数学归纳推理的基本内涵及认知过程分析，本文主要内容关键词为：归纳论文,认知论文,内涵论文,过程论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
关于归纳推理能力的培养，对中国数学教育教学有着重要而特殊的意义，因为“我国基础教育在学生思维能力的培养中，主要弱在了归纳能力的训练上，给创新性人才的成长带来了严重的障碍”[1].归纳推理已成为数学研究与教学中一个热点问题，“归纳思想”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中所强调的基本数学思想之一，“归纳推理”成为普通高中课程标准实验教科书中的重要内容.关于归纳推理的研究已非常广泛，但对“数学归纳推理”基本内涵的研究，特别是对数学归纳推理过程中的认知类型及其结构的研究，迄今并不多见.这里将运用数学模式论的观点阐述数学归纳推理的基本内涵，分析数学归纳推理的基本认知过程，并借助澳大利亚教育心理学家毕哥斯（J.B.Biggs）和科林斯（K.F.Collins）所提出的SOLO（structure of the observed learning outcome）分类理论，揭示数学归纳推理中所蕴含的思维模式与量化模式的层次结构. 一、数学归纳推理的基本内涵 归纳是哲学、逻辑学、心理学、思维科学等学科共同探讨的重要概念，不同的学科领域有着不同的概念界定.一般认为，归纳是从个别到一般的推理方法，较为常用的定义是：“归纳是从一类事物的部分对象具有某一属性，而做出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法.”[2]这一定义揭示了归纳推理的基本特征，但它只是对归纳推理的一般性描述，缺乏学科针对性，特别是缺少数学元素. 波利亚在《怎样解题》中提出：“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程.”[3]此定义明确了“观察”和“组合”是数学归纳推理中的两种认知活动方式，其中，“观察”是一种“肉眼之观”，是感知特殊事物的直观操作方式；而“组合”是一种“心灵构想”，是对内在思想的组合，是进行数学发现或发明的基本方式[4].可见，数学归纳推理是一种创造性的思维活动，是发现数学规律的过程.但在这个定义中没有明确“特殊的例子”的数学属性，也没有明确“普遍规律”的数学特质，即没有指明归纳推理的数学对象及其属性，影响了人们对数学归纳推理本质的理解和把握. 根据数学模式观的观点，“数学是通过模式建构，以模式为直接对象来从事客观实体量性规律性研究的科学”[5]，这里的“模式”是一种具有普适性的“量化模式”，是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”[5].因此，数学归纳推理作为一种数学思维活动应该以“量化模式”作为自己的研究对象，通过考察具体事例的量性特征来获得具有普适性的量化模式.从这样的视角出发，结合波利亚的观点，可以将数学归纳推理界定为：数学归纳推理是通过观察和组合特殊事例的量性特征来发现一类事物的量化模式的创造性思维活动过程.首先，数学归纳推理的对象是“量化模式”，包括属性模式和关系模式两种形式，其中，属性模式是“一元判断”（one-place predicate）；关系模式是“二元或多元判断”（two or more-place predicates）[6].其次，数学归纳推理并不是一个单一的思维方式，而是一个从“肉眼之观”（观察）到“心灵构想”（组合）的复杂的思维活动过程，其中包含着多种思维模式.再次，数学归纳推理是一种创造性的思维活动，从具体事物量化模式的识别与构建，到一类事物量化模式（归纳猜想）的形成与发现，需要经历尝试、概括、想象、抽象、形式化等一系列创造性思维活动. 