保险公司长寿风险度量，本文主要内容关键词为：长寿论文,度量论文,保险公司论文,风险论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对人口寿命延长，即死亡率下降，导致的长寿风险的度量问题，Olivieri（2001）[1]采用生存年金的精算现值对长寿风险进行度量，并进一步度量了长寿风险对基金的充足性产生的影响。Olivieri和Pitacco（2003）[2]通过计算长寿风险的偿付能力资本要求（SCR），度量了美国企业年金系统的长寿风险。Plat（2011）[3]的研究强调了采用偿付能力资本要求度量保险公司的长寿风险是恰当的。我国学者王晓军、蔡正高（2008）[4]预测了我国男性人口的死亡率，基于向量自回归模型，对企业年金的长寿风险进行评估，提出了保险公司通过最优产品结构实现长寿风险自然对冲的方法，并讨论了利率等各种保单因素对最优产品结构的影响。王志刚、王晓军和张学斌（2014）[5]采用Bootstrap方法将研究拓展到死亡率的分布上，并以此为基础计算年金保单组现值的分布，度量年金保单组长寿风险的VaR值及其资本要求。另外，针对人口死亡率被低估所导致的长寿风险的度量问题，Borger（2010）[6]应用随机死亡率模型，通过在险价值（VaR）方法，计算了死亡率被低估的长寿风险的偿付能力资本要求。Richard（2011）[7]提出了度量人口死亡率被低估风险的VaR框架，探讨了随机死亡率模型在统一框架下的适用性，并给出了度量一年期长寿风险的随机模拟方法。 本文以欧盟Solvency Ⅱ框架为理论基础，将保险公司的长寿风险划分为两种类型：第一类是死亡率降低导致保险公司偿付能力不足的长寿风险；第二类是死亡率被低估导致保险公司偿付能力不足的长寿风险。并给出一个保险公司长寿风险度量的统一框架，包括人口死亡率模型的选择、长寿风险度量方法的选择和实证过程。 二、人口死亡率外推模型回顾与选择标准 （一）人口死亡率的时间外推模型 1.Lee-Carter（L-C）模型 Lee和Carter（1992）[8]提出的模型：
2.Cairns-Blake-Dowd（CBD）模型 Cairns、Blake和Dowd（2006）[9]提出了两因子的CBD模型，其形式为
该模型本质上即为不同的年份y上的Gompertz（1825）模型。 3.Age-Period-Cohort（APC）模型 Renshaw和Haberman（2006）[10]在L-C模型的基础上进行改进，提出了包含世代效应（Cohort Effect）的APC模型，其表达式为
4.P-样条（P-splines）模型 Currie、Durban和Eilers（2004）[11]提出了如下形式的P-样条模型，
（二）高龄人口死亡率的年龄外推模型 1.Gompertz模型 Gompertz模型（1825）的表达式如下：
2.Coale-Kisker模型
模型含两个基本假设：85岁以上人口死亡率的增加幅度是随着年龄增长而线性下降的；110岁人口的死亡率是不随时间变化而变化的，是一个固定值，且男性人口死亡率为1，女性人口死亡为0.8。 3.极值理论模型 Aarssen和de Haan（1994）[13]构造了人类寿命分布的有限上界，假设超过门限年龄N的随机变量的极限分布服从广义帕累托分布，
其中，超过门限年龄N的高龄人口生存分布也服从广义帕累托分布，常设定小于门限年龄N的生存分布为Gompertz分布，大于则取广义帕累托分布，N由最优拟合结果来定。模型的参数估计可以通过极大似然（MLE）函数来实现。具体的计算步骤可以参见段白鸽和孙佳美（2012）[14]的方法。 4.Logistic模型 荷兰数学家Verhulst（19世纪中叶）提出了Logistic模型，该模型在人口死亡率年龄外推中也得到了很好的应用，模型形式如下：
