“镶嵌”教学中的误区与用“分解法”理解镶嵌，本文主要内容关键词为：解法论文,误区论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在初中数学教学中，不少教师在教学“镶嵌”这节内容时，只重视从教师教学用书、教案用书或学生课堂练习用书等资料上归纳出来的正多边形能够镶嵌的十几情况，而没有真正深入探究过这个内容。这样，导致了不少教师往往把“正五边形和正十边形能够镶嵌”这一错误结论传授给学生。因为很多资料的编著人员对于镶嵌这个问题也没有深入考证过，而是相互抄袭，致使这一错误仍影响着不少的新、老教师。可能有一些教师也想与学生一起探究正多边形镶嵌的情况，但受正多边形边数越多越不容易画、不容易剪纸，或农村中学受多媒体技术差等因素影响，从来没有去深入探究过。
我们知道，用正多边形镶嵌，各正多边形的边长必须相等（因为相邻的正多边形要有公共边），拼接在同一点的各个角的和等于360°（周角），不论是用一种正多边形镶嵌，还是用几种正多边形组合起来镶嵌，都要满足上述条件。按照这个条件，可以将正
组不能镶嵌的和11组可以镶嵌的组合）。也就是说如果用正多边形能实现平面镶嵌，则只能有17组情形。
在教学中，不少人就误以为这17组情形都能实现平面镶嵌。但实际情形不是这样的！事实上，“每个拼接点周围各正多边形的内角之和为360°”只是能镶嵌成一个平面的必要条件，而不是充分条件。那么，这17组情形中，哪些不能实现平面镶嵌呢？
一、(5,5,10)（由两个正五边形，一个正十边形组成）不能实现平面镶嵌
在平时的一些教学和测试中，不少人误以为(5,5,10)可以进行镶嵌，还画出如下图作为佐证：
图1看似很有说服力，但我们不应忘记，镶嵌在课本上的定义是这样给的：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖。从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌。也就是说，按定义应该是指能够铺满整个平面，因此，仅能铺“局部图案”的说法不能叫镶嵌，实际上，只有当“局部图案”可以“拓展延伸”时才能镶嵌成一个平面。
我们不妨试着把图1拓展延伸，如图2，点A处应该作一正十边形，点B处应该作一正五边形，此时∠DCE=144°，则点C处应该作一正十边形，但上CEF=108°，因此必然出现重叠，与镶嵌要求不合！人教版七年级（下）数学教师用书上的有关镶嵌的问题也有类似的一个错误（网页参见：http://www.pep.com.cn/czsx/jszx/qnxc/jsys/200503/t20050305-200667.htm)。正五边形和正十边形虽然满足镶嵌条件，但不能铺满整个平面，说明镶嵌还应满足延续性。由此可见，(5,5,10)不能实现平面镶嵌。
二、(4,5,20)（由一个正四边形，一个正五边形和一个正二十边形组成）不能实现镶嵌
如图3（见下页），点A周围有两个正方形，一个正五边形，不可能再作正方形或者正五边形或者正二十边形，出现缝隙。所以(4,5,20)也不能实现禳嵌。
图3
三、(3,10,15)（由一个正三角形，一个正十边形和一个正十五边形组成）不能实现镶嵌
如图4，∠CAB=156°，照理该在点A处再作一个正十五边形，但∠ABD=144°，必然出现重叠，因此(3,10,15)不能实现镶嵌。
图4
四、类似(3,10,15)的情形，(3,7,42)、(3,8,24)、(3,9,18)均不能实现镶嵌
综上所述，共有6种情形不能实现镶嵌。可以验证，其他情形均可以镶嵌成一个平面。因此用正多边形有11种情况可以实现平面镶嵌。
我个人在上镶嵌这节课时，与学生一起进行了深入的探索。通过剪边数较少的正多边形拼图，对于边数较多的正多边形采用多媒体辅助教学，并参考了一些教案，总结出：每个拼接点能构成360°的情况共17种，能够进行镶嵌的只有11种。但是我发现让学生死记硬背这11种情况，有难度，所以，我和几位数学教师又对这11种镶嵌的情况进行了再深入研究，发现：11种正多边形镶嵌情况可以通过“图形分解”的方法化归成正三角形和正四边形的镶嵌，这也体现学习数学的重要思想——化归思想。
首先，我们可以把正六边形的三条经过重心的对角线作出来，这样，正六边形就被分成六个正三角形；正十二边形也可以被分解成由正三角形和正四边形组成，如图5.
有了以上分解方法的思想作基础，正多边形进行平面镶嵌的11种情况中，除了(4,8,8)外，其余的10种情况都可理解成正三角形的单独镶嵌或正三角形和正四边形的共同镶嵌。
(1)若只有三个正多边形。
第1组，(3,12,12)（由一个正三角形，两个正12边形组成），我们可以把两个正十二边形通过上面介绍的分解方法，分解成由正三角形和正四边形组成的。这样，(3,12,12)的镶嵌就变成了正三角形和正四边形的镶嵌。以下9组，在这里我就不一一赘述。
图5
第2组，(4,6,12)；
第3组，(6,6,6)。（即是由三个正六边形组成）
(2)若只有四个正多边形。
第4组，(3,3,4,12)；第5组，(3,3,6,6)；
第6组，(3,4,4,6)；第7组，(4,4,4,4)。
(3)若只有五个正多边形。
第8组，(3,3,3,3,6)；第9组，(3,3,3,4,4)。
(4)若只有六个正多边形。
第10组，(3,3,3,3,3,3)。（即是由六个正三角形组成）
其次，第11组，(4,8,8)（即是由一个正四边形，两个正八边形组成），不能用分解法直接把正八边形分解成正四边形和正三角形组成，但是可以把(4,8,8)按下图的分解方法分解，再重组成如正四边形ABCD的新的正四边形，那么(4,8,8)就可以理解成是由像正四边形ABCD这样的正四边形为基本图形的镶嵌。
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