只有输出的广义样本区间 DEA模型

伊 茹¹，马占新²

(1.华北电力大学经济与管理学院，北京 102206；2.内蒙古大学经济管理学院，内蒙古 呼和浩特 010021)

摘 要 ：在应用多个绩效指标综合评价决策单元有效性时，决策者常常把这些决策单元与另外预先指定的标准(样本单元)进行比较。由于客观事物的复杂性和不确定性导致样本单元和决策单元的指标信息有时必须用区间数的形式给出。针对区间数指标信息的综合评价问题，本文通过分解的方法讨论样本单元和决策单元指标信息为区间数时用广义DEA模型评价决策单元有效性的方法，并相应地构建了只有输出的广义区间DEA模型。同时，对模型的含义、求解以及性质等进行了分析。之后，探讨了该方法在决策单元有效性分类和排序中的应用。最后，通过实例表明该方法的可行性和有效性。

关键词 ：数据包络分析；广义区间DEA；样本单元；决策单元；区间数

1 引言

数据包络分析^[1-2](DEA)是使用数学规划模型评价具有多输入、多输出决策单元间的相对有效性。自1978年由Charnes等人提出以来，众多学者在模型的扩充和完善相关理论的发展以及DEA应用方面都进行了大量研究^[3-7]。近期学者们在传统DEA方法的基础上，从非期望产出^[8-10]、交叉效率中决策单元的排序^[11-12]、输入输出变量约束^[13-14]等角度展开了进一步的研究。针对传统DEA方法只能给出决策单元相对于有效决策单元的评价信息，无法依据指定参考集提供评价信息的弱点，马占新^[15-16]从评价参考集的角度出发，对数据包络分析理论进行拓展，提出广义DEA方法，之后，对广义DEA模型进行扩充与完善，分别提出带有偏好锥的广义DEA模型^[17]、包含无穷多个样本单元的广义DEA模型^[18]、综合的广义DEA模型^[19]，并对决策单元偏序关系^[20]进行了系统的研究。针对广义DEA模型中样本单元和决策单元的投入、产出数据非准确数的情况，孙娜等^[21-22]分别提出了广义超效率区间DEA模型和广义模糊DEA模型，并对其有效性进行了研究。传统DEA方法和广义DEA方法作为非常有效的效率评价方法难于评价非效率问题。为此，马占新和伊茹^[23]给出基于样本评价的非参数综合评价方法，将传统DEA方法的功能由“效率评价”推广到了包含“非效率评价”在内的更一般的情况，并对非效率型DEA参照系进行了拓展性研究，但该方法只是针对指标值为精确数的情况。

在综合评价过程中，根据不同目的人们选择不同的参照标准对评价对象鉴定优劣、区分等级、排列次序。由于评价目的的不同和客观事物的复杂性，参照对象和评价对象指标数据采用区间数，具体表现形式为：(1) 由于个体存在差异，有些指标数据可在一定范围内波动，故人们选用参考值范围作为标准，判定评价对象是否处于参考标准范围内；(2)由于客观事物的不确定性，评价对象指标观测值选取为可能的取值范围，此时人们选择可接受的特定标准考察评价对象指标取值范围是否达到了预期标准；(3)当评价指标存在定性指标时，可采用区间数形式对其进行量化，此时面临参照对象和评价对象指标值均为区间数的情况。针对上述问题，无法简单地应用传统DEA方法及其改进方法去综合评价决策单元的有效性，必须考虑新的处理方法对各决策单元进行综合评价。

针对已有文献研究中存在的不足和上述现实中存在的问题，本文通过分解的方法讨论样本单元和决策单元指标信息为区间数时用广义DEA模型评价决策单元有效性的方法，并相应地构建了只有输出的广义区间DEA模型。同时，对模型的含义、求解以及性质等进行了分析。之后，探讨了该方法在决策单元有效性分类和排序中的应用。最后，通过实例表明该方法的可行性和有效性。

2 只有样本单元的输出为区间数

2 .1 区间样本可能集的构造及IS-E有效性

为了方便描述问题，考虑样本单元输出数据为区间数，而决策单元输出数据为精确数的情况，假设有个样本单元和n 个决策单元，它们都由m 种类型的输出作为评价指标，为第j 个样本单元的区间数指标向量，其中并且为第p 个决策单元的指标向量，并且记则