关于Logistic模型参数估计方法已经很成熟，此处不再赘述。 （三）人口死亡率外推模型的选择标准 1.人口死亡率时间外推模型的选择标准 针对人口死亡率的时间外推模型，即本文所探讨的L-C模型、CBD模型、APC模型和P-样条模型具有以下共同特征：①模型是数据驱动的，没有将主观因素嵌套在模型中；②模型均具有随机性和动态性，能够产生未来死亡率的随机路径。具有以上特征的死亡率模型被称为动态死亡率模型（随机死亡率模型），该特征即为人口死亡率时间外推模型的选择标准。除本文给出的4种模型外，只要具备以上特征的模型，均可以作为长寿风险度量所选用的死亡率时间外推模型。 2.高龄人口死亡率年龄外推模型的选择标准 另外，针对高龄人口死亡率的年龄外推模型，由于高年龄组人口样本信息大幅减少，死亡率可信度降低，尤其是我国高年龄组人口死亡率数据缺失较为严重，选择一个合理、恰当的死亡率年龄外推模型非常重要。关于高龄人口死亡率的年龄外推模型的选择标准为：①模型具有较高的拟合度；②模型具有较好的光滑性；③模型应服从高龄人口死亡率的实际分布特征。同时满足以上标准的高龄人口死亡率年龄外推模型是最优的。高年龄组人口样本信息大幅减少，并且受经济、社会等因素的影响，不同国家的高龄人口死亡率的改善程度不同，导致各国高龄人口死亡率的分布特征也存在一定差异。因此，关于高龄人口死亡率年龄外推模型的选取问题需要根据不同国家的死亡率数据特征来具体确定。 三、保险公司长寿风险的度量方法 （一）长寿风险度量指标 Richards（2011）给出了用于测度长寿风险的连续型终身生存年金精算现值，表达式为：
然而，长寿风险度量的相对指标则更为常用。下面，定义长寿风险的资本要求LCR为长寿风险度量的相对指标，其表达式为：
（二）长寿风险的度量方法 由于人口死亡率降低导致的第一类长寿风险可以通过式（11）来度量。
针对人口死亡率被低估导致的第二类长寿风险，本文给出如下3种度量方法： 1.压力趋势（Stressed-Trend）法 根据本文所选取的人口死亡率时间外推模型（L-C模型），可以得到人口死亡率随时间变化的趋势路径，L-C模型一般采取ARIMA（p，d，q）来获取趋势路径。由于ARIMA（p，d，q）模型的残差服从均值为0，标准差为σ的正态分布，给定某一置信水平α，可以得到未来各年在该置信水平下的死亡率的临界值，这些临界值便构成了死亡率的压力趋势线，即在可接受的置信水平下的最低死亡率。压力趋势线与死亡率均值回归（Z=0）线之间的差距，即为死亡率被低估的可能。基于上述原理，构造压力趋势法下死亡率被低估长寿风险的度量指标。
2.标准公式（Standard-Formula）法
3.基于VaR与CTE的随机模拟方法 在险价值（VaR）是欧盟第二代偿付能力（Solvency Ⅱ）标准风险度量方法，条件尾部期望（CTE）是瑞士偿付能力测试（Swiss Solvency Test，SST）标准风险度量方法。应用在长寿风险的度量上，VaR方法表示未来一定概率下长寿风险的最大值（死亡率的最小值），但VaR方法无法判断尾部极端风险发生时损失情况，CTE能够有效克服这一缺点。CTE是尾部极端风险发生时损失的均值，可以有效度量尾部极端风险的损失情况，使得保险公司可以提取充足的长寿风险准备金，避免重大损失。Richards（2011）[7]给出了一种获取死亡率尾部分布的随机模拟方法，该方法充分地运用了死亡率数据的历史信息，本文对该方法进行适当的修正与改进，并以此为基础构造基于VaR与CTE的保险公司第二类长寿风险的度量指标。具体过程如下：
（7）给定一个合理的模拟次数n，可以得到基于VaR与CTE的保险公司第二类长寿风险度量公式分别为：
基于VaR与CTE的随机模拟方法用到了基数年的年中人口数和死亡人数，采用Monte Carlo随机模拟得到新的死亡率数据，充分利用了人口死亡状况的历史信息，使得计算结果更加合理、可信。 四、实证研究 （一）数据、假设与参数设定 本文选取中国人寿保险业经验生命表（2000～2003）养老金业务数据、国家官方公布的1994～2012年的分年龄人口死亡情况相关数据。其中，中国人寿保险业经验生命表（2000～2003）用来衡量保险公司的死亡状况和长寿风险水平，国家官方公布的1994～2012年的死亡率用来衡量我国人口死亡率的趋势性与规律性。结合我国死亡率数据较少的现状和实证分析的需要，本文研究的假设和参数设定如下： 1.假设相同年份的保险公司经验死亡率与国民死亡率比值为常数。用中国人寿保险业经验生命表（2000～2003）与国家官方公布的2000～2003年全国人口分年龄的平均死亡率做比值，用该比值作为系数来调整国家官方公布的1994～2012年的死亡率数据，最终得到能够衡量保险公司长寿风险的死亡率数据。 2.假设死亡人口在1年内服从均匀分布（UDD）假设。由于我国官方公布的死亡率数据是基于年中人口计算得到的中心死亡率，在UDD假设下，有
