“三角形的面积”教学再尝试，本文主要内容关键词为：角形论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
不少教师研究过三角形面积的教学，形成了各种优秀设计.这些设计普遍以“转化”的思想为核心，通过学生动手操作，将两个全等的三角形拼合成一个平行四边形（以下简称“倍拼法”），进而由平行四边形面积计算公式推导出三角形面积计算公式.感觉遗憾的是：求一个三角形面积，却用两个三角形来倍拼的独特思路往往是教师授意，而非学生自己得出的.当然，做得巧妙的老师用的是“暗示”，比如在“倍拼”之前先“对半分割”——
师：求下面这个平行四边形（左图）的面积.若老师把这个平行四边形一分为二（右图），你能求其中一个三角形的面积吗？今天我们就来研究三角形的面积计算……
同时，为学生准备的学具也“暗藏玄机”：一般是三对全等的三角形，一对锐角三角形、一对直角三角形和一对钝角三角形.有没有更好的方法来启发学生主动构想三角形的“另一半”呢？2009年和2011年，笔者两次对五年级学生进行学前测试.2009年的前测是在学生学习平行四边形面积计算后进行的，正确率如下：
2011年的前测则在学生完全没有接触多边形面积计算单元之前进行，由测试者提供带方格背景的锐角、直角和钝角三角形各一个，请学生自由想办法，通过单独剪拼或同桌合作的办法把三角形转化成长方形或平行四边形，时间为15分钟.28个学生参加测试，完成情况如下：
结果表明：学生最容易自主探知直角三角形的面积求法，包括“移来补去”数方格的办法、“朴素的”中位线割补的办法以及“倍拼法”.
学生不容易获得锐角三角形和钝角三角形的面积求法.此外，刻画三角形量性特征的方格背景有利于学生的探索.由此，再上“三角形的面积”时，我调整了教学设计.
一、直接揭题
师：昨天我们研究了平行四边形的面积计算，今天我们研究三角形的面积计算.三角形的情况比平行四边形要复杂一些，有各种三角形.比如按边分，它可以分成——
生：等边三角形，等腰三角形，不等边三角形.
师：按角分，它可以分成——
生：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形.
师：那你们看，我们按边研究还是按角研究呢？
生1：我建议按角来研究.因为平行四边形的面积和底、高有关，但你们看，当等边三角形的边是个整数时，它的高很难确定.
生2：我也建议按角来研究.直角三角形最特别.其他三角形加了高线以后，都可以转化成两个直角三角形.
生3：钝角三角形的面积可以看成是两个直角三角形面积的差.
设计意图：1.渗透分类研究的思考方法.五年级学生解决问题的经历还不丰富，他们更擅长解决具体的、明确的、个别的问题，而不太会构想整个问题研究的框架.对于“分类研究”这样比较重要而学生又不能在较短时间内自觉提出的研究方法，教师在谈话中主动地、自然地提出，也是一种选择.当然，仍期待随着解决问题经验的增加，“分类”会成为学生有意识的思考方向2.学生的回答很朴素，但包含了他们对图形特征的观察和把握，比如学生感觉到等边三角形边长和高具有函数关系，能把锐角和钝角三角形初步分割为直角三角形等，为后面的研究提供了基础.
二、开展研究
（一）直角三角形
1.师：我们先研究直角三角形.你能求出这个三角形的面积吗？
2.学生取出直角三角形学具，自主开展研究，教师巡回指导.
3.交流典型方法.
生1：我先用数的办法把不到一格的分别拼起来，一共是9格.但这样就不能用算的办法了.所以我又想到整个地拼：正好能拼成一个长方形.这个长方形的一条边长就是原来直角三角形的一条直角边长，另一条边长是另一条直角边的一半，所以我认为直角三角形的面积=一条直角边长×（另一条直角边长÷2）.
师：任意一个直角三角形都能这样拼切成一个长方形吗？请你在方格纸上画一个直角三角形，剪下来.找到中点，剪开，拼一下，结果如何？
学生操作后纷纷说：可以.
生2：我在这个直角三角形的对面画一个和它一样的三角形，得到的长方形面积是直角三角形的2倍.所以直角三角形的面积=两条直角边的积÷2.
师：生1的公式里为什么要除以2？生2的呢？
生：生1的公式里除以2是因为她变出的长方形其中一边长只有原来的一半了，生2的公式里除以2是因为他变出的长方形的面积是原来直角三角形的2倍.
师：从计算的角度来说，他们的结果是——
生：一样的.
4.小结、板书：直角三角形的面积=直角边长×另一直角边长÷2.
设计意图：1.先研究直角三角形面积计算方法的原因是：（1）从前测看，学生容易自主探知其面积计算方法；（2）将直角三角形转化成长方形的两种主要思路——中位线割补和倍拼法可以直接被借鉴到锐角三角形和钝角三角形的研究中；（3）可以据此把锐角三角形和钝角三角形分割成两个直角三角形从而求出其面积.2.比较“三角形的面积”和“平行四边形的面积”，将未知公式图形转化为已知公式图形的思想是一脉相承的，但具体转化的方法差异很大.倍拼法要求学生主动去构想一个本身并不存在的全等图形，这对一般学生而言是具有挑战性的；而五年级学生并不具有中位线的知识和论证图形全等的知识，中位线割补也不容易完成.所以借助直角三角形的特殊性，借助直观操作，先把这些思路提出来共享，为更多学生的实质性参与服务.