二、数学归纳推理的5个认知阶段 关于数学推理的认知过程，国内外学者从不同的角度进行了探讨.塞浦路斯大学的Constantinos Christou等学者，通过分析小学五年级学生关于数学归纳问题解决过程指出：数学归纳推理是3个主要过程——相似性、差异性以及关于相似性与差异性的整合所构成的多层面认知结构，并且一个过程都由属性水平与关系水平组成[6].美国卡耐基梅隆大学的Lisa A.Haverty等在有关大学生“函数发现”问题的研究中提出，数学归纳推理包括3个基本活动：一是数值收集，由收集、组织和表征数值等活动组成；二是模式发现，由考查、修正和操作数值性事例等活动组成；三是假设生成，由构造、提出与检验假设等活动组成[7].中国李祥兆博士通过分析初中学生关于数学归纳推理问题解答过程，提出了数学归纳推理信息加工的一般顺序：一是定向，包括信息编码与抽取特征等活动；二是识别，包括产生规则、构建新模式、进行预测等活动；三是转化，通过对规则进行调整修正、沟通差异、通过不断反馈而找到猜想[8]. 通过整合上述研究成果，结合数学归纳推理案例分析，可以得出，数学归纳推理需经历5个基本认知阶段：（1）个别的看——按照一定的想法观察和组合个别事例的量化属性或量化关系，即对数量信息进行编码加工；（2）重复的看——在多次观察与组合中，逐步识别出相似的量化属性或量化关系，即识别模式；（3）想象的看——想象出具有相似属性或关系的具体事例；（4）抽象的看——生成具有抽象结构的量化模式，即形成假设（猜想）；（5）一般的看——确认假设，形成具有普适性的量化模式.这里的“看”具有3种含义：一是指尝试探究活动，即“试试看”；二是具有直观判断之意，是对量化模式的感受与领悟；三是指思考问题的角度.如史宁中教授指出的，“数学知识的形成依赖于直观，在大多数情况下，数学的结果是‘看’出来的而不是‘证’出来的，所谓‘看’就是一种直观判断”[1]，“看”所表征的是各个认知阶段所具有的以直观判断为基础的尝试性思维活动.数学归纳推理的这5个认知阶段可简称为“归纳五看”，下面所展示的是等差数列通项公式发现过程中的“归纳五看”.
下面将运用SOLO分类理论来分析“归纳五看”中的思维模式与量化模式的层次结构. 毕哥斯（J.B.Biggs）等人的SOLO分类理论将学习者关于某个问题的学习结果由低到高划分为5个水平：前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平和拓展抽象结构水平[9].在应用中，将“前结构水平”并入“单一结构水平”之中，因为在“前结构水平”学习者只是进行了一些试探性的思维活动，没能形成有效的思维模式和相应的量化模式；增加了“形式结构水平”，用以表征“一般的看”这一认知阶段所达到的学习结果水平.经过这样的调整后，学习结果的5个水平变成为：单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、抽象拓展结构水平与形式结构水平，它们分别与“归纳五看”相对应. （一）个别的看 “个别的看”是以个别数值事例作为思考的对象，通过直观观察与经验性的运算操作，以形成只符合这一具体数值的量化属性或量化关系.比如，单独地计算一个数列的前几项.在“个别的看”的过程中，所采用的思维模式是以一个数值事例为对象的特称判断（简称单一具象特称判断），所形成的量化模式也只适应这一个别的数值事例.虽然对同一个或不同的个别数值事例可以进行不同的运算操作，相应地可以形成各种不同的量化模式，但这些模式之间是缺乏联系的，没有任何形式的相似性和一致性.根据SOLO分类理论，“个别的看”这一认知阶段所形成的只能是单一结构的量化模式（这种量化模式只有形式上的意义，因为它没有任何范围上的普适性）. “个别的看”是数学归纳推理的起始阶段，具有尝试探路的性质.