数(例如对数表达式)表达式时，方程的解非常复杂，可能出现不可数多的Compacton解，这些Compacton解有一个能量界。最后，本文研究了柱面波方程的行波解及相关的分岔行为和动力学性质，揭示了在柱面系统中，存在旋转的周期波族和破缺波，给出了这些波存在的分岔条件，并解释了这些波产生的原因。
梅建琴[3]2006年在《微分方程组精确解及其解的规模的机械化算法》文中研究说明本文研究数学物理机械化方面的若干问题。主要研究微分方程(组),特别是在力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性偏微分方程(组)的对角化和求解的机械化算法,包括偏微分方程(组)的精确求解算法,对合检验算法及其表征形式解空间大小的维效向量的算法,并予以程序实现。 第一章介绍本文涉及的学科主要是数学物理机械化的多方面的发展,围绕微分方程与计算机代数的关系,简述了关于数学物理机械化方面国内外研究和发展的概况,最后介绍了本文的主要工作。 第二章在C-D对理论框架下考虑微分方程(组)精确解的构造。介绍了C-D对理论的基本内容和思想,总结了构造C-D对的方法;基于AC=BD的思想,利用微分伪带余除法,提出一个相对统一的构造非线性发展方程精确解的机械化模式,该模式可以囊括现有的许多求精确解的方法(tanh方法,扩展tanh方法,Riccati方法,投影Riccati方法,扩展Riccati方法等“辅助方程方法”以及经典求解方法如B(?)cklund变换,Daboux变换方法和李群方法)。 第叁章提出计算非线性发展方程精确解的两个机械化算法一变系数广义投影Riccati方法和新扩展Riccati方程方法。以(2+1)维广义浅水波方程、(2+1)维高阶Broer-Kaup方程组、磁场中凝聚态(BEC)方程、(3+1)维KP方程、(2+1)维变系数Broer-Kaup方程组等高维方程和方程组为例,说明了算法的有效性。本章还给出扩展Riccati方程方法的一个推广,推广后的算法可以获得非线性发展方程的更多类型的精确解。 第四章研究微分方程组的对角化和求解问题。提出新的计算微分代数几何消元方法,将以前只适用于线性微分方程组的微分消元方法推广到了非线性情形。将微分方程组化为单个微分方程,可用来构造一大类非线性偏微分方程组的一般解;并利用反逆法研究非线性偏微分方程组的对角化问题,给出了一类非线性偏微分方程组可对角化和线性化的充要条件,为进一步研究微分方程组的求解问题和等价问题提供了有效途径。 第五章介绍了有关外微分方程组的理论及其在偏微分方程组中的应用,给出了一个求偏微分方程组的Cartan示性数及其Cartan对合检验的算法,并在Maple平台上予以实现。 第六章综合利用Reid关于初始条件的算法和Cartan示性数的涵义,在最小意义下提出了一个合理的能唯一确定的衡量微分方程组形式解空间大小的概念一“维数向量”
吴立军[4]2002年在《宏观尺度位移反演分析研究及其多尺度问题探讨》文中指出位移测量反演分析在岩土工程、结构工程、信息化施工、创伤诊断等领域有广泛应用和广阔的前景。本文以地下洞室、边坡工程、隧道工程与大坝等领域的初始地应力参数和介质物性参数识别为切入点，对宏观尺度位移反演分析和力学反演问题数值求解方法进行了比较深入的研究，并将多尺度问题科学理论和反演数值方法联系起来，初步探讨了结构性承载材料(如岩石、骨材料等)的多尺度力学模型及其反演方法。 本文首先对力学反演问题广义解及其数值求解方法的演化发展进行剖析，根据数值反演的困难，分析了基于线性力学、非线性力学、多尺度力学反演问题的广义解及其数值反演方法；基于静、动力学不适定问题叁个条件的广义解及其数值反演方法；基于局部最优和全局最优的力学反演问题的广义解及其数值反演方法；基于确定性和非确定性反演的力学反演问题的广义解及其数值反演方法。揭示了数值反演方法的这一演化发展趋势预示着多尺度力学问题及其多尺度反演方法的研究。 研究了隧道、边坡、大坝等的宏观尺度多参数位移反演分析，按照逆定式化和正定式化两种反分析方法展开。