“数学问题解决”研究的中国特色，本文主要内容关键词为：中国论文,特色论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学问题解决，中国古已有之.《九章算术》就是解决286个问题的汇集.西学东渐建立现代学校制度以来，解题一直处于数学教学的中心地位.20世纪80年代之后，随着数学奥林匹克竞赛的盛行、应试教育的不断升级、“数学问题解决”教学模式的引进，[1]我国学者对数学问题解决展开了多领域、多层次的研究.本文试图总结我国数学问题及问题解决教学的研究特色. 一、数学解题：从聚焦问题求解到数学思想方法运用的升华 现代数学问题解决研究，以波利亚的《怎样解题》系列著作为标志.我国学者在学习波利亚的同时，力求创造，其中以“数学方法论”的提出为代表. 1980年，徐利治出版《浅谈数学方法论》，率先提出“数学思想方法”的研究方向，并在随后出版的《数学方法论选讲》中对数学思想方法展开系统研究.此书在中国数学教育界引起热烈反响.笔者认为，徐利治的数学方法论研究，是波利亚“怎样解题”研究在中国的延伸与发展.相比之下，我国学者更注重宏观的数学思维活动，并着力关注其中的数学思想方法水平.自20世纪90年代以来，我国数学教师的职前与职后的培训，大都开设了《数学方法论》的课程，相关的著作、教材如雨后春笋般问世，如郑毓信的《数学方法论入门》和《数学方法论》一版再版，颇受欢迎. 中小学数学思想方法的教学，开始时主要关注一般科学方法在数学问题解决中的应用，特别是介绍归纳与演绎、分析与综合、联想与类比、化归与转换等方法的应用.其中的化归方法，确切地反映了将数学问题从“未知”转换为“已知”的演绎思维过程，因而为一线教师的日常教学所广泛使用. 数学方法论的研究，注意继承数学教育的优良传统.例如，早在20世纪50年代，华罗庚就提倡“数形结合”，其诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”，是对“形”“数”关系的辩证描述，指明了数学问题解决的一个重要策略，影响深远.经过一线教师大量的创新教学实践，提出了函数思想、方程思想、随机思想、优化思想，等等.徐利治提出的“关系—映射—反演（RMI）”原理，是需要深入研究的数学问题新的求解方法.历经长期的研究与实践探索，《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学教学的“四基”要求，即在原有“基础知识”和“基本技能”教学的基础上，增加“基本思想”和“基本活动经验”，表明数学思想方法的教学已经为国家正式文件所确认，并作为数学教育的主要教学理念加以倡导. 几十年来，数学方法论的研究也在向纵深发展.例如，张奠宙将数学思想方法进行分类，提出了“基本的和重大的数学思想方法”“与一般科学方法相应的数学方法”“数学特有的数学方法”“中学数学中的解题技巧”等层次.[2]7过伯祥归纳中学数学解题，有形式化、简单性、等价变换、映射反演、逐次逼近和系统化这六个基本原则.[2]84郑毓信在《数学方法论的理论与实践》中认为，中国在方法论研究中，有化归原则与RMI方法、数学抽象的基本形式与抽象度分析法、数学美学方法三项主要成就.[3]邵光华则将数学思想方法分为全域性和局域性两类.[4] 目前，国际上的数学教育研究目录中，还没有“数学方法论”的专题，我国开辟这一研究方向，应该是对国际数学教育研究的一项贡献. 二、数学题型：从单一、封闭走向多元与开放 传统数学问题的条件与结论，基本上是封闭的，但是，许多现实问题却常是多元的，即前提或终端往往是开放的.为了培养学生的逻辑推理能力，我们当然需要进行大量封闭型问题的训练.然而，若要进一步培养学生的创新能力，则常需要借助开放型的问题. 数学开放题，由日本学者岛田茂等在1971年首先提出.当时的一个标志性的问题是“五子离散度”：在平面上抛五个石子，问如何表示它们的离散程度.这一带有游戏性的问题，其答案显然不止一个，引起各国持续展开一系列的研究.时至今日，开放题已经成为一个常用名词.开放题传入我国之后的20世纪90年代，以戴再平为代表的研究群体做了一系列基础研究工作，并于1998年和2003年，先后举办过两次“数学开放题及其教学国际学术研讨会”，影响遍及全国，并开始走向世界. 我国在数学开放题的研究上，有以下四个特征：写入国家文件；融入学校教材；进入考试试卷；进行理论建设. 第一个特征是：教育部颁布的文件正式提倡数学开放题的使用.2000年，《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》在“正确组织练习”中指出：要循序渐进，由浅入深，由单一到综合，还要有适度的开放题.