这一阶段所形成的单一结构的量化模式，虽然不能直接导致最终归纳猜想的生成，甚至好多是“无用”的，但却是归纳推理的认知基础和赖以推进的逻辑起点，因为它们蕴含着潜在的相似性或一致性，折射出普适性量化模式的影子.如果在“个别的看”中能够按照某种想法或策略对数量事例进行观察与操作，如遵循递归策略、追踪策略[7]、类比策略、要素分析策略[10]等，那么，在所形成的单一结构的量化模式中蕴含相似性或一致性的可能性就会增大，就能为下一个归纳认知阶段的开展做好充分的准备. （二）重复的看 “重复的看”是指在多次“个别的看”的基础上，通过比较“单一结构的量化模式”的相似性与差异性，直观地概括出共同或相似的量化属性或量化关系的过程.从现象学的视角，每一次“个别的看”中所形成的单一结构的量化模式都是一般性量化模式的一次“侧显”，当各种各样的“侧显”不断涌现时，随着一些相同或相似的量化特征的不断重复出现，人们天生所具有的“概括倾向”就会被激发起来，具有“最大限度相似”的那些特征成为注意的中心，而那些有着相同或相似特征的数值事例便会进入学习者的思维之中，形成一种以多个数值事例为对象的特称判断（简称多元具象特称判断）.此时，所识别的量化属性或量化关系为多个数量事例所共享，形成一种具有多元结构的量化模式.如，在“重复的看”了等差数列的前几项之后，可能形成的多元结构的量化模式有：①每一项都是由含
与d的式子组成的；②d的系数是连续自然数；③d的系数随项数的变化而变化；④通项公式的结构可能具有形式“
+□d”等. “多元结构的量化模式”已经有抽象化的性质，但这种抽象化是模糊的、含混的，它“并不是在精确地区分各个特征的基础上进行，而是根据模糊的共同性的印象而形成的”[11].“多元结构的量化模式”是所观察的各个特殊事例量化特征的“最大公约数”，仅适应于所直观经验到的数值事例，只是一个“局部性假设”，它要发展成为一个“全局性的假设”——一般性的量化模式，需要超越具体经验事例的局限性. （三）想象的看 “想象的看”，是在“重复的看”中所形成的“多元结构的量化模式”的基础上进行联想或创造类似的数值事例的过程.在“想象的看”中，学习者以“共同性印象”代替经验操作的数值事例成为思维活动对象，通过联系与构想相类似的数值事例来印证“局部性假设”，思维方式是由特称判断得出类似特称判断的推理随着“局部性假设”被越来越多的事例所印证，所形成的量化属性或量化关系的适用范围越来越大，以共同性印象为特征的“多元结构的量化模式”逐步演变为以连贯性与一致性为特征的“关联结构的量化模式”. 进入“想象的看”是归纳推理过程中第一次质的飞跃，它标志着归纳过程从外部的经验操作转变为大脑内部的“心灵构想”.那些想象出来的数值事例虽说也是具体的、特殊的，但与经验中的事例已有本质的不同，它们已舍弃了经验事例中的那些直观的操作过程和可变的成分，而直接凸显了那些在变化中保持一致性或相似性的量化属性或量化关系.如，在归纳等差数列通项公式过程中的
与
，它们已不是计算的结果，而是“心灵构想”的产物.在实际学习中，这两项的想象过程可能会有所不同，其中
是相邻项的想象，所依据的可能是“d的系数是连续自然数”这一顺序性的“共同性印象”，是一种“顺序感”的产物；而
是相隔项的想象，依靠顺序感几乎是不可能想象的，只能根据更具有一般性的“共同性印象”——“d的系数比项的序号小1”想象出来，是对经验事例的一种超越. 理论上讲，通过想象可以构造出无穷无尽的具体数值事例（如果需要的话），能够按照某种明确的特征将数值事例组成一个序列，特别是能够补充一个数值序列中所缺少的那些元素.因此，“想象的看”是从有限走向无限，由“局部性假设”走向“全局性假设”的过渡阶段；“关联结构的量化模式”是一个动态的开放系统，具有“融合个别印象的趋向”[11]. （四）抽象的看 “抽象的看”，是把所有经验事例与想象事例当作一个整体加以考察，舍弃那些不可重叠的可变部分，而保留那些可重叠的不变部分，以形成“全局性假设”的认知过程.