2.1 胃蛋白酶对样本消化时间的结果 不同消化时间，经DAPI染色后镜下呈现出不同的细胞形态(见表1及图1所示)。结果所示，标本消化时间在8～10min之间较为适宜，考虑到标本大小，可在此范围内适当调整消化时间。

称为样本单元j 的一个参考点，其中为样本单元j 的参考点最大值；为样本单元j 的参考点最小值。

记个区间样本单元的输出数据构成的集合为称为区间样本参考集；

杀人偿命意味着杀人者的生命被剥夺，而罪犯基于对死亡的恐惧，可能会放弃实施犯罪，所以说死刑制度的威慑作用是其他方式不可比拟的。

为最大值样本参考集；为最小值样本参考集。

根据区间样本参考集可构建满足平凡性公里、凸性公理、无效性公理、最小性公理^[24]的区间样本可能集T _I ；同理，由最大(小)值样本参考集构建最大(小)值样本可能集

为了给出区间样本参考集下的决策单元有效(简称IS-E有效)概念，以下分三种情况进行讨论：

法律制度的制定与修改，其背后都蕴含着社会现实生活对某一特定问题的关注和期待。然而并非所有的社会问题都会通过国家专项立法的方式予以明确性规定。以儿童健康权保护为例，我国目前并未就儿童健康权保护问题作出单独立法，而有关于专项保护未成年人健康成长的法律规范，主要规定在了《中华人民共和国未成年人保护法》等法律当中。

由表2中决策单元的有效值可知，决策单元D₁、D₂、D₃分别为强IS-BE有效、弱IS-BE有效和IS-BE无效。图1显示，由于决策单元D₁位于最大值样本前沿面所围区域之外，因此强IS-BE有效；决策单元D₂位于最小值样本前沿面和最大值样本前沿面所围区域中，则弱IS-BE有效；决策单元D₃位于最小值样本前沿面所围区域之内，则IS-BE无效。

(1)当评价指标为效益型，则区间样本可能集T _IB表示为：

T _IB={Y |Y 其中，由区间数的运算法则^[25]可知，仍为区间向量。比较区间≥当且仅当且≥₁和≥₂表示两个基本的序关系，⟺≥⟺≥下文中的区间比较同理。

定义1如果不存在Y ∈T _IB，y ∈Y ，使得y y _p 且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为IS-BE有效。

(2)当评价指标为成本型，则区间样本可能集T _IC表示为：

T _IC={Y |Y

定义2如果不存在Y ∈T _IC，y ∈Y ，使得y y _p 且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为IS-CE有效。

(3)当评价指标既有效益型又有成本型，即混合型，假设前r 个指标为成本型，后m -r 个指标为效益型，则区间样本可能集T _IBC表示为：

T _IBC={Y |Y ^c

改革进行时，除基础教育基本移交、医院纳入垦区医疗公司外，社区管理目前仍由广前公司承担。而过渡时期社区管理的水平，不仅关系到将来的顺利移交，更与当下的社会民生息息相关。为此，广前公司在社区管理与企业生产经营职能内部分开的基础上，成立了社区管理委员会，建立完善社区管理体系，还以购买服务的形式把社工服务引进社区，通过专业工作手法提升社区居民的生活福祉。

定义3如果不存在Y ∈T _IBC，y ∈Y ，使得(y ^c,-y ^b)且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为IS-BCE有效。

2 .2 基于区间样本可能集的决策单元有效性度量模型及有效性判定

根据上述区间样本可能集，可以建立度量决策单元IS-E有效性的只有输出的广义区间DEA模型：

其中，ε 为非阿基米德无穷小量；均为单位向量；s ⁺,s ^-为实数向量。

为了应用上述模型判断决策单元IS-E有效性，以下给出进一步的分析：

当评价指标为效益型(成本型、混合型)时，将区间样本单元j 的任意参考点作为样本输出值，即考虑决策单元p 在任意样本可能集下的有效性，则可得求解决策单元p 的任意有效值模型和容易证明以下结论成立。

定理1 若线性规划的最优解为则决策单元p 为IS-BE有效当且仅当或者且

证明：(⟹)若决策单元p 为IS-BE有效，为线性规划的最优解，假设或者且成立：

(2)当评价指标为成本型，则样本可能集T _C 表示为：

(⟸)若决策单元p 为IS-BE无效，则由定义1可知存在Y ∈T _IB，y ∈Y ，使得y y _p 且至少有一个不等式严格成立。因此存在λ 0使得故可知的最优值大于1，矛盾。证毕

