中美初中数学教材习题个案研究&以“三角相关角度”为例_初中数学论文

中国与美国初中数学教材习题的个案比较——以“与三角形有关的角”为例，本文主要内容关键词为：角形论文,为例论文,美国论文,个案论文,习题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      本文以中美两国各一套初中教材为研究对象，对“与三角形有关的角”中的习题进行比较，以期对我国的中学数学教材建设有所启示.中国教材选取人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》（七年级下册，2004年版）（以下简称“人教社教材”）[1]，美国教材选取The McGraw Hill Companies出版的《Glencoe Mathematics：Geometry》（2004年版）（以下简称“美国教材”）[2].

      二、研究框架建构

      1.研究对象

      本研究中的习题包括人教社教材“与三角形有关的角”中的“例题”“探究”“练习”“习题”等；美国教材“与三角形有关的角”中的“例题（Example）”“知识检验（Check for Understanding）”“练习与应用（Practice and Apply）”“技巧巩固（Maintain Your Skills）”等.

      2.研究的具体问题

      （1）两种教材的习题类型及数量的比较.

      （2）两种教材的习题难度比较.

      3.研究方法

      收集两种教材中的习题类型及其数量的数据.利用鲍建生提出的综合难度模型进行习题难度的量化比较[3]171.

      

      4.研究工具

      根据两种教材中“与三角形有关的角”习题的具体情况，对鲍建生的难度模型进行微调，调整后的结果见下表1.

      微调说明：①把鲍建生模型中的“探究”因素调整为“认知”因素.鲍建生设置“探究”因素的目的是考察习题的开放与探究程度[4]，但本研究考察的习题主要是封闭型的，探究型的成分很少，故把“探究”因素调整为“认知”因素.认知因素划分为“理解”“运用”“分析”3水平.

      “理解”就是从教学信息包括口头、书面和图形等交流形式中建构意义.“解释”“举例”“分类”等都是“理解”水平的主要行为表现[5].如，“画一个三角形，标出一个外角及不相邻的两个内角”就属于理解水平的题目[2]188.

      “运用”就是在新情境中使用概念、原理、理论及策略等[5].如，图1[1]81及下页图2[2]188所示题目就属于运用水平的题目.

      练习：说出下列图形中∠1和∠2的度数：

      

      

      “分析”就是把信息分解成小部分，并检查小部分之间的相互关联以及小部分与整体结构或整体目标之间的关联.“组织”“重建”“制定解题策略”等都是“分析”水平的主要行为表现[5].如，图3[1]82所示题目的求解需要挖掘运用三角形内角和定理的条件，需要制定解题策略，因此，它属于分析水平的题目.

      如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB.

      

      ②鲍建生把背景因素划分为“无实际背景”“个人生活”“公共常识”“科学情境”4水平.由于人教社教材中只有4个习题有背景，它们都属于“科学情境”水平.如果本研究采用4水平划分，那么“科学情境”对应的权数为4，最后得到人教社教材在背景因素方面的加权平均比美国教材要高，但这样的结论不能从整体上反映两种教材在背景因素方面的差异，因为美国教材中有背景的习题数量及比例远远高于人教社教材.同时，美国教材中的绝大多数习题很难界定它们的背景因素到底属于“个人生活”还是“公共常识”水平，因此，本研究中的背景因素仅由“无背景”与“有背景”2水平构成.如，图2所示的题目属有背景，如图1所示的题目属无背景.

      ③鲍建生把运算因素划分为“无运算”“数值计算”“简单符号运算”“复杂符号运算”4水平.由于两种教材的习题均没有涉及复杂符号运算，故本研究中的运算因素由“无运算”“数值计算”“简单符号运算”3水平构成.“简单符号运算”指1到2个步骤的字母符号运算，如，已知在等腰直角三角形中，设一个非直角的度数为x，求x[1]81.求解这个题目所涉及的运算就为简单符号运算；“数值计算”指不包含任何字母符号的运算；“无运算”指题目的解答不包含任何数值运算及符号运算.

      ④推理因素的水平划分完全采用鲍建生的划分，由“无推理”“简单推理”“复杂推理”构成.“无推理”指纯粹的数值计算或对数学事实的再认与回忆.如，“画一个三角形，标出一个外角及不相邻的两个内角”就属于无推理的习题；“简单推理”指包含1～2个推理步骤的推理；“复杂推理”指包含3及3个以上推理步骤的推理.如，求图4[1]81中∠2的度数就属于“复杂推理”，第一步推理：利用三角形内角和定理求∠1对顶角的度数；第二步，利用对顶角的性质求得∠1；第三步，再次利用三角形内角和定理求得∠2.

