基于历史相似性的“字母表示数”教学，本文主要内容关键词为：相似性论文,字母论文,历史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“字母表示数”是沪教版初中数学七年级上册第1课的内容，是学生学习符号代数的开端，因此，这一内容的教学至关重要.研究表明，在一定程度上，学生对符号代数的认知过程与符号代数的历史发展过程是相似的.因此，我们基于历史相似性，设计了“字母表示数”的教学过程，以期达成以下3个教学目标：（1）理解字母表示数的意义.（2）会用字母替代一些简单问题中的数.（3）经历代数发展的3个阶段，体会字母表示数的过程，领会字母表示数的数学思想. 一、代数学的历史发展过程概述 从历史上看，从修辞代数到缩略代数，再到符号代数，代数学的发展经历了3000多年的漫长历程. 在代数学发展的早期，人们完全用文字来表达一个代数问题的解法.由于不知道用字母表示数，数列“通项”概念并不存在，所有数列求和的结果都只能针对具体的若干项.公元前6世纪，毕达哥拉斯学派对多边形数的研究就是如此. 在3世纪，古希腊数学家丢番图（Diophantus）在其《算术》中用字母“ζ”表示未知数，成了缩略代数的先例，使代数学前进了一大步.但由于并不知道用字母表示任意数，丢番图只能用特殊的数来代替问题中的已知数. 到了16世纪，法国数学家韦达在其《分析引论》（1591）中用字母表示未知数和任意数，标志着符号代数的诞生. 二、教学过程 基于历史相似性，我们设置3个问题，让学生经历从修辞代数到缩略代数、再到符号代数的过程，体会历史演变过程中字母表示数蕴含的数学思想与文化.随后，我们引导学生总结字母表示数的意义和规范写法.接下来，我们利用3道例题，让学生在实践中由浅入深地学会用字母表示未知数和已知数，实现从修辞代数到符号代数的尝试性过渡. （一）代数学发展三阶段的再现 1.由修辞代数引入 教师出示问题1. 问题1 如图1，游乐场的大转盘的最高点、最低点分别离地面110米、10米，那么这个大转盘的半径是多少米？
在解决问题1时，学生运用修辞代数的方法很容易地给出了解答：（110-10）÷2=50（米）. 通过这一问题的引入，学生体会到公元3世纪以前的修辞代数方法. 2.向缩略代数过渡 教师出示问题2. 问题2 有一天，鸡、兔、蜘蛛被关在同一个笼子里，一共有45个头，240条腿.第二天早上，发现蜘蛛被鸡吃掉一半，又有一半的鸡和三分之一的兔逃跑了，剩下的鸡、兔、蜘蛛一共有130条腿.问：鸡、兔、蜘蛛原来各有几只？ 在解决问题2时，学生很自然地想到了设未知数来求解.于是，教师列出了方程，过程如下：设鸡、兔、蜘蛛原来分别有x、y、z只， 则有
教师提问：你觉得字母在这里表示什么？学生回答：字母表示未知数.教师指出，引入未知数看似简单，历史上却经历了漫长的过程. 教师继续提问：倘若我们生活在没有字母表示未知数的灰暗岁月里，能否解决该问题呢？教师与学生一起进行讨论，运用修辞代数的方法解出了这道题.学生体会到，与缩略代数方法相比，修辞代数方法显得复杂而冗长.教师指出，“用字母表示未知数”这一突破给数学带来了新的气象. 教师再次设问：究竟是谁最早踏出了这一步呢？然后，通过PPT向学生展示了丢番图的墓志铭： 行人啊，请稍驻足， 这里埋葬着丢番图. 上帝赋予他一生的六分之一， 享受童年的幸福； 再过十二分之一，两颊长胡； 又过了七分之一，燃起红烛； 贵子的降生盼了五年之久. 可怜那迟到的宁馨儿， 只活到父亲寿命的半数， 便进入冰冷的坟墓； 悲伤只有通过数学来消除， 四年后，他自己也走完了人生旅途. 教师就上述墓志铭进行提问：通过这段文字我们可以得到哪些信息？如何求丢番图的年龄？此时，学生已经可以独立地设未知数并列方程、求解.由于本节课的重点在于用字母表示数，因此，我们省去了解方程的过程.学生的解答过程如下：设丢番图的年龄为x，则有
该内容的设置不仅为学生补充了数学文化知识，还使学生感受到数学家对数学的热爱，并经历了用字母表示未知数的过程，学会了用字母表示简单的数. 3.进入符号代数 教师出示问题3. 问题3 如图2，用若干大小相同的小正方形，依次拼成大的正方形，第5个和第10个大正方形需几个小正方形拼成？第n个大正方形需几个小正方形拼成？
在解决该问题时，教师请学生填写表1.同时，教师就表1进行提问：本题中的n表示的是什么？是特定未知数吗？可以求解吗？学生回答：n表示的是任意一个自然数.
