开展有“研究”含量的教研活动，本文主要内容关键词为：含量论文,教研活动论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
经过多年的探索，我们发现在开展初中数学教研活动时，从数学本质出发分析教学内容、提出教学建议、介绍典型课例是教师专业发展的有效途径.事实上，分析教学内容并提出教学建议是帮助教师理解教材，确立教学目标，把握重、难点，顺利实施课堂教学的重要的保证，而典型课例的介绍则是给教师在主要章节的教学设计时提供重要的参考.现以“有理数”一章为例，说明如何开展有“研究”含量的教研活动.
一、在教学内容的挖掘时提高“研究”的含量
数是整个数学里的主要研究对象之一.虽然在中学有理数这部分教学中，对于有理数的知识，重点只是让学生理解有理数的意义、学会有理数的比较和运算，但作为数学教师来说，至少得初步了解一些数的理论，这样才能更深入地理解教材内容的精神实质，对教材进行分析研究，正确地进行教学.[1]
案例1：关于“负负得正”是否可以证明的数学理解
田载今先生对上述问题做出过非常明确的解释，“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通过逻辑证明得出.然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些背景材料，可以帮助学生认识乘法法则的由来与合理性，但是不能将这样做误认为证明这个法则，[2]张广祥先生认为：数学的许多规则，包括初中阶段负负得正以及数与式的大量符号运算法则，是人类几千年来计算经验的总结.是人类追求“和谐体系”的结果.这些规则后来被数学家作为设立数系公理的依据，以便可以从数系的公理系统推出这些行之有效的规则.“美学观念”在理解符号及其运算的学习过程中发挥了重要作用.在实际教学中，我们不必也不可能在学生的初学阶段作这样的形式化证明.但是，我们能够通过模式直观，用“美学的”、“和谐的”、“合理的”思考方式，帮助学生理解这些规则.[3]
我们非常同意上述看法，由于有理数是在学生学习过整数、分数的基础上，对于数集的又一次扩充，对于教师而言，应该了解数集扩充的原则.如果在数集扩充时，我们认定运算律和零的性质是自然成立的，也就能够解决学生产生的为什么“负负得正”这样一个困惑.其实学生困惑主要在于经常会觉得（-1）+（-1）=-2，同类数相加，类型不变，量相加.为什么这样的直观原则用在乘法时不再成立？在认定了数集扩充原则以后，利用形式符号运算能够圆满地解决这一困惑：0=-1×[1+（-1）]=（-1×1）+[-1×（-1）]=-1+[-1×（-1）]，所以（-1）×（-1）=1.其实，作为教师应当明确负数的运算实际上已经是一种形式符号的运算，它与具有实体形象的正数虽然有相同的运算性质和运算法则，但是形式符号的特点是与实体分离.当然有人还会问，数集扩充后，为什么运算律和零的性质是自然成立的.这仅仅是因为在自然数中有此运算律，扩充以后这种要求与我们的生活事实没有矛盾，没有别的理由.正如W.H.Auden所说Minus times minus is plus.The reason for this we need not discuss（负负得正，理由不需要讨论）.至此，我们可以认为从数学的本质出发，对“负负得正”的理解显得更加自然、恰当.
二、在教学建议的提出时提高“研究”的含量
1.“研究教材”——从品读课本的角度挖掘教学内容
新课程背景下，教师作为课程的实施者，同时也是课程研究、建设和资源开发的重要力量.教师对于课本提供的基本素材和线索，可以调整、重组，可以超越甚至颠覆，但这似乎并不能认为应当降低课本的地位，教师应学会创造性地运用课本——也就是“用课本教，而不是教课本”.我们认为，课本是实现课程目标、实施教学的重要资源，同时它为学生的学习活动提供了基本线索.因此，教师首要的事情是“研究”课本.以人教版数学“有理数”一章为例，我们虽然只是从一些具体的内容和一些细节入手，但是品读后就会发现大有收获.
（1）品读插图
案例2：浓缩的三幅图画——“承前启后”的开篇
正数和负数这一节的三幅图画——古代人们结绳而治（即用自然数计数）、0的产生、分数的应用表明了人们认识数的发展过程.虽然只有很少的文字介绍，通过负数一节开头图的呈现，却将小学所学过的数以及它们的扩充的过程做了一种总结概括.放在这里有种“承前启后，继往开来”的气势.
