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1 表决方法与策略选举
任何选举结果的公平性首先表现在：不管采用的是什么选举方法，选举结果在某种程度上至少代表了相对多数选举人的意志。对一个同时是数学家的社会学家来说，他就要进一步问：多数是不是意味着绝大多数？有没有一个使全社会都满意的选举办法？
说到选举方法，就我们常识范围而言，可以列出下面几种：
第一法 多数原则——以获最多票的议案作为表决结果，要注意的是，其时支持该议案的投票人（下称赢家）未必是最大多数。（此法由于民意不浓，现在已经基本不用）
第二法 大多数原则——以获半数以上（常称简单多数）票数的议案作为表决结果。
第三法 逐轮表决——在大多数原则下，将所有议案两两进行表决；能在捉对表决中每次都胜出的议案才作为表决结果（其时赢家称之为鹰派赢家）。
第四法 记分法——选举人以递降方式给诸议案打分并累分，以各议案累积分多少排出次序；获最高分的议案为表决结果。
在正常情况下，上述任何一种表决方式都可以得出令人满意的选举结果。但是，使选举理论变得复杂起来的原因，是由于策略表决的出现。
所谓策略表决，意思是某些选举人为了集团利益或别的原因，在选法中故意不按照自己的偏爱和意向次序进行投票。在我们日常生活里，通常被认为是投机表决而不足为训。但在外交、军事或合资企业里，则是一种合法的选择，为此我们来举一些例子。
例1 某班学生举行课外活动，各有40％、35％和25％的三组同学（设为甲、乙、丙）分别主张郊游、打球和跳舞（分别记为A、B和C）。为此决定进行表决，办法是采用上述第三法——逐轮表决，我们先写出一张意向或偏爱表如下：
在正常情况下，我们有下面表决过程
正常表决的结果是，在B与C捉对表决中，B以75％比25％赢了C，在B与A捉对表决中，B又以60％比40％挫败了A。因此B是赢家，即最后决定打球。
但是，如果甲组同学们采取策略表决，情况将怎样呢？甲组可以在第一局里投了C票，以便C以65％（40％＋25％）比35％淘汰B，接着在B出局后，甲组同学又改投C为A，于是最后A将以75％（40％＋35％）比25％淘汰C而成为赢家，表决过程见下表：
表决结果是郊游。
施行策略表决还可能出现令人啼笑皆非的情况：有时候鹰派赢家可能不存在！
事实上，甲为了抑止B的胜出，再一次施行策略表决， 即把原先的意向次序A、B、C改成A、C、B。即在B与C进行表决时，倒向C的一边，结果便成为：
B以60％比40％赢了A；A以75％比25％赢了C；C以65％比35％赢了A。表决结果是：课外活动难产！
例2 伪修正案法
假定一个三人委员会（其成员记为A、B、C ）决定表决通过一项新的法规N，以替代旧法规O。再假定三人中有两个赞成N，一人反对N。下面是他们的意向表：
显然，在正常表决下，N将被通过。
但是，决策人C可以以下面的办法来阻止N的通过，为此他建议一个称之为M的法规来修正N，C可以这么来制定M，使得A偏爱M甚于其它，而B则反之，即偏爱其它法规甚于M。为此，C只要顺着由B朝A 的方向修改N的一些词句就可以了。同时，C可以伪装成偏爱O甚于M，偏爱M甚于N，这样我们就有下面这张意向表：
现在新的表决议程将如右上图：
这里第一轮在N与M之间进行，并且应当是真诚表决，于是M以2比1替代了N。接着，在第二轮中C便可以再以2比1轻易地挫败M。 使得最终保留O。
上面这个制造虚设文件的策略选举方法，常称为伪修正案法。
我们还可以列举出或构造出更多办法用来说明每一种选举方法都是有缺陷的，这就更说明我们最初提出的问题的重要性：在已有或将有的选举方法中，哪一种是最好的或最公平的？
2 人人是赢家
在回答上述问题前，为了说明选举方法的选择将足以影响表决结果的极端情况，我们来举一个人人成为赢家的有趣实例。
