巧用分类讨论解一次函数有关的实际问题论文_贺小青

一次函数是最基本的初等函数，在平面直角坐标系中，其图像是一条直线，因此一次函数与直线型图形问题有着密切的联系，所以它也是考查数学综合能力的素材或载体之一。近年来与一次函数有关的应用问题（如行程问题、利润问题、分配方案问题等）成为了分析问题、解决实际问题的热点。

分类讨论是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法。分类讨论既是一种重要的数学思想，又是一种重要的教学方法。分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结。下面我们来看看分类讨论思想在一次函数的实际问题中的应用。

一、利用一次函数的性质分类讨论

例1、某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．

（1）请填写下表

（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．

【分析】本题（1）（2）问解决难度不大，利用未知数表示从C运往A、B市，从D市运往A市的物资量，并列出相应的函数解析式，特别注意的是需要求出自变量的取值范围。第（3）问由于有参数m，需讨论m的取值范围从而确定函数的增减性，从而进一步确定函数的最值。

【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，在第三问中利用一次函数的图像性质结合分类讨论的数学思想来解答．

二、巧借一次函数的图像分类讨论

例2、茌平联华超市文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择。

甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本。

乙：按购买金额打九折付款。

某中学欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x本。如何选择方案购买呢？

【分析】本题具有一定的开放性。根据题目提供的条件，可确定出两种优惠方案，实际所花费金额y元与书法练习本x之间的关系式，结合函数的关系式，自变量的取值范围，利用函数图象进行分类讨论。

【解答】解：分别根据题意写出甲、乙两种方案的实际金额y元与书法练习本x本之间的关系式：

y甲=（x-10）×5+25×10=5x+200

y乙=（10×25+5x）×0.9=4.5x+225

在同一直角坐标系中画出两个函数图象：

解方程组 得 所以两直

线交于点（50，450）。

由图象很容易看到：当10<x<50时 y甲<y乙，当x=50时 y甲=y乙，当x>50时 y甲>y乙。

答：如果购买书法练习本少于50本时选择方案甲；如果购买书法练习本等于50本时选择哪种方案无区别；如果购买书法练习本多于50本时则要选择方案乙。这样的购买方法最省钱。

【点评】利用图象来分析问题、解决问题形象直观，在同一坐标系内，两图象的交点表示对同一x值，两函数值相等；图象在上面的函数值大，下面的函数值小，通过函数图像的位置关系进行分类讨论。

论文作者:贺小青

论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第15期

论文发表时间:2020/1/16

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