“巧算”背后的学科韵味——对知识技能教学的重新审视，本文主要内容关键词为：韵味论文,重新审视论文,学科论文,技能论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在当前的小学数学课堂教学中，经常会出现“巧算”环节，尤其是计算教学.传统的计算教学非常关注计算速度，而当前的小学数学特别强调估算.对于“巧算”问题，很多教师迷茫而不知所措，有些教师则将其“上升”到“奥数”的“高度”.
究竟如何把握小学数学教学中必不可少的“巧算”呢？能否在确保基础知识、基本技能的前提下，让学生获得归纳的直接经验和体验呢？
带着这个问题，我们深入小学数学课堂开展课堂观察、课例研究，获得了大量第一手材料，以下便是我们的思考.
一、一个常见教学片断中隐藏的问题
2011年3月17日，吉林省长春市某小学的一节数学课.
该课内容是“两位数乘两位数”.教师由情境导入，列出了算式“24×12”.在教师的引导下，学生基本理解了“两位数乘两位数”的算理，并初步掌握了列竖式的计算方法.此时，教学转入巩固深化拓展阶段——教师安排了以下习题作为巩固练习：
1.列竖式计算：13×23=
23×22= 41×12=
2.填空：在□中填写适当的数字.
3.拓展题：计算下列各式，并观察你得到的结果，比较各个算式与其结果，你能发现什么规律吗？
12×11 13×11 15×11 45×11 63×11
其中的“3.拓展题”是面向优秀生的，而前两题是面向全体学生的.
离下课时间剩不到4分钟了，学生很快算出了答案，然而，通过仔细观察找出其中的规律，显然时间略显紧迫.虽然个别学生也找出了一些规律，但始终未能触及最为核心的规律.下课铃响之前的半分钟，教师很无奈地直接告诉学生，“大家仔细看，一个两位数乘11，乘积就是将那个数‘两边一拉，中间一加’，现在你们知道了吗？”
自新课程实施以来，小学数学教学设计一般都会有“拓展提高”环节，而且此环节的内容并不要求所有的学生都能够理解和掌握，因而，在某种意义上可以说，这是为那些“学得好、学得快”的优秀学生准备的“甜点”.然而，上面这一节课的“拓展提高”部分的内容，是名副其实的“甜点”吗？我们觉得有必要深究.
首先，这是“两位数乘两位数”的计算题（一般性），其次，才是“积有特殊规律”的计算题（特殊性）.
从一般性来看，这些题应该是这节课的教学内容；从其特殊性来看，符合《义务教育数学课程标准》课程目标规定的“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”.因此，不应该只是简简单单的“甜点”，而是需要让每位学生都经历的、重要的“归纳推理过程”.在这里，教师的处理方法，其实仅仅是让学生多做了一次有关“两位数乘两位数”的练习，且由于教师告诉了学生“一个两位数乘11的巧算方法”，学生只是知道了一种巧算的技巧，在能力上并未获得实质性的拓展提高，“拓展题”也就名不副实.
实际上，在小学数学中，大量“巧算”问题多可以归为规律类问题.如果仅仅将其作为基本训练之余的拓展——由教师直接给出“巧算”的具体技巧，那么，这种做法的确可以产生“老师真厉害”的震撼效果，但也恰恰丧失了对学生进行归纳推理能力培养的绝佳机会！
事实上，归纳推理是形成创造能力的根本.如果一位学生从来没有经历独立地发现问题、提出数学问题并加以分析和解决的过程，那么，长大以后要成为创新人才，几乎是不可能的.
因而，在保证基础知识、基本技能学习的前提下，如果能引导学生经历一次归纳发现的过程，那么，学生所积淀的归纳的经历和经验，与其所获得的基础知识、基本技能一样重要.基于这种思路，我们修改并重新实施了以上内容的教学.
二、将技巧练习展开为过程探究
上面的“巧算”内容——“一个两位数乘11的巧算方法”，的确属于一种数学技巧.之所以能够成为一种技巧，是因为其中蕴含某种数学规律，而这种规律是需要学生通过观察、发现、猜想、验证而获得的.为此，在不改变这节课前半段的前提下，将巩固深化拓展阶段作如下调整：
保留练习“1.列竖式计算”，删去练习“2.填空”，将仅仅面向优秀生的“3.拓展题”修改为面向全体学生的如下问题：
2.算一算、想一想、猜一猜：
（1）列竖式计算：12×11，14×11，15×11，17×11.
（2）仔细观察每道算式的因数与积，说一说发现了什么？
通过笔算，从12×11=132；14×11=154；15×11=165；17×11=187之中，学生似乎可以发现：
积是一个三位数，百位都是1，十位数字似乎与这个两位数有关（似乎是这个两位数的两个数位上的数字的和），积的个位数与这个两位数的个位相同.
对学生来说，这是观察上面四道数学题而归纳猜想出的结论，属于第一次“发现”.
但是，这个猜想是否正确呢？有待验证.于是，在此基础上，教师再给学生出示：
（3）猜一猜11×24和11×45的结果，可能是多少？再列算式验证自己的猜测.
学生按照刚才的“猜想”会猜：“24×11的结果应该是164”，“45×11的结果应该是195”.
然而，学生通过列竖式计算后发现：
24×11=264
45×11=495
而“百位不再是1”，“猜想”需要修正！这是经过一次猜想和验证后归纳出的第二次“发现”.