类似可证以下定理2和定理3成立。

定理2 若线性规划的最优解为则决策单元p 为IS-CE有效当且仅当或者且

T _BC={y |y ^c

上述三种模型均是非线性规划模型，可通过两组线性规划模型对其进行求解。

当评价指标为效益型时，通过求解决策单元p 的区间有效值上限的模型和下限的模型

设模型和模型的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元p 基于区间样本单元的广义DEA区间有效值。

当评价指标为成本型时，将区间样本单元j 的参考点最大值最小值作为样本输出值，即考虑决策单元p 在最大值(最小值)样本可能集下的有效性，则可得求解决策单元p 的区间有效值上限的模型下限的模型

设模型和模型的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元p 基于区间样本单元的广义DEA区间有效值。

当评价指标为混合型时，将区间样本单元j 的成本型指标最大值(最小值)，效益型指标最小值(最大值)组成的参考点作为样本输出值，则可得求解决策单元p 的区间有效值上限的模型下限的模型

1937年“卢沟桥事变”爆发，中华民族全面抗战开始，国共实现了第二次合作。此时的国民政府采取积极的抗日政策，将抗战与教育相结合，逐渐认识到儿童在抗战中的作用，深化了对战时小学教育重要性的认识。1937年8月11日国民政府行政院发布《总动员时督导教育工作办法纲领》，明确规定，学校“务必镇静，以就地维持课务为原则”，而在“比较安全区域内之学校，尽可能范围内，设法扩充容量，收容战区学生”［7］1。此时的国民政府意识到教育对于抗战的重要作用，强调即使在困难时期，也必须充分保障教育的正常实施。

设模型和模型最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元p 基于区间样本单元的广义DEA区间有效值。

2 .3 决策单元的IS-E有效性分析

定理4 设和分别为模型和模型的最优解，则有≤≤

证明：设为模型最优解，则有0 及即如果为模型的最优解，则有≤为非阿基米德无穷小，因此≤

其中：Rrqd=岩石质量指标；Jn=节理组数；Jr=节理粗糙系数；Ja=节理蚀变系数；Jw=节理水折减系数；Ssrf=应力折减系数。

设为模型最优解，则有0 及即如果为模型的最优解，则有≤为非阿基米德无穷小，因此≤证毕

4.交叉组HBO治疗前后Harris评分、MRI指标比较：交叉组完成HBO治疗的17例患者在HBO治疗前(第2次评估)和HBO治疗后(第3次评估)相比Harris评分明显提高，差异有统计学意义(P<0.05)。HBO治疗前后的疼痛缓解率为58.82%。交叉组HBO治疗后的股骨头水肿评分比HBO治疗前明显改善(P<0.05)，股骨头坏死指数和股骨头坏死面积方面差异无统计学意义(P>0.05)。见表5。

类似可证以下定理5和定理6成立。

定理5 设和分别为模型和模型的最优解，则有≤≤

定理6 设和分别为模型和模型的最优解，则有≤≤

2 .4 基于IS-E有效性的决策单元分类及排序

根据决策单元区间有效值，可将所有决策单元p (p =1, 2,…, n ) 分为以下几类：

补偿方式：竞争可用费和使用费的枯水期运行备用竞价。当出现容量不足时可以评估市场对成本的补偿程度决策是否需要建立容量市场。

≥1(或者≥1, 或者≥1或规划无可行解)}

且≥1(或者且≥1,或者且≥1或无可行解)}

满足或者或者

定义4若则称决策单元p 为强IS-E有效；若DMU_p ∈E _IS，则称决策单元p 为弱IS-E有效；若则称决策单元p 为非IS-E有效。

通过上述分析，基于区间样本可能集的广义DEA区间有效值反映了决策单元的有效性程度，因此，可根据区间有效值对决策单元进行排序。

眼球摘除和眼内容物剜除术后眼窝凹陷，影响外观甚至心理健康，在儿童患者甚至影响面部颅骨发育[8，9]。因此绝大多数患者行一期义眼台植入补充眶内容[10]。一部分患者因眼内炎、开放性外伤等情况未能行一期义眼台植入，则择期行二期义眼台植入术。对于年迈且手术不耐受者或经济限制等情况，则选择单纯安装义眼片。眶内容物剜除术因切除组织多、无法行义眼台植入，外观损毁巨大，目前国内外以赝复体修复面部缺损来改善美容效果[11]，缺点是其价格不菲。