[5]此后，人们把开放题作为问题解决的新题型进行了大量的研究，开放题逐渐成为我国一种问题教学编制的理念并延续到《义务教育数学课程标准（2011年版）》，其中提到：“评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验，开放式问题，活动报告，课堂观察，课后访谈，课内外作业，成长记录等”[6]57“为了考查学生的创造能力，可以设计开放性问题”.[6]59尤其是在案例82（开放式问题及其评价）中，用较大的篇幅给出开放题的评价标准，创造性地依照数学准确性和解释的合理性两个维度分别设置了四级水平，并详细举例说明. 我国开放题教学的另一个重要特征，是将其融入课堂教学并使之常态化.开放题教学与中国传统的数学“双基”教学并轨，实现了一次飞跃.这也是开放题在我国具有旺盛生命力的关键所在.让师生喜闻乐见的开放题散发着诱人的魅力，被收入教材后，广受欢迎. 开放题教学的第三个特征是，逾越了“考试评价”这一“瓶颈性”障碍.由于开放题的答案不唯一，所以如何评价给分，需要全新的设计.时至今日，数学开放题已经大踏步地进入我国的高考和中考试卷，属于一种必不可少的基本考核形式，形成常态.1998年，全国高考试卷中首现开放性填空题.相比于高考，中考的开放题则要丰富得多.值得关注的是，国家文件曾大力提倡中考试卷里使用开放题.例如，2000年3月，教育部发布的《关于2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中指出：“数学考试应设计一定的结合实际情境问题的开放性问题”.教育部组织的《长江以南初中毕业、升学考试数学试卷评价报告》中指出：“与1999年相比，在2000年的中考命题中，80%左右的试卷有10分左右的开放题”，并认为这是一个“主要突破”.“近几年来，一个突出的变化就是人们普遍感到开放性、探索性试题确实有利于考查学生的思维能力与创新意识.”[7]110-111 最后，中国学者在开放题理论建设上，具有自己的创新特色.在一系列的文献中，戴再平等对开放题教学的基本原则、教学案例分析、评价原则、问题与展望等课题作了详尽的分析.仅就开放题的分类而言，就有以下几种.按命题要素可分成四类：条件开放题、策略开放题、结论开放题、综合开放题；按答案结构分类，有四种结构类型：有限穷举型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型；按解题目标分类，有找规律或关系、量化设计、分类与整理、举例、数学建模、提问题、情境创设、评价、一题多解；按编制方法分类，有条件不足的问题、逆的问题、计数问题的弱化. 经过二十多年的建设，中国的开放题教学正在逐步走向世界.1998年，由金汇学校提供的“简单邮路问题”的课堂教学实例，经香港大学莫雅慈博士的剖析，在日本召开的第九届国际数学教育大会上进行了介绍.日本的开放题倡导者桥本吉彦教授两度来华参会，交流经验.2004年3月，桥本吉彦在日本数学教育的权威刊物《日本数学教育学会会刊》2004年第86卷第3号上撰文，详细报道和介绍会议概况.2004年，张奠宙与戴再平合作，在哥本哈根举行的第10届国际数学教育大会上作45分钟报告，题目是“中国的数学‘双基’教学与开放题教学”（The “Two Basics” Mathematics Teaching Approach and the Open Ended Problem Solving in China），中文稿见《数学教育学报》2005年第4期. 三、教学理念：从熟能生巧的传统坚持到理论探讨 数学教学是否要遵从熟能生巧的原理？西方教育家认为熟能生巧是不必要也做不到的，所谓熟练，不过是死记硬背而已.然而，我国现代最著名的数学家，如华罗庚、陈省身，却坚信熟能生巧的重要性.华罗庚指出：“关于技巧的获得，必须经过苦练……因为唯有如此，才会‘熟能生巧’，‘推陈出新’”.[8]260华罗庚还认为，要真正打好基础，有两个必经的过程：“由薄到厚”和“由厚到薄”.[8]301-302他所说的“把薄的书读厚，把厚的书读薄”，前者是讲“熟”，把每一个细节都弄清楚，后者就是“巧”了.数学大师陈省身说，他的成功只是“熟能生巧”而已：“所有这些东西一定要做得多了，才比较熟练了，对于它的奥妙有了解，就有意思……有些工作一定要重复，才能够精，才能够创新，才能做新的东西.”[9] 这就是说，从事数学研究，必须对研究的内容非常熟悉，才能有所创新.数学研究如此，数学教育过程也不例外. 近年来，我国学者对“熟能生巧”进行了一些实证性的理论探讨. 国际学生评估项目（PISA）上海项目组负责人、上海师范大学原校长张民选答记者问时提到，上海学生要获得一定水平的学业成绩，必须有一定量的作业作保障，没有一个国家学生可以不做作业或做很少作业就能获得好成绩的.