针对逆源(初始地应力)和逆介质(岩层结构模量)的识别问题，提出了地层剪应力场的线性假定，构造了横观各向同性体的结构性计算模型，应用了逆定式化有限元反演方法，快速地搜索到了被识别参数的最优值。同时，研究了多参数位移反演分析的优化模型与约束反演，提出了一般地应力场的优化模型表达式，构造了适合于单步开挖和多步开挖等多个工况的计算模型，建立了以有限元法和约束变尺度法为基础的正定式化约束优化反演算法，提高了多参数识别的可靠性与准确度。基于上述研究，在日本版的施工预报直接反分析程序DBAPM基础上，扩充编制成了约束优化反分析程序COBAP，通过DBAPM程序和COBAP程序的数值反演比较及工程应用，说明COBAP程序在信息化施工与设计领域具有更为合理可靠的反演预报功能与应用价值。 归纳了宏观尺度位移反演分析的不确定性因素，提出了容纳不确定性因素的位移反演分析的联合反演模式，即“微分方程确定性反演+系统性优化技术=非确定性反演”的模式，并具体论述了联合反演模式的系统性优化技术，包括正演算子的优化、正演数值分析的优化、测量设计优化、观测数据处理、反演算法优化、反演算子处理等六个优化方法。将这一联合反演技术应用于位移反演分析，能定量处理不确定性因素，显着提高了位移反演分析的合理性与准确度。同时，针对两类反演数据——数字式数据与非数字式数据的多尺度噪声处理，分别建立了小波阈值优化方法和量化单调消噪方法。反演数据多尺度处理的数值试验说明，量化单调消噪方法不仅适合于非数字式数据的处理，也适合于数字式数据的处理，而且能大幅度降低数据的噪声，提高反演结果的可靠性与准确度，且具有较强的适应性和计算稳定性。一 反演结果的定量评估是反演问题研究的困难之一，本文在总结宏观尺度位移反演分析可靠性评估的两类手段基础上，以联合反演技术为工具，提出了位移反演分析的可靠性评估方法，包括反演解估计的六个可靠性概念、两个可靠性判据（后验准确性判据和条件适定性判据）。按照反演评估实现由定性向定量和面向计算机这两个转变，提出了反演可靠性评估的计算机辅助分析（CAA）的建议。通过地应力参数和岩层结构模量位移反演分析的可靠性判据值的数值计算，获得了反演结果的定量评估报告。 多尺度问题及其反演方法的探讨方面，提出了广义尺度概念及其对应的多尺度问题一一几何多尺度问题、时间多尺度问题、物理多尺度问题、结构多尺度问题、相位多尺度问题、特征多尺度问题、影响多尺度问题、数据多尺度问题等；论述了分布参数系统多尺度化、数值反演方法多尺度化、测量数据多尺度化等求解策略；提出了固体的结构刚度与非结构刚度、结构强度与非结构强度的概念，根据分形理论和统计自相似特性，建立了结构刚度与结构强度的演化方程，总结了演化方程构建的3个原则。再以演化方程为基础，建立联系宏观参数与微观参数的结构性承载材料（岩石、骨材料）损伤破坏的多尺度力学模型，理论推导了以各向同性和横观各向同性为基础的多尺度应力应变关系矩阵，并指出反演在多尺度模型微结构参数识别中重要地位。而在多尺度问题数值求解方面，主要分析了矩阵特征值多尺度现象对数值反演不适定性的影响，在Tikhonov 正则化方法基础上，建立了无偏差正则化方法的迭代格式，将Tikhonov的解的稳定性（光滑性）与解偏差之间的折衷关系，转化为解的稳定性（光滑性）与收敛性（收敛速度）之间的折衷关系，其折衷程度仍然由正则参数a调节，并给出了迭代格式收敛的充分条件。 本文的部分工作得到了国家自然科学基金项目《混凝土坝老化过程中物性状态反演方法研究》州O：59779003）和《非线性反演方法的若干问题研究》州O：10072014）的资助。