（2）品读句子
案例3：“数的产生和发展离不开生活和生产的需要.”——精彩的导入语
课本的第1节“正数和负数”第一句话是：“数的产生和发展离不开生活和生产的需要.”它与我们通常的说法似乎有点不同.为什么不说：“由于生产和生活的需要，产生和发展了数.”如果这样换一下，就有些逊色了.因为从数学的发现和创造过程来看，数的产生和发展不只是实际需求的结果，也是数学内部矛盾作用的结果.对初一学生来讲，认识到这一点，当然是后话，课本却由此留下了空间.三个字“离不开”，境界就出来了，有种“微言大义”之感.
（3）品读结构
案例4：数轴的概念——定义中体现非常“数学化”的结构
数轴的定义是初中阶段非常数学化的定义方式，书上说的是通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求，即原点、正方向、单位长度.这种定义方式，刚开始学习时学生极容易漏掉“满足以下要求”后面的部分.但是如果教师仔细看数学书就会发现，在以后复杂数学定义和高等数学中很多定义都是这样表述的，比如定义代数中的群、环、域的概念，都是一个集合满足几个条件等等类似定义方式.
案例5：“有理数的加减法”和“有理数的乘除法”——内容上体现非常“数学化”的结构
“有理数的加减法”首先从加法的几何意义出发，用数轴表示两次运动及其结果，引导学生从不同类型的七个算式中发现加法的运算法则，验证其合理性的，运算律是通过实验得到的，减法法则是根据“减法是与加法相反的运算”推演出来的.既有观察、实验，也有验证、推理，根据具体内容的特征选用不同的活动.再看“有理数的乘除法”，由于它与“有理数的加减法”内容结构是平行的，因此采用了同样的处理方式.应该如何处理教学内容——“具体问题具体分析”，课本不是给出很好的范例吗？
（4）品读遗憾
案例6：负负得正的课本解释
当然，教材也有值得商榷的地方.在上文中，我们谈到对“负负得正”的数学理解.课本上对“负负得正”的解释，用向东、向西，某时刻之前、之后作为正负取向的标志，然后采用直观方法验证负负得正的运算规律.这是上述操作性的模式直观.但是，由于借喻“向东、向西”，“时刻前、时刻后”这种实际情景，我们实际上已经在算术演算中加进了“向量”的更为复杂的概念，这对初学正负数四则运算的学生来说，新概念过分集中，为学生的接受能力所不容许.实际上，物质世界并不存在一个抽象的“负负得正”的算术实例.因此，如上文所述从“运算和谐”的角度寻求能够支撑“负负得正”的模式直观也许在教学中存在更合理的价值.[3]巩子坤老师在研究使用不同模型教授“负负得正”对学生的理解产生的影响时发现，教师使用不同的模型对学生的理解并没有产生显著性的差异.[4]这也有理由支持我们从更数学的角度让学生理解“负负得正”的运算法则.
2.“研究教法”——处理教学内容的三个维度
（1）从几何直观的角度呈现教学内容
数和形是数学的两个方面.数学中的数较形而言，具有更加抽象的特点，这也是学生在数集扩充的时候的理解更加困难的原因之一.但是借助几何上的直观感觉可以帮助我们理解数的某些相关的概念和运算法则，甚至理解数量之间的关系，这在国外有很多人研究，叫做Proof without Words（无字证明）.
案例7：“去括号法则”无字证明的讲授
在进行有理数混合运算时，我们应该补充有理数的去括号法则.老师常让学生记住去括号的法则：括号前面有负数，负数的绝对值与括号中数分别相乘，再改变每个数前面符号.这个法则常常让学生出错，如：（-1）×（2-1+5）=-2+1-5，特别是在多项式运算中常出错.这种让学生当做规则不加以任何解释的应用，这当然不是学习数学的态度.在教学上，虽然由上面的讨论可以看出，负负得正这个法则是由于运算需要而人为规定出来的，只好让学生记忆，再通过例子强化，但涉及多个数的运算需要运用分配律时，我们建议不要让学生背诵太多的法则，不如让学生应用运算律：加乘分配律和（-a）（-b）=ab.那么有（-1）×（2-1+5）=（-1）×2+（-1）×（-1）+（-1）×5=-2+1-5.
在教学中，我们也可以运用几何直观的方式把去括号的规则讲的清楚一点，用极其简单的几何直觉就能说明去括号法则正确的可能.无字证明的习惯是只需要把图画出来，说一声“请看”就足够解释这种法则了.