当评价指标为效益型(成本型、混合型)时，将区间决策单元p 的任意观测点作为决策单元输出值，则可得求解区间决策单元p 的任意观测点有效值的模型和类似定理1～3可证定理7～9成立。

例1考虑具有两种效益型输出指标的2个区间样本单元和3个决策单元，其相应指标数据见表1。

表1 区间样本单元和决策单元输出指标数据

应用模型(IS-D)_B可得表2中的结果，相应的区间样本可能集和决策单元的分布可由图1表示出来。

表2 决策单元IS-E有效值

图1 效益型输出的广义区间DEA样本可能集

林兆华导表演艺术与话剧“中国学派”的探索发展 ……………………………………………… 张 赟（1．73）

虽然同步碎石封层技术使得路面的使用寿命大大增强，但后期对于路面的养护工作也是十分重要的：①需要严格要求刚铺完路的2h内禁止所有车辆的经过，使沥青和碎石与地面完全粘合完成，并对地面降温后才可通行，以免造成对新修路面不必要的损坏。②要注意修复后的路面的检测工作，在铺路结束后的24～48h内，若出现地面凸起，沥青脱落等现象时，要及时进行路面修补和复压工作，以保证路面的正常使用[4]。③对新修公路养护完成后，要及时对施工现场进行清洁处理，以免造成不必要的环境污染。

3 只有决策单元的输出为区间数

3 .1 样本可能集的构造及S-IE有效性

考虑样本单元输出数据为精确数，而决策单元输出数据为区间数的情况，假设为第j 个样本单元的指标向量，并且为第p 个决策单元的区间数指标向量，其中且记则

针对百米林带植物群落中封闭草地型空间占比较大、乔木种植过密的问题。建议梳理群落空间层次,对一些植物长势过于杂乱、种植密度过高的群落进行适当的抽稀处理,去除长势较差的植物,使群落层次更加清晰,在提升景观视觉效果的同时也增加可游憩面积。

称y _p =(y _1p ,y _2p ,…,y _mp )^T为决策单元p 的一个观测点，其中为决策单元p 的最大值观测点；为决策单元p 的最小值观测点。

记个样本单元的输出数据构成的集合为称为样本参考集。

根据样本参考集可构建满足平凡性公里、凸性公理、无效性公理、最小性公理^[24]的样本可能集T 。

基于样本可能集T 的S-IE有效概念以下分3种情况定义：

(1)当评价指标为效益型，则样本可能集T _B 表示为：

T _B={y |y

定义5如果不存在y ∈T _B，使得y _p ∈Y _p ，y y _p 且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为S-IBE有效。

若则由可知故与决策单元p 为IS-BE有效矛盾。若且则≥y _p ，故由定义1可知决策单元p 不为IS-BE有效，矛盾。

T _C={y |y

定义6如果不存在y ∈T _C，使得y _p ∈Y _p ，y y _p 且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为S-ICE有效。

(3)当评价指标为混合型，即则样本可能集T _BC表示为：

定理3 若线性规划的最优解为则决策单元p 为IS-BCE有效当且仅当或者且或者无可行解。

定义7如果不存在y ∈T _BC，使得且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为S-IBCE有效。

3 .2 基于样本可能集的决策单元有效性度量模型及区间有效性判定

根据上述样本可能集，通过引入非阿基米德无穷小的概念，建立度量决策单元S-IE有效性的只有输出的广义区间DEA模型：

其中，ε 为非阿基米德无穷小量；均为单位向量；s ⁺,s ^-为实数向量。

为了应用上述基于样本可能集的只有输出的广义区间DEA模型判断决策单元S-IE有效性，以下进行进一步的分析：

船上的各类物料库，往往大都没有锁闭装置，这不利于保安控制，物料库是否遭受破坏，这直接影响船舶的安全和保安工作,因此要改装添加锁闭装置，保安巡逻期间要重点关注物料间。特别是长期停靠码头，及锚泊船舶，出国作业船舶。上了锁，既可以防止内部失盗、丢失，也可以防止外部的偷盗，顺手牵羊等现象的发生。