李静[5]2014年在《矩阵方程的正定解和分数阶微分方程的谱问题》文中认为微分方程的研究是伴随着微积分的出现而发展起来的,具有300多年的悠久历史。微分方程领域研究内容丰富,是研究自然现象强有力的数学工具之一,同时也与其它学科有着紧密的联系,在自然科学、环境生态、工程技术、社会经济等方面有着广泛的应用。本文主要研究与微分方程理论和相关应用具有紧密联系的两大方面的内容,即矩阵方程的正定解及其扰动分析和分数阶微分方程的谱问题,其研究动机和内容详述如下。一方面对于许多来源于实际问题的用常微分方程,积分方程,积分微分方程刻画的数学物理问题,常用的一种处理方法是通过差分方法将其离散化,从而可以把原问题转化为某种矩阵方程来进行研究.矩阵方程是矩阵理论和数值代数领域的重要内容之一。近些年来,形式如X-∑i=1m Ai*Xpi Ai=Q的非线性矩阵方程由于来源广泛,包括微分方程,物理计算中的大型线性方程组,插值理论的极值问题,控制理论,梯形网络,动态规划,随机滤波等而引起了众多学者的关注,对这类方程正定解的相关理论和数值方法的研究已经取得了一系列的成果.由于正定解在实际问题中应用较多,所以我们只考虑矩阵方程的正定解。对此类非线性矩阵方程的研究主要考虑叁方面内容：(i)存在正定解的充分和必要条件；(ii)求得正定解的有效的数值方法；(iii)关于方程正定解的扰动分析,包括扰动界,条件数,后向误差,剩余界.我们知道非线性矩阵方程的可解性是进行数值求解的理论基础,而有效的数值求解方法为定量求出解提供了可行的计算过程。由于非线性矩阵方程来源于工程和物理中的大数据计算问题,在求解过程中通常存在两类误差影响计算结果的精度,即数值计算方法引起的截断误差和计算环境引起的舍入误差,为了分析这些误差对原问题的解的影响,我们需要研究原始数据的扰动对解的影响,从而需要对矩阵方程的正定解进行扰动分析。用扰动界和条件数来揭示矩阵方程自身的稳定性,用后向误差和剩余界检验算法的数值稳定性和估计近似解的精确程度。本文在已有成果的基础上,研究下面形式的非线性矩阵方程：1.非线性矩阵方程X-∑i=1m Ai*Xpi Ai=Q(pi>0)来源于控制系统最优问题和插值理论最优问题,对此矩阵方程我们分m=1和m>1两种情况进行讨论.(i)当m=1时,原方程退化为非线性矩阵方程X-A*X-p A=Q(p>0),此时我们对p≥1和0<p<1两种情况进行讨论。当p≥1时,给出了方程存在唯一正定解的新的充分条件,并且利用矩阵函数X-p(p>0)的积分表示,推导出关于方程唯一正定解的扰动边界和由Rice定义的条件数的显式表达式。当0<p<1时,利用算子理论,推导出一个更精确的正定解的扰动界,同时结合Schauder不动点定理,得到了方程正定解的近似解的剩余界,推广了已有的相关结论,并且通过数值例子进行验证和说明.(ii)当m>1时,对非线性矩阵方程X-∑i=1m Ai*X-pi Ai=Q,当pi>0时,我们讨论了此方程的可解性,得到了方程存在正定解的充分和必要条件,并且推导出方程存在唯一正定解的条件,构造了得到此唯一正定解的迭代方法.利用不动点定理,Kronecker积和矩阵范数的性质,我们给出了方程正定解的扰动界和方程近似解的后向误差估计并且利用矩阵函数X-p (p>0)的积分表示和算子理论,推导出方程正定解的条件数的显式表达式。特别地,当0<pi≤1,Q=I时,利用偏序空间的单调有界原理,证明了矩阵方程对任意的系数矩阵都存在唯一的正定解。同时,利用偏序空间中的Schauder不动点定理和算子理论,得到了此矩阵方程正定解的两个扰动界,其中一个扰动界不依赖于方程的精确解,而另外一个扰动界要比前者精确些。利用不动点定理和范数不等式,我们推导出方程正定解的近似解的剩余界。利用矩阵函数X-p(0<p<1)的积分表示和算子理论,推导出方程正定解的条件数的显式表达式,并且通过数值例子进行验证和说明。2.非线性矩阵方程X-∑i=1m Ai*Xpi Ai=Q来源于数学物理问题,对此矩阵方程当pi>0时,我们先利用矩阵分解定理给出方程存在正定解的充分必要条件,然后分0<pi<1和pi>1两种情况进行讨论.当0<pi<1时,利用不动点定理,我们证明了此时方程总是有解,并且找到了解的存在区间。然后利用偏序空间矩阵序列的单调有界原理证明了方程存在唯一的正定解,同时利用不动点定理和算子理论,推导出方程正定解的两个扰动界和关于方程近似解的剩余界。基于矩阵函数Xp(0<p<1)的积分表示和算子理论,推导出方程正定解的条件数的显式表达式并且用数值例子进行验证.当pi>1时,我们推导出方程存在唯一正定解的充分条件,而且得到了方程正定解的一些性质,利用矩阵函数在Frobenius范数下的不等式,推导出方程正定解的一个扰动界.