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提起勾股定理，大家都很熟悉：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
同学们想过没有，若我们换个角度看“勾股”，定理会变成什么样呢？
我们把定理中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来解释，勾股定理可表述为：直角三角形中分别以两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。如图1所示。
若把以直角三角形各边为边长的正方形改为一般的直线形，定理则可推广为：直角三角形中，斜边上的直线形（不管什么形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形面积之和。如图2 所示。这就是著名的欧几里得定理。
进一步，把欧几里得定理中，由直角三角形三边所构成的三个直线形改为三个半圆，结论仍然成立。即：以斜边为直径作半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积之和。
如图3所示，这就是人教版《几何》课本第二册第108页中“想一想”的答案。
倘若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，图形就变为图4。 这便是1999年第十一届“国际科学与和平周”全国中小学生（江苏地区）金钥匙科技竞赛试题（初中）第三题的第3小题， 原题为：已知直角三角形的边长为AB＝c，AC＝b，BC＝a。分别以AB、BC、AC 为直径画半圆得图，试求阴影部分的面积。此时，显然有“两个阴影部分的面积之和，等于直角三角形的面积”。结论水到渠成。
其实， 这个结论早在公元前479 年， 希腊数学家希波克拉底（Hippocrates）在研究化圆为方问题时，就已得出， 因阴影部分状如弦月，被称为“月牙形定理”。
其实，数学就是这么有趣，看似无关的两个结论之间，却有着美妙的关联，而联系的纽带就是我们追求的高层次的思维品质——求异思维。别小看它，这可是创造能力的基础啊！