为了便于说明决策单元基于区间样本单元的IS-E有效性评价问题，通过评价效益型输出指标的决策单元为例具体说明：

定理7 若线性规划的最优解为则决策单元p 为S-IBE有效当且仅当或者且

定理8 若线性规划的最优解为则决策单元p 为S-ICE有效当且仅当或者且

定理9 若线性规划的最优解为则决策单元p 为S-IBCE有效当且仅当或者且或者无可行解。

对于上述非线性规划模型，可通过求解决策单元最大值观测点和最小值观测点的有效度量模型，得到区间决策单元p 的有效值上限和下限。

当评价指标为成本型，具体度量模型为：

设模型和模型的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元基于样本单元的广义DEA区间有效值。

同理，当评价指标为效益型时，将决策单元p 的最小值(最大值)观测点作为决策单元输出值，即考虑决策单元p 最不利(最有利)的情形，可得求解决策单元p 的区间有效值下限模型上限模型

设模型和模型的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元基于样本单元的广义DEA区间有效值。

当评价指标为混合型时，将决策单元p 的成本型指标最大值(最大值)，效益型指标最小值(最小值)组成的观测点作为决策单元输出值，即考虑决策单元p 最不利(最有利)的情形，可得求解决策单元p 的区间有效值下限模型上限模型

设模型和模型的最优解分别为和则和组成区间称为决策单元基于样本单元的广义DEA区间有效值。

3 .3 区间决策单元的S-IE有效性分析

类似可得以下结论成立。

定理10 设和分别为模型和模型的最优解，则有≤≤

定理11 设和分别为模型和模型的最优解，则有≤≤

定理12 设和分别为模型和模型的最优解，则有≤≤

3 .4 基于S-IE有效性的决策单元分类及排序

根据决策单元的区间有效值，可将所有决策单元p (p =1, 2,…, n )进行分类：

满足≥1(或者≥1, 或者≥1或规划无可行解)}

且≥1(或者且≥1,或者且≥1或无可行解)}

满足或者或者

定义8若则称决策单元p 为完全S-IE有效；若DMU_p ∈E _S，则称决策单元p 为部分S-IE有效；若则称决策单元p 为完全IS-E无效。

通过上述分析，基于样本可能集的广义DEA区间有效值反映了区间决策单元的有效性程度，因此，可根据区间有效值对决策单元进行排序。

通过评价成本型输出指标的区间决策单元为例，说明区间决策单元S-IE有效性评价问题。

例2 考虑具有两种成本型输出指标的2个样本单元和3个区间决策单元，其相应指标数据见表3。

表3 样本单元和区间决策单元输出指标数据

应用模型(S-ID)_C可得表4中的结果，相应的样本可能集和区间决策单元的分布见图2所示。

图2 成本型输出的广义区间DEA样本可能集

表4 区间决策单元S-IE有效值

由表4中决策单元的区间有效值可知，决策单元D₁区间有效值下限为完全S-ICE有效；同样，可判定决策单元D₂为部分S-ICE有效，决策单元D₃为完全S-ICE无效。由图2显示，决策单元D₁全部观测点位于样本前沿面所围区域之外，因此完全S-ICE有效；决策单元D₂部分观测点位于样本前沿面所围区域之外，部分观测点位于样本前沿面所围区域之内，则部分S-ICE有效；决策单元D₃全部观测点位于样本前沿面所围区域之内，则完全S-ICE无效。

4 样本单元和决策单元的输出均为区间数

4 .1 IS-IE有效性

考虑样本单元和决策单元输出数据均为区间数的情况，假设为第j 个样本单元的区间指标向量；为第p 个决策单元的区间指标向量。

基于区间样本可能集T _I的IS-IE有效概念分3种情况定义：

(1)当评价指标为效益型，则基于区间样本可能集T _IB，IS-IE有效性可定义为：

定义9如果不存在Y ∈T _IB，使得Y Y _p 且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为IS-IBE有效。

(2)当评价指标为成本型，则基于区间样本可能集T _IC，IS-IE有效性可定义为：

定义10如果不存在Y ∈T _IC，使得Y Y _p 且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为IS-ICE有效。

