一类随机利率下的增额寿险模型，本文主要内容关键词为：寿险论文,利率论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O211.62
文献标识码：A
一、引言
利率对于保险商业具有重要而显著的影响，特别是在人寿保险中，利率的影响更为显著，然而传统的精算理论假定利率是确定的，但事实上利率具有随机性，从而会引起利率风险。对于保险公司而言，由于每张保单采用同一利率或采用十分接近的利率，所以利率风险不可能象死亡风险一样通过分散保单的方式来分散，从这个意义上来说，利率风险要比死亡风险更为重要，利率风险越来越成为人们关注的对象，这也吸引了越来越多的人从事利率随机性的研究。九十年代，一批学者利用摄动方法建模，得到了具有双随机性的某些年金及寿险的一系列结果：Beekman和Fuelling(1990,1991)分别由O-U过程和Wiener过程建模，得到某些年金现值的前二阶矩。De Schepper,Goovaerts(1992)得到息力由Wiener过程建模的某些年金的矩母函数，分布函数与Laplace变换。何文炯，蒋庆荣(1998)对随机利率采用Gauss过程建模，得到了一类即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在死亡均匀分布假设下得到了矩的简洁表达式。本文主要是在前面一些结果的基础上对息力采用更为广泛的模型——Gauss过程与Poisson过程联合建模，给出一类即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在一些特殊条件假设下给出矩的简洁表达式，最后举例计算之。
二、给付现值函数及记号
考虑一般的变额寿险，即投保额在死亡之时刻立即支付，投保额为时间t的函数，设为c(t)，t≥0。用(x)表示年龄为x岁的人，X表示(x)的寿命，T=X-x表示年龄为x岁的人的剩余寿命，T有密度函数f[,T](t)。我们对利息随机性采用息力累积函数建模，即：
y(t)=δt+βy(t)+γz(t)
(1)
其中y(t)为一Gauss过程，z(t)为一Poisson过程，且他们相互独立，δ，β，γ为与t无关的相互独立的随机变量或实常数，且均与y(t)，z(t)独立，
则对于一般的变额寿险，其给付现值函数可表示为
当c(t)取不同的形式时，就得到不同种类的变额寿险的给付现值，例如，取c(t)=b（b为常数）时为等额寿险，取c(t)=1+[t]时，得到投保额逐年递增的增额寿险，取c(t)=e[rt]（r＞0为常数）时，为投保额按指数增长的增额寿险。
设δ有分布函数F[,δ](u)，u∈[a,b]，β有分布函数G[,β](x)，x∈[c,d]，γ有分布函数H[,γ](w)，w∈[m,n]。由于y(t)为Gauss过程，则对任一固定的t∈[0,+∞]，y(t)为一正态分布随机变量，令μ(t)=E(y(t))，σ[2](t)=Var(y(t))。为了方便起见，我们首先引入下列记号：
三、矩的计算
下面我们来具体计算给付现值的各阶矩，显然S是这几个随机变量(δ,β,γ,y(T),z(T),T)的函数。
由z(t)为参数为λ的Roisson过程，则z(t)有分布
（三）投保额指数增长情况下及逐年递增情况下矩的形式
在投保额指数增长情况下c(t)=e[γt]，(γ＞0)，此时
（四）死亡在De Moivre假设下与死亡年度均匀分布假设下矩的表达式
(2)死亡年度均匀分布假设下
假定在每个保单年度内死亡是均匀发生的，
，则在每一[k,k+1)上，T服从均匀分布，所以有
其中q[,x]表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率，则将(3)式代入以上诸式中可得
（五）当y(t)为Wiener过程时的矩的表达式
（六）当y(t)为O-U过程时矩的表达式
四、二个例子
例1 考虑一个20年期的定期保险，投保额指数增长，c(t)=e[0.02t]。被保险人投保时的年龄为40岁，死亡在每个保单年度均匀分布，采用息力累积函数建模，即y(t)=0.05t+0.1W[,t]+0.05Z[,t]，其中W[,t]为标准Wiener过程，Z[,t]为参数λ=0.01的Poisson过程，采用中国人寿保险业经验生命表(1990～1993)，我们能够算出：
在实际生活中，给付现值S的阶矩E(S)就是一次性净保费。
例2 考虑20年期的一个定期保险，投保额逐年递增，即c(t)=1+[t]。被保险人投保时的年龄为40岁，死亡在每个保单年度均匀分布，息力累积函数如下建模：
y(t)=δt+0.1W[,t]+0.05Z[,t]
其中W[,t]为标准Wiener过程，Z[,t]为参数λ=0.01的Poisson过程，δ有下列分布p(δ=0.03)=0.2,p(δ=0.04)=0.3,p(δ=0.05)=0.3,p(δ=0.06)=0.2仍然采用上述生命表，则