然后，教师采用复制式，将数学史内容呈现在学生面前： 在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经研究过正方形数了，毕达哥拉斯能轻易地说出随便多大的一个具体的正方形数，却无法表达任意一个正方形数. 在3世纪，丢番图已经使用字母表示数了.但是，在他之后的一千多年间，人们一直没想到用字母来表示任意数，而只能用具体的数字来表达——欧洲人非但没有进步，反而倒退回古代两河流域的水平. 直至16世纪，法国数学家韦达终于实现历史性突破，在其《分析引论》中使用字母来表示未知数和一类数.用字母表示任意数后，代数学告别了旧时代，插上了新翅膀，在人类文明的天空自由地飞翔起来. （二）字母表示数的意义及规范写法 在讨论中，教师与学生一起总结了字母表示数的意义：字母可以表示任意数，可以表示特定意义的公式，可以表示符合条件的某一个数，可以表示具有某些规律的数——总之，字母可以简单地将数量关系表示出来. 随后，教师列举了一些公式，如加法交换律、三角形面积公式和圆面积公式等，让学生思考并回答这些公式中字母表示数的意义， 在梳理了字母表示数的意义之后，教师与学生一起总结了字母表示数的规范写法：数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可省略不写，或用“·”来代替；省略乘号时，要把数字写在字母的前面. （三）小试牛刀——学生实践 教师出示如下3个练习： 练习1 1千克橘子的价格为a元，小明买了10千克橘子，用含有字母a的式子表示小明买的橘子的总价. 练习2 设某数为x，用含有x的式子表示下列各数： （1）比某数的一半还多2的数； （2）某数减去3的差与5的积； （3）某数与3的和除以某数的商； （4）某数的60%除以m的商. 练习3 已知两个数的和与差，怎样求这两个数？请你给出解决办法. 前两个练习，均由学生独立完成.同时，教师巡视学生的书写过程，对发现的错误及时进行纠正. 第三个练习对应代数学发展三阶段的解法如表2所示.
全班33名学生独立完成后，教师收集到31份有效的回答.教师对学生的答案进行了分类统计，结果见表3.
然后，教师针对3类解法，展示了3个具有一定代表性的学生解答过程（分别如图3、4、5所示），并进行了点评.
这部分设置3道习题，主要是为了考查学生对字母表示数的认知，通过具体实例强化知识. 三、学生反馈 通过“字母表示数”的教学，学生基本上摆脱了对修辞代数的依赖，开始向缩略代数和符号代数过渡；由于个体性差异，并不是所有学生经过一节课的教学都能顺利完成从修辞代数到符号代数的过渡.值得指出的是，在11位使用符号代数方法解决练习3的学生中，有8人完整且准确地完成了练习题，这在学生学习符号代数之初是非常难得的；但是，在14位使用缩略代数方法解决练习3的学生中，大部分都是设了两数分别为x和y之后就无从下手了，比如，一位学生的解答过程如52页图6所示.可见，学生基本掌握了用字母表示未知数，而有相当一部分学生在用字母表示已知数或一类数时仍存在障碍.
课后，我们对全班33名学生进行了问卷调查，共收到有效问卷32份. 调查结果表明，31名学生（占全班的96.9%）对“这堂课让我学会了用字母表示数”这一观点持“同意”或“非常同意”态度；30名学生（占全班的93.8%）对“用字母表示数可以解决很多以前解决不了的问题”这一观点持“同意”或“非常同意”态度；27名学生（占全班的84.4%）对“课堂上的数学历史知识对我的学习有帮助”这一观点持“同意”或“非常同意”态度. 此外，对于本节课中数学家的故事，学生感受最深的3条依次为：“数学历史的发展给人类带来的进步”（16名学生），“内容很有趣，提高了我们的学习兴趣”（11名学生），“数学历史的发展不易”（4名学生）. 从公元3世纪之前复杂冗长的修辞代数到16世纪以后日趋成熟的符号代数，代数学的发展经历了曲折而艰辛的历程.借鉴历史的演变，我们在历史相似性的基础上设计了符合历史发展顺序的从修辞代数到符号代数的渐进式教学.在学生解决问题的过程中可以看到，从修辞代数到符号代数的过渡是一个循序渐进的过程；学生在数学理解过程中所遇到的障碍正如人类在数学发展过程中所经历的曲折一样，并不是一步就能跨越的.要使学生都能完成从修辞代数到符号代数的过渡，教师需要从历史发展过程中吸取古人克服障碍的经验，在学生学习过程中预设性地给予引导，让学生自然地经历这一过渡，有准备地攻克难关.
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