（二）锐角三角形和钝角三角形
1.师：我们接着研究锐角三角形和钝角三角形.前后4个同学商量一下，一组同桌研究锐角三角形，另一组同桌研究钝角三角形.
教师出示需研究的主要问题：
（1）你们把手中的锐角（钝角）三角形转化成了什么图形？
（2）转化后的图形各部分与原三角形之间是什么关系？
（3）锐角（钝角）三角形的面积该怎么计算？
2.学生分组活动，教师巡回指导.
3.交流典型方法.
（1）锐角三角形
组1：（边指图边说）我们把锐角三角形看成两个直角三角形.左边直角三角形的面积=a×h÷2，右边直角三角形的面积=b×h÷2，a×h÷2+b×h÷=（a+b）×h÷2=整条底边长×高÷2.
组2：（边指图边说）我们在锐角三角形外面框了一个长方形.①号面积=②号面积，③号面积=④号面积，所以三角形的面积=长方形面积÷2.长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形的高，三角形的面积=底×高÷2.
组3：我们在锐角三角形对面画了一个一模一样的锐角三角形，得到一个平行四边形.平行四边形的面积=底×高，三角形的面积=底×高÷2.
师：平行四边形的底在哪里？高呢？和三角形的底、高是什么关系？
一个学生结合图指出：平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高.
师：那么求三角形的面积为什么要除以2呢？
生：两个一样的三角形组成一个平行四边形，一个三角形的画积只有平行四边形面积的一半.
组4：我们想用那个过中点割补的办法，但想不清楚，只好把锐角三角形剪了下来.找到中点，画平行线，然后剪开，拼过去，拼成了一个平行四边形（如下图）.（指图说）这个平行四边形的底是三角形的底的一半长，高就是三角形的高，三角形的面积=平行四边形的面积=底÷2×高.
师：都是转化成平行四边形，为什么组3求了平行四边形面积后要除以2，而组4却说三角形的面积就等于平行四边形的面积呢？
一个学生指着图说：组3是用两个完全一样的三角形拼成一个大的平行四边形（师插话：这个平行四边形的底和高——），与三角形完全一样，面积是三角形的2倍；组4是用一个三角形割补成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形底的一半，它的高就是三角形的高，两个图形的面积是一样的.
师：那他们得到的计算方法就和前面几组不一样了——底÷2×高？
生：看起来稍微有点不一样，计算结果是一样的.
师：你比较喜欢哪一种转化的方法？
生：我比较喜欢组3的方法，很简单.
生：我喜欢组1的方法，回到直角三角形.
师：好，不管怎么转化，我们都得到锐角三角形的面积等于——
生：底×高÷2.
（2）钝角三角形
师：哪几组研究了钝角三角形的面积？
组1：我们把钝角三角形看成两个直角三角形面积的差大直角三角形面积=a×h÷2，小直角三角形面积=b×h÷2，a×h÷2-b×h÷2=（a-b）×h÷2=底×高÷2.
师：这个想法跟刚才哪一种研究锐角三角形的方法相似？
生：锐角三角形的第一种.刚才是分成两个直角三角形的面积的和，现在是分成两个直角三角形的面积的差.
组2：我们是在它对面画了一个一样的钝角三角形，得到一个平行四边形……
生：这个方法好像是万能的，两个一样的三角形总是能拼成一个平行四边形.
师：用这种方法得到的底乘高是指谁的面积？为什么要除以2？
生：底乘高就是那个拼出来的（等底等高的）平行四边形的面积，其中有两个一样的三角形，求一个就要除以2.
设计意图：1方格背景的好处在于，它一方面刻画出三角形的量性特征，使学生在研究中有具体的数量可把握，降低研究的抽象性；另一方面，并未规定1格的边长是1厘米，不同层次的学生可以对方格有不同的理解.成绩一般的学生可以默认1格为1平方厘米，而成绩好一点的学生可以接受1格表示1个单位.2.学生在自主活动中，对图形观察和处理的角度不同，形成了多种推导公式的方案，每一个方案都可以看做是对面积公式的一种表征，表征越丰富，理解越丰富.教师适当地介入强化某种思路，或沟通某几种思路，以突出重点.
三、小结计算公式
师：（指板书）好，经过研究我们得到三个公式——
生：直角三角形的两条直角边也就分别是它的底和高，所以只要一个公式：三角形的面积=底×高÷2.
师：底乘高表示什么？为什么要除以2呢？
生：底乘高就是用两个三角形拼成的那个平行四边形的面积，它的面积是三角形的2倍，所以要除以2才是三角形的面积.
生：我觉得除以2也可能表示把三角形转化成了底或高只有原来一半的那么一个平行四边形.其实是底×（高÷2），或者底÷2×高.
四、练习（略）