(3) 当评价指标为混合型，则基于区间样本可能集T _IBC，IS-IE有效性可定义为：

定义11如果不存在Y ∈T _IBC，使得(Y ^c,-Y ^b)且至少有一个不等式严格成立，则称决策单元p 为IS-IBCE有效。

4 .2 基于区间样本可能集的区间决策单元有效性度量模型

当样本单元和决策单元输出数据均为区间数时，根据区间样本可能集T _I，通过引入非阿基米德无穷小的概念，建立度量决策单元IS-IE有效性的只有输出的广义区间DEA模型：

其中，ε 为非阿基米德无穷小量；均为单位向量；s ⁺,s ^-为实数变量。

为了求解上述3种非线性规划模型(IS-ID)，考虑对区间决策单元最有利与最不利的情形，可得求解决策单元区间有效值上限模型和下限模型，具体如下：

(1) 当评价指标为效益型，则决策单元的区间有效值上限与下限模型如下：

(2)当评价指标为成本型，则决策单元的区间有效值上限与下限模型如下：

(3) 当评价指标为混合型，则决策单元的区间有效值上限与下限模型如下：

设模型和的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元p 的广义DEA区间有效值。

设模型和模型的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元p 的广义DEA区间有效值。

设模型和的最优解分别为和则和组成的区间称为决策单元p 的广义DEA区间有效值。

定理13 每个决策单元的广义DEA区间有效值或或包含了所有可能的有效值。

证明：当评价指标为效益型时，证明每个决策单元的广义DEA区间有效值包含了所有可能的有效值。

将决策单元p 的最小值观测点作为决策单元输出值，求解模型而得到的最优解记为将决策单元p 的最大值观测点作为决策单元输出值，求解模型而得到的最优解记为为了便于证明，分别记

由定理1可知，≤≤由定理7可知，≤≤从而

≤≤

≤≤

即≤当评价指标为成本型或混合型时同理。证毕。

4 .3 决策单元有效性分类及排序

依据上述分析，可将所有决策单元p (p =1, 2,…, n )分为以下几类：

≥1(或者≥1,或者≥1或规划无可行解)}

且≥1(或者且≥1,或者且≥1或无可行解)}

或者或者

定义12若DMU_p ∈E ⁺，则称决策单元p 为绝对IS-IE有效；若DMU_p ∈E ，则称决策单元p 为部分IS-IE有效；若DMU_p ∈E ^-，则称决策单元p 为绝对IS-IE无效。

通过上述分析，广义DEA区间有效值反映了区间决策单元的有效性程度，因此，可根据区间有效值对决策单元进行排序。

5 实例分析

针对样本单元和决策单元指标取值为区间数时的评价问题，现以某地区的商业银行分行运行业绩综合评价为例。为了借鉴其他分行的经验更好地提升企业能力，从而提高企业的竞争力，设20家待评价的分行与同行业内的3家运行业绩突出的同类分行作为标杆进行比较，每家银行采用存款总额，其他存款、发放的贷款、收到的利息、服务费等5个输出指标作为评价指标。表5为标杆分行的输出指标数据，待评价分行输出指标数据参见文献[32]。

表5 标杆分行的输出指标数据

由于评价指标均为效益型，且标杆分行和待评价分行的评价指标值均为区间数，通过只有输出的广义区间DEA模型(IS-ID)_B，求解区间有效值上

限模型和下限模型得到各待评价的分行相对于标杆分行的区间有效值，如表6所示。

表6 20家分行的区间有效值

对于20家分行的运营业绩综合评价，结合表6中分行的区间有效值，可得以下结论：

(1)分行1、8、10、17、19等5家分行的区间有效值下限值均大于1，即这5家分行均绝对IS-IE有效。表明与选取的3家标杆分行相比，这些分行在各项业绩指标值最低(取区间值的最小值)时的综合运营业绩都高于3家标杆分行在各项业绩指标值最高(取区间值的最大值)时的综合运营业绩。

(2)分行3、9、15等3家分行的区间有效值上限值大于1，下限值小于1，即这3家分行为部分IS-IE有效。表明与选取的3家标杆分行相比，当这些分行在各项业绩指标值最高(取区间值的最大值)时的综合运营业绩高于3家标杆分行在各项业绩指标值最低(取区间值的最小值)时的综合运营业绩，但是当这些分行在各项业绩指标值最低(取区间值的最小值)时的综合运营业绩低于3家标杆分行在各项业绩指标值最高(取区间值的最大值)时的综合运营业绩，说明分行3、9、15等3家分行业绩指标仍有调整的空间。

