河南省南阳市第一高中 473061
摘 要：采取归纳总结的方法，通过构造几种数学模型，即：函数模型、方程模型、数列模型、复数模型、向量模型、几何模型等，以中学数学中某些典型题为例，具体探讨了构造法在不等式证明中的应用
关键词：构造法 不等式证明 应用
不等式证明在中学数学中是一个难点、重点之一，近年来，有关不等式证明的题目愈来愈多地出现在各级数学竞赛、高考中。不等式的证明方法很多，最常用的有综合法、比较法、分析法、反证法、数学归纳法、参量法、放缩法等。可根据题目特点应用重要不等式或换元，或是多种方法综合应用。总之，不等式证明的方法多、技巧性强，这就需要我们积累不等式证明的方法和技巧。
当运用其他方法难以证明不等式时，可根据不等式的条件，利用构造法构造出满足条件的函数、方程、数列等等，从而达到证明不等式的目的。
一、构造法的概念及意义
所谓构造法，就是根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、方程、数列、几何图形等某个数学模型，并将所证明的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的。
构造法是数学中一种极富技巧性和创作性的解题方法，它属于转化思想的范畴，常常表现出简洁、明快、精巧、新颖等特点。运用构造法解决不等式问题，不但可以深化对相关知识的认识和理解，而且可以沟通不同知识之间的内在联系，是一种综合运用知识的过程。对学生而言，能够培养他们良好的素质、丰富的想象、开阔的思路。
二、构造法在不等式证明中的应用
运用构造法证明不等式，重在“构造”。根据已知条件与要证的结论所提供的信息联想函数、构造数学模型，通过对这个数学模型的研究去实现原问题的解决。下面通过中学数学中的典型例子探讨构造法在不等式证明中的应用进行初步探讨。
1.构造函数模型。构造函数模型是一种很有技巧性的证明方法，常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。采取此方法证明不等式，要抓住不等式与函数的密切关系，以问题的结构特征为起点，构造相应的函数，从函数思想和方法来解决问题。
例如，证明：mm+1>（m+1）m（m≥3，m∈N+）。
证明设函数f（x）=，则f`（x）= ，
当x>e时，f`（x）>0，
所以f（x）=在区间（e，+∞）上是单调递减函数，
故m≥3时，> ，
即mm+1>（m+1）m（m≥3，m∈N+）成立。
注：利用构造函数模型证明不等式问题，要善于观察欲证不等式的结构特征，构造出相适应的函数，利用函数的相关知识来解决问题。
2.构造数列模型。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆对形如“f（n）>（≤）g（n），n∈N”的不等式，可通过构造数列an=f（n）-g（n）或bn=，g（n）≠0，从研究数列性质出发，达到证明不等式的目的。
例如，对于一切大于1的自然数n,证明不等式：
所以an+1>an，{an} 是递增数列，
所以an>a2= >1，
即当n>1，且n∈N时，原不等式成立。
注：此方法关键是将不等式进行适当的变换，构造出基本的数列通项或和式的结构，进而借助数列性质证明。
3.构造方程模型。构造满足不等式条件的方程，利用根的判别式（韦达定理）来证明原不等式，是构造法在不等式中的应用的又一形式。
例如，已知a>b>c，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：- <c<0。
证明由a+b+c=1，可得：a+b=1-c，
因为a2+b2=（a+b）2-2ab=（1-c）2-2ab=1-c2，
所以ab=c2-c。
根据ab=c2-c可构造出以a、b为根的一元一次方程x2-（1-c）x+c2-c=0，
又因为a、b∈R,a>b>c,由条件可知：
解得：- <c<0。
注：对于复杂的多元不等式证明问题，可选取其中一元为主元的二次方程，利用方程有解条件求证。
上面从三个数学模型介绍了构造法在不等式证明中的应用，在证明不等式时要求我们要从多维度、多层面地探究与思考，打破常规，提高解题能力。
三、构造法在不等式证明中应注意的问题
构造法是数学中一种极富技巧性和创造性的解题方法，可以通过深入分析问题的结构特征和内在规律，把题设条件中的关系构造出来，或者将关系设想在某个模型上得以实现，或者将已知条件经过适当的逻辑组合构造出一种新的形式，从而使问题等价转化为与之相关的函数、方程和数列等，然后进行求解。
参考文献
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论文作者:周冠豪
论文发表刊物:《素质教育》2016年3月总第200期
论文发表时间:2016/5/4
标签：不等式论文; 函数论文; 数列论文; 方法论文; 模型论文; 方程论文; 条件论文; 《素质教育》2016年3月总第200期论文;