在“想象的看”中，随着具体数值事例的不断涌现，具有普适性的量性规律在连续不断的“侧显”中逐渐的浮出水面而成为注意的中心，并与那些处于注意边缘的其他属性分离开来而成为优先考虑的特征.学习者的思维是以全体数值事例为对象的全称判断（简称为具象全称判断），所生成的是以抽象化的数学语言来表征的“抽象结构的量化模式”. “抽象的看”也是在大脑内部进行的一种“心灵构想”，但已与“想象的看”有着本质的区别.在“想象的看”的过程中，虽然可以自由的想象出无限多个数值事例，但这些事例都是具体的、特殊的，而“抽象的看”中的事例已超越了原有的范围，是一种抽象化的事例，在所形成的量化模式中增加了新的信息（对抽象性量性规律的认识）.因此，从“想象的看”到“抽象的看”是归纳推理过程中的第二次飞跃，是对具体事例的超越.如，在归纳等差数列通项公式的过程中，通过“抽象的看”，“d的系数比项的序号小1”已不是一种对有限项（前几项）的直观概括，而是一个涵盖了数列所有项的量化模式（全局性假设），
是这种量化模式的符号表征. （五）一般的看 “一般的看”是通过对“抽象结构的量化模式”的合理性及意义进行确认的认知过程.这一过程一般由两种认知活动组成，一是假设检验，通过检验假设与特殊事例的符合程度，来提高其可信度；二是量化模式的运用，通过量化模式在解释实际现象或解决问题中的效果来确立对它的信任.“一般的看”完全脱离了具体事例、特征的具体联系，以“抽象结构的量化模式”（全局性假设）作为思维操作的对象，既要一般性地考察“全局性假设”，形成形式化的全称判断（简称抽象全称判断），也要一般性地看待每一个具体事例——即把每个特殊事例都看成是“全局性假设”的一个个别事例.“一般的看”中的思维已具有“形式方式”的功能特点，能够在“没有真实世界的参照物时对元素进行操作”[9]，因此，可以把“一般的看”中所形成的量化模式称为“形式结构的量化模式”. 与“抽象结构的量化模式”相比，“形式结构的量化模式”除了不依赖于真实世界的参照物这一特点外，它还融合了学习探究者的信念，因为它已接受了逻辑或实践的检验，学习者对它已产生了某种信任感.“形式结构的量化模式”是真正意义上的具有普适性的量化模式，它不再是一种外在于学习者的“猜想”，而是赋予一定意义的、内在于学习者学习结构之中的一项知识.如，通过at的验证、定义的检验、函数解释以及解决等差数列有关问题等学习活动，
已不仅仅是一种抽象的量化模式，而是学习者学习结构中的一项有效知识. 综合上述分析，数学归纳推理是由“个别的看”、“重复的看”、“想象的看”、“抽象的看”与“一般的看”等5个基本认知阶段组成的认知过程，其中每一个认知阶段都具有独特的思维模式及其相应的量化模式，并且每一阶段的量化模式均是下一认知阶段的思维操作对象.“归纳五看”及其思维模式和量化模式构成了数学归纳推理的多层次的认知结构，如图1所示. 三、数学归纳推理的特点及其教学启示 （一）层次性 “归纳五看”组成了数学归纳推理的认知连续体，每一个阶段都是不可或缺的，也是不能逾越的；前一个阶段是后一个阶段的起点，而后一个阶段是对前一个阶段的拓展与超越.从“个别的看”到“一般的看”，单一具象特称判断、多元具象特称判断、构想具象特称判断、具象全称判断和抽象全称判断构成了数学归纳推理的思维模式序列，思维的抽象性和复杂性在逐步升高；而单一结构模式、多元结构模式、关联结构模式、抽象结构模式以及形式结构模式则构成了数学归纳推理的量化模式序列，模式的一致性与普适性在逐步增大.因此，数学归纳推理是一种涉及多种思维成分（直观操作、概括、想象、抽象、形式化）的复杂的创造性思维过程，是不能由归纳心理研究中所揭示的某个单一的“归纳心理效应”（如典型性效应、多样性效应、前提样本大小效应、属性效应[12]等）来解释.