但另一方面也不是作业时间越长越好，对于上海学生而言，临界点为（每周）11小时.[10] “熟能生巧”，要求一定的计算速度，即以“速度赢得效率”.关于“熟练”的数量化指标，我国学者有两个重要调查.田中设计了对于初高中运算技能的速度测查量表，完成了2819个样本的调查.学生被要求在10分钟内完成38道测试题.设计者期望由此测出中国学生的“代数多项式”运算速度.[11]另一项调查是，对六年级的孩子完成小学数学中整数（100以内的加减法、两位数乘或除以一位数）、分数、小数（基本的四则运算等）的运算速度进行测试.[12] 至于如何由“熟”才能生出“巧”，尚未有完整的研究报告.单墫强调解题的综合感觉，注重数学问题解决的直觉思维——题感.[13]罗增儒在自我总结中提出了“数学解题教学法”，强调解题者对自身所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调控，着意总结解题过程的思维分析、结构分析、长度分析等方面的操作程序.[14]目的在于理解. 长期以来，国内外的许多研究都认为，中国学生在数学计算能力和基本知识掌握上优于西方的同龄人，但在创造性地解题方面，并不突出.但是，上海学生在PISA国际测试的优异表现，却提供了不同的结论.众所周知，PISA以测试学生的“终身学习能力以及问题解决能力”为目标，主要向学生呈现现实情境问题，其问题设计方式就是要表明数学的各个方面对于解决问题都具有真实的效用.因此，上海学生在PISA测试中的优异成绩，所反映的就不仅是数学基本知识和基本技能的掌握，还能有效地迁移到解决现实情境的数学问题中.任子朝等的研究表明：PISA的数学测试和我国高考数学考试，虽然命题的形式有所不同，但评价结果仍有较高一致性，考查效果高度相关.[15] 对熟能生巧的心理学机制，有诸如李士锜等学者的研究.[16][17][18]李士锜认为，对数学学习来说，熟能生巧所指的“巧”，其实质应是理解.数学知识建构的形式是活动和反省抽象.学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际操作经验来获得知识，数学活动需实际操作演算，或是头脑中的操作——思想实验.这就是说，没有亲历的操作活动，数学理解是缺乏基础的.李士锜最后总结说，解题训练作为一种教学法，其机制并不只是在让学生接触、熟悉和记住解题技能和技巧.运算操作是数学思维的发生之处，是完整概念形成的一块基石. 四、作业训练：从变式练习提升为变式教学的理论 20世纪80年代，顾泠沅在总结青浦数学教学经验的《学会教学》一书中，对变式教学进行了系统而深入的研究.他认为，数学变式可以分为概念性变式和过程性变式两类.概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解.过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验.一题多变、一题多解、一法多用等是呈现过程性变式的主要手段.2001年，顾泠沅到香港大学教育学院访问，瑞典心理学家F.Marton（中文名马飞龙）教授在听取顾泠沅报告后指出：一些西方研究者之所以把“中国学习者”描述为“机械学习者”，是因为他们往往把记忆与理解看成是两个对立面，所以将重复学习与机械学习相提并论.事实上，有变化的重复学习也可以是有意义的学习.因此，马飞龙认为，他所创立的现象图式学（Phenomenong raphy）中的变异理论（Theory of variation），和中国传统的变式教学有许多相似之处. 我国香港大学和香港中文大学，以此为契机，大力投入“变式教学”的研究，先后产生了几篇数学教育的博士论文.其中包括黄荣金在香港大学的题为《变异理论下的数学课堂研究》的博士论文，以及孙旭花的博士论文《螺旋变式数学课程：理论与实践》（香港中文大学，2006）.这些研究，力图将变式练习上升为变式教学理论. 基层作者的研究也会含有科学合理的成分.2011年，黄坪、尹德好的《高中数学题根》一书，将变式问题具体化，直接为数学解题教学服务.书里的每一支“题根”，都会有好几种变式形成“变式网络”，或变“背景”，或变“对象”，或变“规则”，或变“条件”……变式之丰富前所未见. 总之，熟能生巧和变式练习的有机结合，已经呈现出一种中国特色，并已在世界上获得一定的反响. 以上，我们回顾总结了我国在问题解决教学方式上的研究特色，希望有助于建立教育上的民族自信，发扬自己的优良传统，并一步步地走向世界.但是，我们决不能忽视自己的弱点.应试教育带来的学业过重负担，漫无目标的题海战术，解题领域的机械训练等等痼疾，似无缓解的迹象.因此，我们既不可夜郎自大，也不可妄自菲薄.数学教育要能更上一层楼，必须做到科学地看待自己.