。 3.假设保险公司的长寿风险均来自养老金业务，采用生存年金的精算现值度量保险公司的长寿风险。 4.假设2012年为研究的基期，第一类长寿风险的度量值均是基于2012年的死亡水平测算出的结果。 5.假设我国65岁以上的高龄人口死亡率服从Gompertz模型。 6.假设本文的研究对象为70岁的男性，且假设极限年龄为105岁，折现率为2.5%②。 7.假设基于CTE与VaR的随机模拟方法计算长寿风险的随机模拟次数为100000次③，且置信水平为99.5%。 （二）人口死亡率的时间外推 在人口死亡率时间外推模型选取上，选择LC模型对中国人口死亡率进行时间外推，并选取死亡人数作为权重[15]，采用加权最小二乘法（WLS）估计模型参数。即可得到
的参数估计结果分别如图1、2、3所示。
由于本文研究长寿风险的度量问题，因此较为关注高龄人口死亡率未来的变化趋势，进一步选取模型ARIMA（0，1，0）对
进行建模，即可得到高龄人口未来死亡率的变动趋势。
（三）高龄人口死亡率的年龄外推 根据假设（3），本文选择Gompertz模型，以65～80岁④人口死亡率作为基础数据，拟合80岁以上人口死亡率。Gompertz模型的参数估计结果如下页表1所示。
由表1可见，各年份的Gompertz模型的参数B和C的估计值的显著水平均达到1%，统计上显著性较高。针对L-C模型预测得到的未来年份65～80岁人口死亡率采用Gompertz模型进行年龄外推，可得到80岁以上人口的死亡率预测值。 （四）保险公司长寿风险度量结果分析 1.保险公司第一类长寿风险度量结果 对于保险公司第一类长寿风险的度量，首先根据式（9）计算2012年70岁男性的生存年金精算现值为13.12，其中，计算所采用的折现率为2.5%，极限年龄为105岁。将2012年70岁男性的生存年金精算现值作为基数，根据式（11）计算得到未来各年的长寿风险资本要求（LCR），其结果见表2。表2中的第1行是基于L-C模型均值回归（Z=0）得到的死亡率预测结果计算的生存年金精算现值。表2中的第2行为长寿风险资本要求（LCR），该结果是在L-C模型计算得到的第一行的生存年金精算现值的基础上，以2012年70岁男性的生存年金精算现值为基础计算得到。可见，未来各年随着死亡率的不断降低，生存年金精算现值不断增大，导致保险公司的给付水平不断上升，与2012年相比较，2013年保险公司的给付水平比2012年增加4.84%，2020年将增加10.25%，2030年增加17.65%，2040年增加24.43%，到2050年增加30.76%。表2中的第3行，是基于本文所提出的随机模拟方法计算得到的长寿风险资本要求。其中，通过随机模拟得到的2013年生存年金精算现值为13.88，长寿风险的资本要求为5.83%。基于随机模拟方法得到的长寿风险资本要求大于通过L-C模型得到的长寿风险资本要求，说明随机模拟方法得到的死亡率更低，对长寿风险的度量更加保守。
2.保险公司第二类长寿风险度量结果 保险公司第二类长寿风险的度量，以表2中第1行的年金系数（Z=0）为基数，通过式（12）～（15）可以分别计算得到压力趋势法、标准公式法、随机模拟法的VaR和CTE的第二类长寿风险的资本要求。其中，压力趋势法与随机模拟法的VaR和CTE选取99.5%的置信水平，标准公式法根据欧盟委员会（2010）在第二代偿付能力（SolvencyⅡ）第五次测试（QIS5）中所选用的标准，即f=20%，具体结果见表3。由表3中可见，历年标准公式法下得到的生存年金精算现值均高于压力趋势法，说明20%的死亡率的降低幅度高于L-C模型得到的未来死亡率的预测结果，显然标准公式法对第二类长寿风险的度量更加保守。在压力趋势法下，2013年的保险公司第二类长寿风险的资本要求为5.31%，意味着在充足提取了第一类长寿风险资本要求4.84%的基础上，为了防止死亡率被低估导致的保险公司偿付能力不足，仍需要在提取5.31%的长寿风险资本要求，到了2020年第二类长寿风险的资本要求为4.83%，2050年为3.23%。在标准公式法下的含义与压力趋势法相同。表3中的最后两行括号外为生存年金精算现值，括号内为偿付能力资本要求。可见，CTE下的风险度量值与VaR下的风险度量值，二者差别较小，说明人口死亡率尾部极端风险发生的可能性较小，即未来人口死亡率的下降以及长寿风险的发生是一个循序渐进的过程，因此，99.5%分位点处采用VaR度量长寿风险与CTE度量长寿风险的区别不大。对比2013年不同方法下保险公司第二类长寿风险的大小可以发现，标准公式法下得到的风险度量值最大，其次是压力趋势法，再次是随机模拟法的VaR度量值，最小的是随机模拟法的CTE度量值。