另一方面,对微分方程的一个重要的研究方法是通过研究微分方程谱的性质来对微分方程的解进行研究,也就是微分方程谱理论.整数阶微分方程谱问题也称为Sturm-Liouville问题,其相关理论于170多年前被提出来,自此它的相关理论在诸如科学,工程和数学领域占据重要地位。Sturm-Liouville问题源于常微分方程边值问题,而常微分方程的边值问题一部分直接来源于现实问题本身,另外的一大部分是源于偏微分方程,如热传导(或扩散)问题、弦(膜)振动问题、电磁学中的Maxwell方程问题等。进入19世纪,Fourier系统地提出了分离变量法,在将这一方法应用于更为复杂的物理现象产生的那些偏微分方程问题时,就会产生两个或多个常微分方程的边值问题。从算子的角度来看,Sturm-Liouville算子是一类十分重要的微分算子,在经典微分算子和近代量子物理学中均有重要的应用背景。另外,自二十世纪末开始,分数阶微积分理论的迅速发展和应用的日趋广泛,促进了分数阶微分方程的出现和发展。人们发现将分数阶微积分的观点引入微分方程更能准确地描述事物的变化规律和本质属性,于是分数阶微分方程在实际中有了广泛应用,如：分形动力学、连续力学、自动控制、流体力学、生物力学、粘弹性力学、量子力学、统计学、工程学、布朗运动、地震分析、神经的分数模型和描述种群繁殖的数学模型等。因此,分数阶微分方程越来越多的引起数学家的关注。很多时候,为了实际问题的需求也要考虑分数阶微分方程的谱问题。研究分数阶微分方程的谱问题既是解决实际问题的需要,同时又能丰富和完善分数阶微分方程的相关理论。分数阶微分方程的谱问题被相关学者提出后,一直没有得到深入的研究,目前,有学者用数值计算的方法来研究分数阶微分方程的谱问题,但就连普通的特征值和特征函数的性质也没有从理论上加以说明。到目前为止,从理论上讨论分数阶微分方程特征值和特征函数性质的文章非常少,基于此,本文主要讨论下面的分数阶微分方程谱问题：的谱问题,其中q∈L2(0.1)是实值函数,D0+α和D1-α分别是α阶的左,右分数阶Riemann-Liouville导数,1<α<3/2,μ是实数,λ是谱参数。基于Hilbert空间中的自伴紧算子的谱理论,我们证明了此谱问题的谱仅有可数个有限重的实特征值,相应的特征函数在Hilbert空间中构成完备正交系,并且估计出特征值的下界。的谱问题.其中q∈L2(0，1)是实值函数D0+α和D1-α分别是α阶的左,右分数阶Riemann-Liouville导数0<α<1/2,μ是实数,λ是谱参数。我们利用Hilbert空间中的自伴紧算子的谱理论证明了此类谱问题的谱仅有可数个有限重的实特征值,相应的特征函数在Hilbert空间中构成完备正交系,并且估计出特征值的下界。关于仅含左或右分数阶导数的微分方程的初值问题的理论已经相当完善,解的存在性,解关于参数的连续依赖性,可微性及解的延拓定理已经建立,但对同时含有左、右分数阶导数的微分方程,其“初值问题”的提法不甚清楚,现有的关于分数阶微分方程的专着及相关文献中也很少陈述。但在整数阶微分方程边值问题的研究中,其相应的初值问题的理论是一种十分有效的方法和工具,例如Prufer变换,解关于参数的可微性等。基于此,本章我们首先提出了同时含左、右分数阶导数的微分方程的两类“初值问题”,在适当的条件下我们可以证明此类“初值问题”解的存在性和唯一性,尔后,利用上述结果我们专门研究了特征值问题中特征值的几何重数,建立了特征值为单的一系列问题：1.在区间(0,1)上首先建立分数阶微分方程初值问题的相关结论,其中q∈L(0,1)是实值函数,D0+α和D1-α分别是α阶的左,右分数阶Riemann-Liouville导数,0<α<1,μ,λ是实数.而后利用这些结论证明了分数阶微分方程的特征值的几何重数是单的.2.在区间(0,1)上首先建立分数阶微分方程初值问题的相关结论,其中q∈L(0,1)是实值函数,D0+α和CD1-α分别是a阶的左分数阶Riemann-Liouville导数和a阶的右分数阶Caputo导数,0<α<1/2,μ,λ是实数。而后利用这些结论证明了分数阶微分方程的特征值的几何重数是单的.