      

      ⑤知识含量的水平划分完全采用鲍建生的划分，由“1个知识点”“2个知识点”“3及3个以上知识点”构成.如，求如图2所示中missing angle的度数，这两个习题都只包含“三角形内角和”1个知识点.

      其次，依据表1，对每一难度因素中的每一水平赋予权重，再分别统计两种教材中每一难度因素中每一水平的习题数量及比例，最后求出每一难度因素的加权平均①，这样就可以从整体上把握两种教材的习题难度.

      三、研究结果

      1.两种教材习题的类型及数量的比较

      我们约定，题目数量按小题个数计算，如有多次提问的习题，按1题统计.统计结果见表2.

      

      由表2发现，人教社教材的习题类型比较单一，主要以计算为主，除此之外有3个说理的题目，如，“一个三角形最多有几个直角，为什么？”[1]8美国教材的习题类型相对丰富一些，有数学写作方面的，如，“如何利用三角形的内角和定理制作风筝？”[2]191；有概念辨析方面的，如，“画一个三角形，标出一个外角及不相邻的两个内角”②[2]188；有复习巩固本节之前知识的习题，复习的内容涉及钝角三角形的概念、等腰三角形的性质、两平行线间的距离、平行线的性质等；有为下节内容做准备的习题，如，关于等式的传递性、对称性等的习题[2]191是为下节课学习全等三角形做准备；此外，美国教材中还有6个证明题，同时要求用“flow proof” “two-column proof” “paragraph proof”等论证格式完成证明[2]190.由此可见美国教材对于证明的关注，相对而言，人教社教材对几何证明有所弱化，同时没有强调证明的书写，“降低论证过程形式化的要求”体现得比较明显[6]227

      2.两种教材习题难度的比较

      （1）两种教材各难度因素的量化指标

      通过分别统计两种教材每一难度因素中每一水平的习题数及比例，最后得到表3.

      

      说明：①美国教材中有“复习巩固本节之前知识”及“为下节内容做准备”的习题，而人教社教材中没有类似的习题，故在进行习题难度因素的量化比较时把美国教材中的这部分习题排除在外.

      

      （2）认知因素的水平比较

      根据表3中“认知”栏目发现，两种教材的习题在“理解”水平上差异不大，属于这一水平的习题比例都很低；“运用”水平的习题比例，美国教材比人教社教材高约13个百分点；高认知“分析”水平的习题比例，人教社教材比美国教材高约18个百分点.

      美国教材“分析”水平的习题比例偏低，是由于美国教材在习题编排方面采用“低起点，架阶梯，小步子”的方式.如，图5[2]189所示习题.首先要求学生求∠1的度数，求∠1的问题只涉及三角形内角和定理的简单应用，因此，此习题具有“低起点”的特性；接着要求学生求∠2及∠3的度数，在∠1已知的情况下，求得∠2，以及在∠2已知的情况下，求得∠3都属于应用水平，都仅需1步推理，因此，此习题的跨度可谓“小步子”；如果图4所示的习题去掉求∠1及∠2两个小题，让学生直接求∠3，那么这个题目涉及“三角形内角和定理”与“对顶角性质”的综合应用，对其求解需要制定解题策略，就属于分析水平的题目.然而，美国教材要求学生先求∠1及∠2，相当于给学生制定了求解∠3的策略，因此求∠1及∠2为求∠3架设了“阶梯”.

      

      美国教材习题在认知因素上层次性不够，习题主要集中在“应用”水平上，而人教社教材习题在认知因素上层次更加分明，“应用”与“分析”水平的习题都有较大比例.

      （3）背景因素的水平比较

      根据表3中“背景”栏目数据发现，有背景的习题比例，美国教材高出人教社教材近18个百分点.

      鲍建生的研究表明，我国老版人教社八年级教材（2001）③有背景的习题比例为4%[3]，而本研究通过“与三角形有关的角”的习题的考察发现，人教社教材有实际背景的习题比例达到12%，由此可见，课程改革后，人教社教材有背景题目的比例有一定的提升，这要归功于课标对数学与生活联系的强调[6]，但与美国教材29.82%及英国MEP教材41%④的背景水平相比仍有不小的差距.

      美国教材习题背景的类型非常丰富，涉及日常生活、天体定位、城市定位、体育运动、风筝制作等.而人教社教材习题背景单一，主要是与方位角有关的一些科学情境，如“北偏东、视角、仰角”等，学生对其并不熟悉.