在归纳推理的学习与教学中，不能采取“过度的躁进”和“违时的急切”的做法，压缩或是缩短归纳推理的认知过程，而是要宁静地逗留于数值事例或量化现象面前，多看、多想、多思，切实地经历“归纳五看”，在依次运用各种思维模式的过程中，逐步发现或发明各认知阶段中的量化模式.那种单靠一、两个特殊事例或数值的观察就“归纳”出一种一般性的量化模式是有悖于数学归纳推理认知规律的.例如，关于“交集”的学习，教学中一般都是采用“直观+定义”的方法，即先观察一个具体的实例，然后给出“交集”的定义.这样的学习过程，既没有“重复的看”，更没有进行“想象的看”，使得许多学生对“公共元素”的认识只是停留在关于文字的“共同性印象”上，以至于出现如下非常低级的错误：｛锐角三角形｝∩｛钝角三角形｝=｛三角形｝.这种错误在大学数学专业的学生中依然存在. （二）探究性 数学归纳推理作为一种创造性的思维活动，所要考查的是未知情境中的量性规律，是不能按照一种预设的、固定的简单程序来操作.不论是“个别的看”中的观察操作、“重复的看”中的直观概括，还是“想象的看”的想象构造、“抽象的看”中抽象拓展与“一般的看”中的意义确认，均需要学习者去尝试、猜测、判断、反思和修正，不断地投入和组的探究环境，让他们自己选择数值事例的操作加工方法，自主寻找模式识别和猜想生成的出路，引导他们用自己的观点（想法）来引领“归纳五看”所组成的认知连续体的进程.例如，如果仅仅要学生观察一大批偶数是很难发现“哥德巴赫猜想”的，因为不知道要“看”什么.而如果引导学生产生了这样的想法：偶数与素数有什么样的关系，或者进一步地，一个偶数是由几个素数组成的（原子论思想），那么，在这种想法的引领下，通过归纳推理发现“哥德巴赫猜想”就不是一件难事. （三）开放性 与一般的归纳推理相比，数学归纳推理除了具有超越性（结论的范围大于前提的范围）与或然性（结论可能正确也可能不正确）外，还具有独特的开放性.首先，具有不确定性，包括前提条件的不确定（在“重复的看”中所需的具体数值的个数因需要而定）、数值加工方式的不确定（因“想法”的不同，组合加工数值的方式随之不同）和结论的不确定（可以形成多种猜想）.其次，具有生成性，数学归纳推理不但超越了原有的信息，而且增加了新的信息——在“想象的看”中通过“心灵构想”创造出了原来没有的具体数值，这些新的数值使归纳思维活动从无序走向有序、从有限走向无限、从具体走向抽象，从而催生了量化模式的形成. 鉴于数学归纳推理的开放性，在教学中，不要为归纳推理设置统一划一的标准，不要追求唯一确定的结果，不要像训练演绎推理技能那样，按照一种固定的模式机械训练学生的归纳推理技能，而应鼓励学习者采用多样化的思维模式，形成具有个性化的归纳猜想.特别地，要重视想象在数学归纳推理中的作用，改变那种只有在提出了“一般性结论”之后，才让学生去想象列举相应事例的做法（虽然这样做也是必要的），应该在得出一般性的量化模式之前就让学生想象出相似性或一致性的数值事例，这样的想象可为量化模式的生成与表征提供充分而必要的意象准备. （四）经验性 数学归纳推理作为一种合情推理，其每一个认知阶段均需要相应的数学活动经验来支撑.研究者在文献[13]中指出：“数学活动经验是指学习者在亲历问题解决的过程中，通过尝试与反思，在思维方式与量化模式及其体验之间所建立的联系.”“归纳五看”揭示了数学归纳推理每一认知阶段中的思想模式与量化模式，这为数学归纳活动经验的形成和积累提供了明确的认知机制和具体的学习活动步骤.在教学中，可根据“归纳五看”来设计归纳推理的具体学习活动，让学习者在经历个别的看、重复的看、想象的看、抽象的看与一般的看的认知活动过程中，依次建立单一具象特称判断与单一结构模式的联系、多元具象特称判断与多元结构模式的联系、构想具象特称判断与关联结构模式的联系、具象全称判断与抽象结构模式的联系、抽象全称判断与形式结构模式的联系，从而形成丰富完整的数学归纳活动经验.
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