殷雪剑[6]2011年在《关于几类二阶延迟微分方程数值解及其稳定性的研究》文中认为本文主要研究二阶延迟微分方程的数值解及其稳定性。全文由四章组成。第一章主要介绍了延迟微分方程的研究背景以及课题的现实意义。第二章主要讨论了二阶延迟微分方程周期解的存在唯一性及数值解法。首先,根据一个引理给出并且证明了方程存在唯一周期解的充分条件,然后利用牛顿法研究了周期数值解。第叁章主要讨论了二阶滞后型微分方程的理论解解和数值解的稳定性。本章主要包括两个方面：一方面,由二阶延迟微分方程的特征方程,给出其渐近稳定的充要条件；另一方面,给出数值解的单支θ-方法的稳定性质,证明了当θ=1时数值解是稳定的。第四章主要讨论了中立型方程的理论解和数值解的稳定性。首先,利用特征根分析方法,获得了理论解稳定的充要条件；其次,在理论解稳定的基础之上,考虑方程单支θ-方法的稳定性质,证明当θ=1时,单支θ-方法是稳定的。
张娜[7]2013年在《几类非线性脉冲微分方程的解及其最优控制》文中指出本文利用广义凹算子的不动点定理和混合单调算子的不动点定理研究了二阶脉冲微分方程解的存在性及其最优控制问题,同时,利用和算子的不动点定理讨论了带有非线性边值条件的四阶脉冲微分方程的解的存在性,推广和改进了相关文献的结果.全文共分为四章.第一章介绍了本文中所讨论问题的背景,并对本文的主要结果作了具体的叙述.第二章研究了二阶脉冲积微分方程利用广义凹算子的不动点定理获得了其正解的存在性,并给出其最优控制问题.在本章末,给出了一个例子作为对所得结果的应用.第叁章讨论了如下具有混合单调性的二阶脉冲微分方程的解的存在性条件,通过混合单调算子的不动点定理得到正解并且获得其最优控制问题.第四章考察了如下带有非线性边值条件的四阶脉冲微分方程利用一个和算子的不动点定理,讨论了其解的存在惟一性,推广了已有的相关结论.