      （4）运算因素的水平比较

      根据表3中“运算”栏目绘制的运算因素的水平折线图如图6所示.

      

      由图6发现，两条折线的走向基本一致.“数值运算”是两种教材习题中运算的主要形式，“无运算”及“简单符号运算”所占比例均比较低.属于“无运算”水平的习题比例，美国教材比人教社教材高约5个百分点；属于“数值运算”水平的习题比例，美国教材比人教社教材高约7个百分点；而属于“简单符号运算”水平的习题比例，人教社教材比美国教材约高12个百分点.

      （5）推理因素的水平比较

      根据表3中“推理”栏目绘制的推理因素水平折线图如图7所示.

      

      由图7发现，两种教材中，属于“无推理”水平的习题比例相差不大，所占比例都比较低；属于“简单推理”水平的习题比例相差大约10个百分点，美国教材中九成以上的题目，人教社教材中八成以上的题目都属于“简单推理”；属于“复杂推理”水平的习题比例，人教社教材比美国教材高约15个百分点.

      鲍建生的研究表明，与课改之前的教材相比，依据课标编写的初中数学教材对于推理的要求明显降低，这源于课标削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明[3].通过对人教社教材“与三角形有关的角”的习题的考察发现，习题中虽然没有证明题，但许多计算题的解答都需要推理，甚至个别需要3步以上的推理.整体来说，人教社教材的习题对于推理的要求依然明显高于美国教材.

      （6）知识含量因素的水平比较

      根据表3中“知识含量”栏目数据发现，两种教材中含“1个知识点”及“2个知识点”的习题比例都相差不大，而含“3及3个以上知识点”的习题比例有较大差异，人教社教材比美国教材高约15个百分点，美国教材基本没有此水平的习题.

      美国教材习题的平均知识含量低于人教社教材，部分原因在于美国教材采用了“低起点，架阶梯，小步子”的习题编排方式.

      （7）综合难度的比较

      为了进一步考察两种教材的综合难度水平，通过对两种教材中5个难度因素的不同水平题目的统计，并利用公式（*）得到5个难度因素的加权平均，所得结果如上文表3所示.

      根据表3可以发现，人教社教材在“认知”“运算”“推理”“知识含量”四个因素方面高于美国教材，而在“背景”因素方面，人教社教材的要求低于美国教材.

      （1）中美两国中学数学课程对推理都非常注重，这在人教社教材与美国教材“与三角形有关的角”的习题中均有充分体现.但两种教材习题中涉及的推理都以演绎推理为主，归纳推理的习题有待丰富.

      （2）美国教材对证明的书写比较关注，习题中的6个证明题要求用3种证明格式书写.这可能源于美国中学数学课程对“交流”的关注，美国中学数学课程要求学生“用数学语言精确地表达数学观点”[7]人教社教材对证明书写的关注有待加强.

      （3）美国教材中有实际背景的题目数量及比例远远高于人教社教材，而且习题背景的呈现方式也更为多样，有以图片形式呈现的，还有以文字形式呈现的，人教社教材中习题背景呈现方式单一，主要以文字形式呈现，基本没有图片.我们在课程资源开发方面还应继续努力，以便在教材中增加数学与实际生活紧密相关的素材，这样一方面可加强数学与社会的联系，另一方面也可以提高教材的亲和力.

      （4）人教社教材的习题在“认知”“运算”“推理”“知识含量”等难度因素上有更高的要求，主要表现为这4个难度因素中较高水平习题的比例远远高于美国教材，这可能有助于数学学习特长生的发展，但会给数学学习有困难的学生带来挑战.如果人教社教材在保持自己习题风格的基础上，部分习题也采用“低起点，架阶梯，小步子”的编排方式，一方面可兼顾数学学习有困难的学生，另一方面也可培养数学学习特长生的悟性.

      （5）美国教材中有一部分习题是为了复习巩固前几节内容的，还有一部分习题是为下节新课做准备的，对数学学困生来讲，设置这两类习题非常必要，我国中学数学教材应当借鉴美国教材的这一做法.

      ①每一难度因素加权平均的求法见24页（*）式.

      ②在本节内容中，三角形的内角与外角是关键概念，设置辨析这两个概念的习题是十分必要的.

      ③该教材由《代数（第二册）》及《几何（第二册）》构成，出版于2001年，是依据大纲编写的教材.

      ④见参考文献[3]第176页.

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