“七桥问题”与欧拉的非凡思考，本文主要内容关键词为：非凡论文,欧拉论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学产生于人类的生活与生产实践之中，并伴随着人们在解决各种问题的同时不断发展完善起来，因此问题一直是激励数学家们推动数学发展的一种原动力。“哥尼斯堡七桥问题”就是其中的一例，欧拉为解决它而采用直观图形来研究多种组合关系的非凡思考，不仅成功地攻克了这个著名的难题，同时也为一门新的数学分支——图论的诞生奠定了基础。
“七桥问题”产生于18世纪初原东普鲁士的首府哥尼斯堡。哥尼斯堡城中有一条河流，它流经城区，将整个城市自然地分为四个区，即北区、东区、南区和河中的岛区，这四个区由七座桥将它们连通起来（如图）。七座别致的桥群成为一景，一直吸引着众多的游人来此散步、游玩。久而久之在当地居民中便产生了这样一个问题：能不能找到这样一条路线，使得从某区出发，能连续通过七座桥，并且每座桥只通过一次？这就是所谓的“哥尼斯堡七桥问题”。
“七桥问题”从一开始就引起了人们的广泛兴趣，尤其是哥尼斯堡大学的学生们更为热衷，他们与当地的人们一起投入了寻求解答的种种努力之中。然而，很长一段时间过去后，他们面对的只是一次次失败的尝试，以及想把所有可能线路都尝试一遍几乎是不可能的现实。这个看似简单的问题陷入了难以解决的境地。无奈之中他们想到了当时正在俄国圣彼得堡大学任数学教授的欧拉，于是便写信向他求教。欧拉接到信后，敏锐地意识到这个似乎是趣味几何问题的潜在意义，同时也意识到要用通常的方法来解决它是难以奏效的。经过反复认真地思考，欧拉决定舍弃与问题无关紧要的一些因素，只抓住四个区、七座桥，以及这七座桥与四个区之间的联系来转化问题。欧拉运用他那娴熟的变换技巧，把“七桥问题”转化成一个不改变其实质的几何图形问题：把四个区抽象成四个点，七座桥抽象为七条线，并规定两区之间有一座桥，就在对应的两点间连一条线（如图，A、B、C、D分别对应岛区、南区、东区、北区）。于是，是否存在一条无重复地走过七座桥的路线问题，就等价于是否能一笔画出上述几何图形的问题。
接着欧拉考察了一笔画图形的结构特征，发现除起点与终点外，一笔画图中交点处发出的线总是一进一出，均为偶数条。因此可以一笔画的图形中至多只有两个顶点，有可能发出奇数条线。而“七桥问题”对应的几何图形中的四个点发出的线的条数均为奇数，由此断定它不是一笔能够画出的图形。从而与其等价的“七桥问题”也不存在一条可以无重复地走过七座桥的路线。欧拉的方法，令人信服地解决了人们困惑已久的“七桥问题”。1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院提交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。这篇文章被认为是图论的第一篇具有奠基性的论文。
欧拉关于“七桥问题”的工作向人们展示了一个分析解决问题的重要方法，即将实际问题通过数学抽象转化为数学问题，通过对数学问题进行逻辑推理和论证获得结论，然后再把这个结论返回原实际问题，得出实际问题的答案。这就是“数学模型方法”，它已被广泛地应用于解决各种实际问题，并成为从事应用数学的科研工作者必须精通的数学方法之一。