55位记者要在五支球队的提名代表（记为A、B、C、D和E ）中确定一位最有价值球员，现在要求每位记者均需按他们的偏爱对五位提名候选人进行排序，假定55位记者的偏爱次序如下：
首先，这五位候选人共有5！＝5×4×3×2×1＝120 种可能出现的排名法。
从表中可知，有18位记者偏爱次序为A，D，E，C，B，虽然A取得了18个首席票，但另37位记者却将他排在末位，另一方面，有6 位记者偏爱E甚于其它人，但他们因对B与C 的态度（分别列第二及第四）又分成两组，我们再假定每位记者都已严格宣誓实施真诚选举，即他们必需完全按照上面的意向表进行表决。
甲 多数原则
显然，候选人A以最多首席票18票当选； 尽管得票数不足全体记者的三分之一。
乙 逐轮选举（一）
赢家决胜。大会决定在两位首票领先的候选人中，用“大多数原则”，进行一轮决胜表决。现在除A以外，还有B因首席12票而入围，但在下一轮表决中，有37位记者偏爱B甚于A，因此B将当选。
丙 逐轮选举（二）
逐轮淘汰。办法是进行一系列表决，而逐轮淘汰最少首席票者，由表可知，因E得6票最早惨遭淘汰，在第二轮中，E的6票将分别记到B （4票）和C（2票）名下，因此现有
A
B
C
D
18
16
12
9因而D被淘汰出局。注意在第三轮中，D的9票将全部转到C名下，所以
A
B
C
18
16
21B因此被淘汰，由此他的16票全部又转到C的名下，从而C以37比18淘汰A而当选。
丁 逐轮选举（三）
捉对表决。依照规定，每两位候选人要进行一次面对面的表决。故共需进行10次表决，每位候选人各参加四次。在真诚选举的条件下， E以37票比18票赢了A，以33票比22票赢了B，以36票比19票赢了C，以28票比27票赢了D。这一回，E成为鹰派赢家。
戊 记分法
如以5分、4分…各记首席、次席…，则可以算出各提名候选人的得分
A：（5）（18）＋（1）（12＋10＋9＋4＋2）＝127分；
B：（5）（12）＋（4）（10＋4）＋（2）（2＋9）＋（1）（18）＝156分；
C：（5）（10）＋（4）（9＋2）＋（2）（18＋12＋4）＝162分；
D：（5）（9）＋（4）（18）＋（3）（12＋4＋2）＋（2）（10）＝191分；
E：（5）（4＋2）＋（4）（12）＋（3）（18＋10＋9）＝189分。因此D因得最高分而被当选。
这个例子进一步反映出选举理论的复杂性。我们自然要问：为什么在这个人人都懂的选举过程中，竟会这般迷离扑朔。
3 一个不可能性定理
有关选举理论最重要的一项研究，是1972年诺贝尔经济奖得主，史坦福大学教授阿罗（J—K.Arrow）在1951年发表的一条定理，它正好回答了我们的问题。
J—K Arrow不可能性定理 绝对公平的选举系统是不存在的。
让我们先用几句话来解释这个定理。
阿罗先是列出了五个众望所归的原则，而这些原则是任何一个理智的选举系统都必须具备的。例如其中之一是所谓意向的传递性：我偏爱A甚于B，又偏爱B甚于C，则我一定偏爱A甚于C。（第一节中的例1 便出现了有悖于此的所谓选举悖论）。然而阿罗却证明，在任何一种情况下，都无法找到一个选举方法能同时满足这些原则。用完全的另一种说法是：随便给出一个选举方法，阿罗便可以列出一张选举者的意向或偏爱表，使它与上述原则之一发生矛盾。
阿罗的证明用到了数学基础中的公理方法（常称ZFC）， 这是一个十分困难的数学分支，已经完全超出我们的范围。但这儿有个例外，对于上述第四法（即记分法），用不多的数学却可以证明，在一定条件下，对于每一张意向偏爱表，总可以找到一个记分法，让一个指定的候选人当选。建议读者试着证明这个结论。
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