一样的Eξ，不一样的是对与错——古典概型与独立重复试验混淆、困惑、探究，本文主要内容关键词为：的是论文,困惑论文,古典论文,独立论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
最早引起笔者注意的是2004年高考福建卷理科数学概率题（往下简称【2004福建理18】），当年本省很多考生在此道题翻船，原因是概型错误：把古典概型误为独立重复试验。
【2004福建理18】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
(I)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
对于第（Ⅰ）问，
错解 （独立重复试验）ξ=0,1,2,3。
错解与正解，包含两个层次的问题：①如何区分古典概型与独立重复试验？②为什么最后得到的Eξ一样？
这样的错误，在今年高二概率解题教学中，学生频繁出现，而且每次错解与正解的Eξ总是一样。为什么Eξ总是一样？困惑愈甚。问题、困惑驱使笔者展开思考、分析、探究。
1.如何区分古典概型与独立重复试验
古典概型具备两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。对于古典概型，任何事件的概率为
独立重复试验是在相同条件下重复做的n次实验，关键字是“独立”、“重复”。即①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生。
由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，这两个分布的区别是：在产品抽样检验中，如果采用不放回抽样，则次品数服从超几何分布；如果采用有放回抽样，则次品数服从二项分布。二项分布的随机变量是n次独立重复试验中事件发生的次数。
实际问题中，区分古典概型与独立重复试验的关键：是不放回？还是有放回？不放回符合古典概型，随机变量服从超几何分布；有放回符合独立重复试验，随机变量服从二项分布。
2.两种概型混淆的典型案例分析
类型1 古典概型误为独立重复试验
例1 （2010年高考19改编）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
从样本中身高在165～180cm之间的女生中任选2人，求身高在170～180cm之间的人数分布列和期望。
类型2 独立重复试验误为古典概型
例2 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从泉州五中随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如上：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望。
对于第(3)问，学生出现错解：
3.概型误为独立重复试验，或者独立重复试验误为古典概型，为什么Eξ总是一样？如何解释这种必然？
在上述的三个案例中，错解与正解的Eξ总是一样，这太诡异了！难道冥冥数学世界中有某种超自然力？似乎不管正误，二项分布很快算出Eξ=np，然后它会对超几何分布说，你去闯荡吧！我在这里等着你，你一定会变成和我一样。殊途同归，何等自信！
笔者苦思冥想好几天，有一天似乎有点开窍，会不会超几何分布的期望有一个公式？而且与二项分布的期望的计算结果一致？于是马上上网查资料，果不其然，获得两种推导超几何分布的期望公式的方法，欣喜不已。
np,如何解释两种公式计算结果的一致性？
当产品数总数很大而且抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，超几何分布近似于二项分布，此时两种公式等价。再从数值角度看，二项分布的期望公式中的p就等于
，所以两种公式计算结果一致。
但是如果抽取的次数n和总共样品数N相比很小（大约n/N＜0.05），这时在计算上二项分布和超几何分布相互间则没有主要的区别，此时人们更愿意采用二项分布的方法，因为在数学计算上二项分布要简单一些。
超几何分布令N趋近于无穷大，M趋近于无穷大但M/N趋近于p，0≤p≤1。
超几何分布在这种情况下趋近于二项分布。