如何修正呢？
在二次发现的基础上，教师进一步引导学生思考第四问：
（4）观察上面的6个等式，它们有什么共同的特点？能有什么发现吗？能验证你的发现吗？
学生很快就能发现，“都是一个两位数乘11”，而且“积的百位数字，与两位数的十位数字相同”，此时，部分学生可以得出“积是把与11相乘的另一个因数分开，中间放它们的和”，教师将其进一步归纳为“两边一拉，中间一加”.这是经过观察得出的第三次“发现”.
在此基础上，再验证我们的猜想，于是，教师出示第五个问题：
（5）运用上面发现的规律，自己编一个两位数，比如36，先猜测11×36的乘积是多少，并列竖式计算验证猜测.
果真，猜想正确！
当学生感到三次“发现”的结论可以成立时，教师出示第六问：
（6）按照你自己的猜想，先猜一猜11×57的结果会是多少？再用列竖式的方法验证.
学生们会发现，此时，两位数之和5+7是超过10的数，前面的“猜想”需要修改！
借助此时的认知冲突，教师引导学生归纳出：只有在“两位数的十位数字与个位数字的和不满十时”，才适用“两边一拉，中间一加”的方式.
而“满十”时，这个“十”应该怎么处理呢？是写成“5127”还是“627”？
再来分析竖式，学生可以发现，此时十位上的“12”应该向百位进一，要写成“627”.
对于修改后的结论，此时的学生往往会尝试一下，比如计算“11×59”和“11×67”，发现的确是11×59=649，11×67=737.
最终，学生将猜想“两边一拉，中间一加”进一步修改为“两边一拉，中间一加，中间满十，百位加1”.
这是学生根据观察若干个特例（个案），归纳、猜想、验证、修正的第四次“发现”！
上面的过程是否啰唆？其实，如此“啰唆的过程”并非多余.让学生经历这样的过程，其真正的意图在于，在巩固“两位数乘两位数”的基础知识、基本技能的教学过程中，让学生多次经历归纳、猜想的思维过程，获得“个案1，…，个案n→归纳出一个共性规律，发现→猜想→验证自己的猜想→得出一般的结论”的直接经验和体验，让学生经历一次“数学家式”的思考过程，感受智慧产生的过程，体验创新的快乐.
当然，对于上面的第六问（即两位数字之和超过10的情况），作为部分学生课后研究的问题更合适，作为全班同学的共性要求可能高了一些.
上面的过程并非小学数学的个案和特例，而是具有一定的普适性.例如：
案例2用小棒摆三角形，三根小棒可以围成一个三角形（如下图所示）：
（1）要摆2个三角形，需要几根小棒？请用学具中的小棒摆一摆，数一数.
（2）摆3个三角形，你先猜一猜，需要几根小棒？再亲自动手摆一摆，验证一下.
（3）上面的过程有什么规律吗？按照你发现的规律，先猜一猜，按照这样的方式摆5个三角形，需要几根小棒？摆20个三角形呢？还需要具体摆一摆吗？
（4）尝试着说明你的“发现”的道理，并与同桌交流（大班交流）.
“巧算”之“巧”在于充分地发现、了解、认识数字背后的规律，这种规律性的东西，正是我们在数学教育中让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”的着力点.在这一点上，可以说“巧算”实质上是一种教学资源，只有充分认识到其价值，才能使教学效益最大化.
三、思考与讨论
1.演绎式教科书编写方式可以颠覆吗？
数学新知来源于直观之上的归纳，数学发展依赖于推理.而推理的主要方法是归纳与演绎.其中，归纳推理是人类发现新知的重要思维方式.
然而，长期以来，我国小学数学教科书内容的编排主要采取演绎的方式，即从一般到特殊.我们的小学数学课堂教学也习惯于演绎方式，即先讲一般的，再讲特殊的，而特殊的又常常被放在“拓展提高”环节，当作只有“学得好、学得快”的学生能够尝试的“甜点”，因而，普通学生很难经历从特殊到一般的归纳过程.
因此，培养学生归纳思维水平，就需要将一些课程内容按归纳的方式呈现在小学数学教科书之中.例如，“两位数乘两位数”，其教学重点是“理解两位数乘两位数的算理，并掌握其列竖式计算的方法”.而前述案例1中的“巧算”内容，本质上是“两位数乘两位数”，如果将“一个两位数乘11”，如“12×11”作为例题，将用于归纳的“14×11”、“15×11”、“17×11”、“24×11”、“45×11”、“36×11”、“59×11”、“67×11”等，作为练习，再用一般的算式，例如“24×12”、“33×23”来检验学生是否“理解两位数乘两位数的算理，并会列竖式计算”，这样的设计是不是更恰当一些？
至少，这种设计将使学生在体验观察、发现、猜想、验证的操作中，多次经历归纳过程.
应当注意的是，“巧算”仅仅是提供归纳过程的承载体，不必要求学生都必须掌握这种“巧算”的方法，毕竟“巧算”的算式一般都具有特殊性，需要有一定的前提条件.
2.教学的层次性就是简单重复吗？
基于上面的分析，数学课堂教学的层次性未必就是停留在知识技能的简单重复.就当下课堂教学而言，更需要按照基础知识、基本技能的繁杂程度，数学思维的深广度，待解决问题的繁难程度等多条线索，交替而螺旋上升.
在知识技能的教学中，应让每位学生获得知识技能形成的经验、自己独立思考的经验以及猜想、发现的直接经验和丰富体验，最终形成良好的数学学科直观.这种过程性的教学，正是数学教育的魅力之所在.