如图，给出a＞b及c＞a，其中a、b、c皆为正数，那么a-b为一正数，小于c，即c-（a-b）必作为正数存在.现在用横坐标把数字表示出来，表明点a和点b之间的线段具有长度a-b.看一下图示就可以明白，如果从c段中取走a-b，结果同我们先取走整个线段a，再放回b段一样.这样就直观的说明了去括号法则的合理性.[5]
（2）从难点分析的角度把握教学内容
把学习过程中的难点分散，使学生在学习过程中多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，并注意明确相关内容在不同时间段中的要求及前后联系，这是提高教学效果的重要方法.
案例8：相反数和绝对值等难点的突破
相反数的起始可以只介绍相反数的概念——只有符号不同的两个数，以及几何意义.随着学习运算的深入再逐步体会，两个有理数互为相反数的等价刻画就是两个数的和为0.
对于绝对值的学习更是如此，开始时，除了强调其代数几何两方面的定义.教师仍要强调确定一个有理数，一方面要考虑其符号，另一方面要考虑其绝对值，这两个方面都确定，有理数才确定，抓住主要矛盾以及矛盾的主要方面就是确定符号.随着运算的学习再逐步渗透绝对值相关的等式以及不等式.
（3）从思想方法的角度融合教学内容
本章主要涉及数形结合思想（数轴），分类讨论思想（绝对值），转化与化归思想（有理数的减法转化为加法，除法转化为乘法），下面的例子让我们感到转化的思想可以融合不同的教学内容.
案例9：有理数减法的讲授以及有理数加减混合运算
讲授有理数的减法时，从逆运算的角度，回顾有理数的减法的相关定义，提出运算的法则.并指出，减法运算总是转化为加法运算进行，在有理数的加减混和运算中，运算符号与性质符号对应统一，把加减混合运算看成省略加号和括号的代数和的形式，体现了更深层的转化思想.有理数的乘除运算也是如此.
三、在典型课例的介绍时提高“研究”的含量
（1）从数学理解的角度“研究”教学内容设计
案例10：有理数的加法（第一课时）课例介绍
教师应该明确的是，在课本的体系下，运算法则是不能证明的.我们可以做的只是验证法则的合理性.比如有理数的加减第一课时的讲解中，我们可以举净胜球、收入支出的问题，强调有理数的加减法七种情况，可以分为3个大类，对每种情况验证其规定的合理性.而在教学中应当重点把握的是在规则形成以后，让学生当堂理解法则讲的是什么类型，取什么符号，括号内的绝对值如何运算这样几件事情.用法则指导运算是核心.有理数加法是有理数运算的基础.设置实际背景（学生熟悉的实际例子），让学生充分体会：加法法则来源于实际，法则的规定符合实际.加法法则是进行两个有理数相加的根本依据：加法法则解决了原来算术里无法解决的矛盾.引导学生理解有理数加法法则.然后，通过练习，巩固加法法则.把“分析式子结构、确定解题策略、运算合理简洁、书写表达规范.”作为学生进行计算时遵循的原则.
（2）从变式教学的角度“研究”例、习题的编排
在例、习题教学中，变式教学有着很高的教育价值，它不仅是一种重要的教学途径，更是一种重要的思想方法.加强例、习题的变式可以促进迁移.[6]最初的变式设计应该与例题较为相似，这样做是为了让学生在练习的过程中不至于受到过多的挫折以至于丧失信心.以本节课习题教学设计为例，我们在例题的选择上紧扣课本，同时选择如下4个问题进行水平变式.
这4道题分别是关于异号整数相加；分数、小数相加；真分数相加和带分数相加.这组题目基本是例题的重复，是重复性的再认题目，认知的功能是巩固，学生经过表面相似问题的解决，形成一种心理定势，建立了有理数加法的运算能力结构.最后通过如下两个问题（①若a＜0，b＜0，则a+b的符号是____；②若a＞0，b＜0，｜a｜＞｜b｜，则a+b的符号是____）的垂直变式，让学生过渡到陌生的题目上，促进概念和规则的纵向迁移.后一组题目是发展性题目，认知功能扮演“发展”角色，逐步增加认知负荷，驱动高层数学思维，增加深层策略，把原来的知识技能转化成策略知识.
通过水平变式和垂直变式，它使学生在理解有理数加法法则的基础上，把学到的知识转化为能力.它还使学生从“变”的现象中，发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，同时，又使学生体验到新知识是如何从已知知识逐渐演变发展而来，从而理解知识的来龙去脉，形成良好的认知结构.
正如张广祥先生在文[7]中结尾所述，他所引述的包括数学家和数学教育研究专家的论点都支持从数学出发理解数学教育的看法.在实践中，我们发现比起仅仅罗列分类的习题而言，从数学出发开展有“研究”含量的教研活动，教师的认可度还是很高的.