苏华[8]2007年在《几类非线性微分方程的解及其应用》文中研究表明近年来,在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题,在解决这些非线性问题的过程中,逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支-非线性泛函分析.它主要包括半序方法、拓扑方法和变分方法等内容,为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用.1912年L.E.J.Brotuwer对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来E.Rothe,M.A.Krasnosel'skii,P.H.Rabinowitz,H.Amann,K.Deimling等等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究,国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、定光桂教授、孙经先教授及刘立山教授、赵增勤教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就(这方面的内容参见[1-12]).本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论、锥理论和单调迭代方法等研究了几类非线性微分-积分方程和微分方程奇异边值问题的解的存在性、多解等.主要内容如下:第一章给出了后面几章要用到的关于不动点存在几个引理.第二章考虑了下面Banach空间E中非线性混合型二阶积分微分方程初值问题的解,(?)其中J=[0,a](a＞0),x_0,x_1∈E,f∈C[J×E×E×E,E],(Tu)(t)=integral from n=0 to t(k(t,s)u(s)ds),(Su)(t)=integral from n=0 to a(h(t,s)u(s)ds).这里k(t,s)∈C[D,R~+],h(t,s)∈C[D_0,R~+],D={(t,s)∈R×R|0≤s≤t≤a},D_0={(t,s)∈R×R|(t,s)∈J×J},R~+=[0,+∞).第一节我们考察了初值问题最大解、最小解、唯一解的存在性,第二节我们考察了初值问题的整体解、唯一解以及解的迭代估计.第叁章研究了几类含p-Laplacian算子微分方程的正解.第一节应用锥上的不动点指数定理,研究了下面非线性奇异边值问题一个解和多解的存在性(?)其中φ_p(s)是p-Laplacian算子,即φ_p(s)=|s|~(p-2)s,p＞1,φ_q=(φ_p)~(-1),1/p+1/q=1,α＞0,β≥0,γ＞0,δ≥0,ξ,η∈(0,1),ξ＜η,a:(0,1)→[0,∞).第二节通过利用Green函数的反函数来定义算子的方法,研究了下面含p-Laplacian算子非线性n阶m点奇异边值问题一个解和多解的存在性(?)其中φ_p(s)是p-Laplacian算子,即φ_p(s)=|s|~(p-2)s,p＞1,φ_q=(φ_p)~(-1),1/p+1/q=1,a(t):(0,1)→[0,∞),0＜η_1＜η_2＜…<η_(m-2)＜1,α_i＞0,sum from i=1 to m-2(α_iη_i~(n-2))<1.第叁节讨论了下面含p-Laplacian算子非线性奇异边值系统无穷多个解的存在性(?)其中φ_(pi)(s)是p-Laplacian算子,即,φ_(pi)(s)=|s|~(pi-2)s,p_i＞1,φ_(qi)=(φ_(pi))~(-1),1/p_i+1/q_i=1,α_i＞0,β_1≥0,γ_i＞0,δ_i≥0,α_i:[0,1]→[0,∞),并且在(0,1/2)上有无穷多个奇异点(i=1,2).第四章研究了半正边值问题正解的存在性.第一节讨论了下面叁阶两点半正边值问题(SBVP):(?)其中f(t,u):(0,1)×[0,+∞)→(-∞,+∞).允许非线性项f(t,u):[0,1]×(0,+∞)→(-∞,+∞)满足Caratheodory条件下以及f半正并且下方可以无界,获得了半正边值问题(SBVP)正解的存在性.第二节讨论了下面半正(k,n-k)共轭特征值问题(SCEP):(?)其中n≥2,1＜k＜n-1,λ＞0是正参数.本节删除了对非线性项下方有界和上控制函数的严格限制,没有任何的单调性假设,利用不动点指数定理,在非线性项f(t,u):[0,1]×(0,+∞)→(-∞,+∞)半正并且下方无界的条件下,给出了入的确切区间使得半正(k,n-k)共轭特征值问题(SCEP)至少有一个正解,而且讨论了λ在另外合适区间上半正(k,n-k)共轭特征值问题(SCEP)至少有两个正解.第五章利用上下解方法和不动点指数定理,研究了下面四阶非线性奇异Sturm-Liouville边值问题正解的存在性和非存在性(?)其中λ＞0是正实参数,α_i,β_i,δ_i,γ_i≥0(i=1,2)是常数,p∈C~1((0,1),(0,+∞)).而且g,p在t=0和t=1处可以奇异.第六章研究了下面非线性n阶和m阶多点奇异边值系统(?)以及边值条件(?)其中1/2≤ξ_1＜ξ_2＜…＜ξ_p＜1,1/2≤η_1＜η_2＜…＜η_q＜1,n,m≥3、p,q,n,m∈N.
