（青岛大学电子信息学院 山东青岛 266071）
摘要：商品住宅价格受多个因素的影响，本文以海南主要城市海口、三亚2017年的相关数据为基础，建立起基于灰度预测的商品住宅价格主成分回归模型解决如下三个问题。
首先，通过查阅文献，本文得到商品住宅价格主要与房地产开发投资额，房屋销售面积，工业增加值等七个可以量化的因素以及不可量化的买房政策有关，通过Pearson相关系数矩阵来给出各因素间的关系，并利用Q型聚类分析图检验各因素相互关系求解的正确性。
其次，本文分别建立海口及三亚的商品住宅价格的主成分回归模型。对于海口，本文利用MATLAB得到影响其房价的四个主成分及其贡献率，进而得到海口市房价与问题一中影响因素之间的解析关系式；对于三亚，本文求得其四个出成分，并表示出三亚房价解析关系式。随后本文利用2018年2—4月的数据对模型进行评价，得到误差大约为6%，模型有较好的精度。
最后，本文对未出台2018年4月限购政策的情况进行研究，此时海口和三亚的商品住宅价格将会随之前的趋势变化。本文利用GM（1，1）预测模型对七个因素未来一年的值进行预测，并对预测值进行残差检验，发现预测值均可达到一般要求。随后将预测值代入问题二主成分回归模型，得2018年6月至2019年5月海口和三亚房价预测值。
关键词：房价预测；灰度预测；主成分回归分析（PCR）；向量自回归（VAR）
一、问题的重述
1.1问题的背景
房地产价格问题是社会各界关注的重要民生问题。而商品住宅的价格又由众多因素如政策、经济、交通等来影响制约。影响房价因素研究也一直是研究的热门话题，这对房价预测有着重要作用。本文对海南省主要城市商品住宅价格进行分析。
1.2 问题重述
问题一：根据所查数据，对海南主要城市海口和三亚的商品住宅价格影响因素进行定性定量分析，并且给定各因素之间的关系。
问题二：根据问题一，建立商品住宅价格的数学模型。
问题三：根据所查数据以及数学模型，进行对海南省主要城市海口和三亚未来一年（2018年6月至2019年5月）商品住宅价格的按月预测，此问题中不考虑2018年4月22日出台的限购政策。
二、问题的分析
对于问题一，本文通过文献查阅得到影响房价的七个因素，利用Pearson系数得到其相互的影响关系，并利用R型聚类图对结果进行评价。
对于问题二，本文做了如下流程图：
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三、模型假设
1.本文的房价数据为包括别墅、高档公寓和普通商品住宅在内的平均价格，而由于前两者所占数量比例相对较少，因此该价格可以表示商品住宅的价格。
2.假设在本题预测的时间内，海南不发生重大自然灾害、战争等不可抗的、对房地产行业影响极大的外力因素。
3.假设本文搜集数据本身均具有科学性且准确。
4.假设新政策在不同地区的执行效用是相同的。
四、符号说明
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五、模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解
（1）商品住宅价格影响因素的选取
因素一：房地产开发投资额（万元）
此因素是指海口、三亚市每月用于房地产开发方面的投资额，可以反映出当地政府等机构对当地房地产行业的重视程度。
因素二：房屋销售面积（万平方米）
指每个月海口、三亚的房屋销售面积，在一定程度上表征某地区商品住宅的供应能力，进而影响供求关系。一般而言房屋销售面积越多，房屋的供应能力越大。
因素三：工业增加值（万元）
工业增加值是工业企业生产过程中新增加的价值。增加值是国民经济核算的一项基础指标。一般而言，房价会随着经济的发展而上涨。因为经济的发展会增加人们的收入，提升人们的对生活的要求，进而带来房价的上涨。
因素四：地方一般公共预算收入（万元）
一般公共预算收入是财政收入的来源之一，通过一定的形式和程序，有计划有组织并且由国家支配的纳入预算管理的资金。此因素可以体现出当地的财力情况，安排用于保障和改善民生、推动经济社会发展，对购房也有一定的促进和补贴，随之而来的是房价的下降。
因素五：空气质量指数（AQI）
空气质量指数反映出一个地区空气质量的好坏，空气质量指数越大，空气质量状况越差。人们对居住环境的要求越来越高，对身体健康越来越重视，因此更趋向于去空气质量状况好的地方购房，这种心理需求特点会带动环境优美的地方房价的上涨。
因素六：住户贷款（亿元）
当今社会，大部分普通人都是通过贷款的方式购置房产，住户贷款在一定程度上影响着人们的购房需求。一般而言，住户贷款越多，房价越高。
因素七：货物运输量（万吨）
地区的交通发达程度也是评价地区房屋价值的重要影响因素，而货物运输量这一数值能表现出地区的交通周转运行情况，相对于其他交通运输类的统计指标具有更加具体的体现价值。地区货物运输量越多，交通情况越发达，房价相应地自然也会更高。