(3)由于其他剩余分行的区间有效值上限小于1，即其他分行均为绝对IS-IE无效。表明与标杆分行相比，即使这些分行在各项业绩指标值最高(取区间值的最大值)时的综合运营业绩也均低于标杆分行在各项业绩指标值最低(取区间值的最小值)时的综合运营业绩，说明其他剩余的分行综合业绩评价未能达到标杆分行的标准。

根据4.3节决策单元有效性分类，结合待评价分行的运营业绩综合评价情况，可对20家分行运营情况进行如下等级分类，见表7：

表7 分行运营情况等级分类

与此同时，根据表6中待评价分行的区间有效值，可进一步对分行进行运营业绩综合排序。由于20家分行的运营业绩综合评价的有效值为区间数，本文运用模糊左关系方法^[33-34]对这些分行进行运营业绩综合排序，可得排序如下：1>8>19>17>10>9>3>15>4>11>7>6>14>2>13>16>12>5>18>20，表明20家分行中分行1的综合运营业绩最优，分行20的综合运营业绩最差。

6 结语

本文提出一种基于样本单元的区间数多属性综合评价方法。针对样本单元或决策单元的评价指标取区间数，或两者的评价指标均取区间数的情况，分别建立相对应的基于样本单元评价决策单元有效性的只有输出的广义区间DEA模型，并通过区间有效值对决策单元进行全排序和进一步的分类。与传统的数据包络分析方法相比，本文提出的方法，将传统DEA方法依据有效决策单元构成的评价参照系评价决策单元相对效率性拓展为依据任意参考集进行决策单元“非效率评价”在内的更具广泛含义的DEA方法，并将传统综合评价中的指标点值扩展到区间值进行研究。文中建立的模型各有其一定的优越性和应用场景，可根据实际问题选择不同类型的模型。

参考文献 ：

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A Generalized Sample Interval DEA Model with Only Output

YI Ru ¹,MA Zhan -xin ²

(1. School of Economics and Management, North China Electric Power University, Beijing 102206, China；2. School of Economics and Management, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China)

Abstract ： When multiple performance measures are used to evaluate the effectiveness of the decision-making units, the decision makers often compare these decision units with the pre-specified criteria (sample units). Because of the complexity and uncertainty of the objective things, the index information of sample units and decision unit must be given in the form of interval numbers. According to the three cases of the interval number of the evaluation index value of the sample unit or the decision unit, or the evaluation index values of both of them, it is established respectively that the generalized interval DEA model with only output (IS-DEA model, S-IDEA model and IS-IDEA model) based on the sample unit to evaluate the effectiveness of the decision making unit,and three types of generalized interval DEA models with output are further given according to the index types - benefit, cost and hybrid. At the same time, the meaning of the model, the solving methods, the related properties, the effectiveness classification and sequencing of decision making units of these models are discussed. Finally, an example of comprehensive performance evaluation of commercial banks is given to verify its feasibility and effectiveness.The method proposed in this paper extends the relative efficiency of the traditional DEA method, which is based on the effective decision unit, to evaluate the relative efficiency of the decision making unit, which is based on the arbitrary reference set, and extends the index value to the interval value. These models have their own advantages and application fields and can be chosen according to practical problems.

Key words ： Data Envelopment Analysis; generalized interval DEA; sample unit; decision-making unit; interval number

中图分类号 ：N94;C931

文献标识码： A

文章编号 ：1003-207(2019)01-0194-11

DOI: 10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2019.01.019

收稿日期 ：2017-04-24；修订日期： 2018-05-30

基金项目 ：国家自然科学基金资助项目(71661025，71261017);内蒙古自然科学基金资助项目(2016MS0705);内蒙古草原英才项目(12000-12102012);中央高校基本科研业务费专项基金项目(2016XS79)

通讯作者简介 ：马占新(1970- )，男(蒙古族)，内蒙古人，内蒙古大学经济管理学院，教授，博士生导师，研究方向：综合评价与决策分析、系统风险评估、系统优化的理论、方法及应用，E-mail: em_mazhanxin@imu.edu.cn.

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