宋明[9]2014年在《几类高次非线性波方程的行波解研究》文中提出本文利用微分方程定性理论、动力系统分支方法、符号计算以及数值模拟等多种方法综合研究高次非线性波方程或方程组的精确行波解、分支相图以及行波解之间的联系.首先,利用行波变换,把非线性波方程化为平面动力系统.其次,根据动力系统理论的特点,利用连接奇点的轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性波方程的精确行波解的显式表达式,获得了一系列新的结果.本文主要研究工作如下:第二章,利用动力系统分支方法研究广义KP-BBM方程的周期波解以及它们的极限,获得了一系列显式周期波解,这些解包括光滑周期波解和周期爆破波解,它们的极限形式包括周期波解、扭波解、无界波解、爆破波解和孤立波解等.相对于以前对该方程的研究,我们所获得的精确解大部分都是新的,这在一定程度上拓展了以前的工作.第叁章,利用微分方程定性理论和动力系统分支方法研究二次非线性Klein-Gordon方程的行波解以及它们之间的联系.通过一些特殊的轨线,获得许多光滑的周期波解和周期爆破波解,它们的极限形式包括周期波解、爆破波解以及孤立波解.第四章,我们给出了具幂律非线性Klein-Gordon方程的分支分析.获得了相图并讨论了与相图对应的定性分析,在不同的参数条件下获得了一些有意义的精确解.第五章,我们给出了具对偶幂律非线性Klein-Gordon方程的分支分析.首先,我们画出相图,并讨论了对应的定性分析.随后,研究了行波解和哈密顿量h之间的关系.最后,我们获得了用高斯超几何函数表示的一个隐式解.第六章,利用动力系统分支方法研究Davey-Stewartson方程的行波解,求出该方程的一系列行波解,这些行波解包括显式周期波解、周期爆破波解、无界波解,扭波解以及孤立波解.最后研究了这些行波解之间的联系.我们的结果拓展了前人的研究结果.
王强[10]2006年在《几类倒向随机微分方程的离散解及其稳定性研究》文中研究表明倒向随机微分方程理论(以下简记BSDE)是近20年才兴起的，虽然研究的历史较短，但进展却很迅速，除了其理论本身所具有的有趣数学性质外，还有重要的应用前景。在金融理论中，递归效用、微分效用、未定权益定价等经济理论的研究都能用到BSDE理论。经过近十几年的发展，BSDE渗透于偏微分方程(PDE)、金融数学、随机控制、微分几何等领域，成为一门具有强大发展潜力的数学工具。 但是这些都是对BSDE定性研究，由于一般的非线性BSDE我们不能求出其显示解，所以对其进行离散寻求离散的近似解是近年研究的热点。本文对其中几类BSDE进行离散，并给出离散解的误差，研究解的稳定性。 本文分为五个部分。第一章绪论介绍了BSDE的发展背景及近几年对BSDE离散解的研究近况。第二章在李娟讨论的形式下，讨论一类特殊BSDE离散解及其稳定性，并给出收敛速度。第叁章是在上一章的基础上，将BSDE看作投资决策过程，讨论了用离散的投资决策过程逼近一般的投资过程，给出逼近的误差。第四章讨论一类投资决策过程，并给出求解相应的BSDE数值解的倒推算法。第五章利用信息族的弱收敛的方法，讨论由连续半鞅驱动的BSDE解的稳定性。
参考文献：
[1]. 非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统[D]. 田守富. 大连理工大学. 2012
[2]. 非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究[D]. 申建伟. 西北工业大学. 2006
[3]. 微分方程组精确解及其解的规模的机械化算法[D]. 梅建琴. 大连理工大学. 2006
[4]. 宏观尺度位移反演分析研究及其多尺度问题探讨[D]. 吴立军. 大连理工大学. 2002
[5]. 矩阵方程的正定解和分数阶微分方程的谱问题[D]. 李静. 山东大学. 2014
[6]. 关于几类二阶延迟微分方程数值解及其稳定性的研究[D]. 殷雪剑. 安徽大学. 2011
[7]. 几类非线性脉冲微分方程的解及其最优控制[D]. 张娜. 太原理工大学. 2013
[8]. 几类非线性微分方程的解及其应用[D]. 苏华. 山东大学. 2007
[9]. 几类高次非线性波方程的行波解研究[D]. 宋明. 华南理工大学. 2014
[10]. 几类倒向随机微分方程的离散解及其稳定性研究[D]. 王强. 山东科技大学. 2006
标签：数学论文; 微分方程论文; 微分算子论文; 矩阵变换论文; 矩阵分解论文; 线性系统论文; 正定矩阵论文; 非线性论文; 微积分论文; 代数论文;