（2）Pearson相关系数
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可以看出，前四个特征根的累计贡献率就达到90%，主成分分析效果很好。根据这四个特征根的特性以及经过对影响因素进行回归，本文得到主成分回归方程
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（4）
其次，本文利用与海口市相同的分析方法，求解基于主成回归的三亚商品住宅价格模型，首先得到特征根，贡献率以及累计贡献率见表3：
表2.三亚市房价影响因素主成分分析结果
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分别以四个主成分的贡献率为权重，构建商品住宅价格的主成分回归方程：
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（5）
至此，本文得到海口和三亚两个市各自的商品住宅价格模型，得出商品住宅价格和七个影响因素之间的函数关系式。
5.3.3 问题二模型的分析与评价
为检验问题二模型的精度，本文利用可查阅到的海口三亚2018年2月到2018年4月的各项数据以及商品住宅价格进行模型精度检验。将2018年2月到2018年4月的各项数据（见附件）分别代入海口和三亚的商品住宅价格模型中，与实际值进行比较：
表3.海口市房价模型精度分析
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由表2可以看出，海口市商品住宅价格的主成分回归模型具有较好的精度，在其他条件不变的情况下可以根据已知影响因素的数据进行商品住宅价格的求解。
表4.三亚市房价模型精度分析
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根据表3可以看出，三亚市的商品住宅价格的主成分回归模型也具有较好的精度，可以根据影响因素数据求得对应月份的商品住宅价格。
5.3问题三模型的建立与求解
5.3.1问题三模型的建立
在商品住宅市场中，政策的宏观调控也起着很重要的作用。若不考虑此限购政策的上台，海南省主要城市海口、三亚的商品住宅价格也会随着既定变化规律上涨。商品住宅价格受多个因素的影响，本文于问题二已给出商品住宅价格与七个影响因素的关系。因此，对未来商品住宅价格的预测可以转变为对七个影响因素变化的预测。本文利用灰色预测的方法对七个因素进行预测，并将预测值代入房价模型中，求出未来各月的商品住宅价格，实现商品住宅价格的预测。
5.3.1.1 灰度预测（GM（1，1）预测模型）
GM（1，1）表示模型是一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色预测模型，即可实现对7个影响因素的分别预测[3]。
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预测求得2018年6月到2019年5月三亚市七个影响因素的取值（见附录），将预测数据代入三亚市商品住宅价格主成分回归模型公式（14），求得2018年6月到2019年5月的房价，并作出两市房价预测图像如图3所示：
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图3.两市房价预测图
5.3.3 问题三模型的分析与评价
本文利用2018年2月至5月的房价对预测房价进行分析，通过误差百分比的计算来评价预测房价。对于海口市：
表4.海口市预测房价的精度分析
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可以看出本文得到的预测房价有着比较不错的精度，可以用来进行房价的预测。
参考文献：
[1] 司守奎 孙玺菁，《数学建模算法与应用》，国防工业出版社，北京市，2011，P193.
[2] 周松林，茆美琴，苏建徽.基于主成分分析与人工神经网络的风电功率预测[J].电网技术，2011，35（9）：128-132.
[3] 卢嘉澍，孙坤，廉洁，等.基于灰度预测与马尔柯夫过程的股票价格预测模型[J].现代商业，2017（17）：74-75.
作者简介：
姓名：王者；性别：男；出生年月：1997年8月；民族：汉；籍贯：山东章丘；学历：本科；单位：青岛大学电子信息学院通信工程专业；研究方向：通信工程；邮编：266071；备注：中国电机工程协会，第十一届“中国电机工程协会杯”全国大学生电工数学建模竞赛
论文作者:王者
论文发表刊物:《电力设备》2018年第21期
论文发表时间:2018/12/11
标签：商品住宅论文; 因素论文; 模型论文; 房价论文; 价格论文; 海口论文; 本文论文; 《电力设备》2018年第21期论文;