将第一类长寿风险与第二类长寿风险加总，得到总和长寿风险。压力趋势法下总和长寿风险资本要求为10.15%，标准公式法下总和长寿风险资本要求为12.18%，随机模拟法VaR度量的总和长寿风险资本要求为9.33%，机模拟法CTE度量的总和长寿风险资本要求为9.95%。可见，标准公式法下的总和长寿风险资本要求最高，对长寿风险的度量最为保守；随机模拟法VaR度量的总和长寿风险资本要求最低，尽管该方法对第一类长寿风险的度量值最高，但其对第二类长寿风险的度量值最低，最终导致对总和长寿风险的度量值为最低；压力趋势法下的总和长寿风险资本要求略高于随机模拟法CTE的度量结果，这两种方法得到的度量结果位于标准公式法与随机模拟VaR法之间。 （五）极限年龄和折现率变动的敏感性分析 1.极限年龄变动对长寿风险的影响⑤ 由于人口寿命延长已经成为不可逆转的趋势，保险公司是否需要随着人口寿命的延长上调经验生命表的极限年龄？表4给出了不同方法下生存年金精算现值（年金系数）和长寿风险资本要求随极限年龄变动的结果。其中，用于计算表4中长寿风险资本要求的生存年金精算现值的基数，在压力趋势法和标准公式法下的各极限年龄处均为13.75，在随机模拟法下的各极限年龄处均为13.88。由表4可见，在压力趋势法下，当极限年龄从105岁上调到110岁时，第二类长寿风险略有增加，然而当极限年龄从110岁上调到115岁或120岁时，第二类长寿风险保持不变。在标准公式法和随机模拟法下，得到与压力趋势法相同的结论。因此，极限年龄的变化对保险公司第二类长寿风险的影响较小，敏感程度较低。 2.折现率变动对长寿风险的影响 下页表5给出了不同方法下生存年金精算现值（年金系数）和长寿风险资本要求随折现率变动的结果。由表5可见，在压力趋势法下，当折现率提高时，生存年金精算现值则降低，导致保险公司第二类长寿风险偿付能力资本要求也随之降低。在标准公式法和随机模拟法下，与压力趋势法具有相同的结论。
本文以欧盟Solvency Ⅱ框架为理论基础，采用了压力趋势法、标准公式法和随机模拟法度量了保险公司的两类长寿风险，研究结果表明随机模拟方法得到的第一类长寿风险度量值最大，对死亡率降低所产生的第一类长寿风险的度量最为保守。对于第二类长寿风险，标准公式法所得到的长寿风险度量值最大，其次是压力趋势法，随机模拟方法得到的第二类长寿风险度量值最低。将第一类长寿风险与第二类长寿风险相加得到的总和长寿风险，标准公式法的度量结果最高，随机模拟法VaR的度量结果最低，压力趋势法的度量结果则略高于随机模拟法CTE的度量结果。从稳健性与保守性的角度来看，保险公司第一类长寿风险的度量应采取随机模拟法，第二类长寿风险与总和长寿风险的度量应采用标准公式法。 此外，人口死亡率尾部极端风险发生的可能性较小，即未来人口死亡率的下降以及长寿风险的发生是一个循序渐进的过程，采用VaR度量长寿风险与CTE度量长寿风险的区别不大。长寿风险对极限年龄的变动并不敏感，极限年龄的变化对保险公司长寿风险的影响较小，保险公司目前并没有上调经验生命表的极限年龄的必要。折现率变动对长寿风险的影响较为明显，随着折现率的提高，长寿风险不断降低，降低的幅度较为显著。因此，提高折现率，可以作为保险公司应对未来长寿风险的措施，然而，折现率的提高需要保险公司提供相应的投资收益率，达到资产与负债的动态匹配。较高的折现率就需要保险公司将资产的大部分投资于风险性资产中，尽管降低了保险公司的长寿风险，但同时也带来了更高的投资风险。因此，从保险公司整体经营的稳定性角度考虑，应综合考虑长寿风险与投资风险的权衡问题。 ①死亡均匀分布假设是本文研究的基础假设，在实证研究部分假设2中具体解释。 ②极限年龄的假设依据我国人寿保险公司经验生命表的极限年龄设定，折现率假设参照我国保险公司长期以来2.5%的折现率上限设定，考虑到我国未来人口寿命的延长与我国已于2013年取消人身保险传统寿险产品2.5%的折现率上限，本文后面将对极限年龄和折现率的变动情况做进一步的分析。 ③欧洲的SolvencyⅡ计算风险资本要求的最低模拟次数为1000次。 ④由于80岁以上人口死亡率数据波动较大，可信度较低，因此，本文选择65～80岁人口死亡率作为基础数据，80岁以上人口死亡率通过Gompertz模型来拟合。 ⑤针对极限年龄变动对长寿风险的影响，由于国内外已有的研究探讨过极限年龄变动对第一类长寿风险的影响，本文此处重点探讨极限年龄变动对第二类长寿风险的影响。关于折现率变动的敏感性分析，理由如上，本文也重点探讨折现率变动对第二类长寿风险的影响。
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