机制转换下考虑通胀的脆弱期权定价
李 钰1，李 娟2，石学芹3,吕会影1
（1.安徽机电职业技术学院公共基础教学部，安徽 芜湖 241000；2.芜湖职业技术学院经济管理学院，安徽芜湖 241000；3.安徽工程大学数理学院，安徽 芜湖 241000）
摘要： 在机制转换框架下研究了带通胀影响的脆弱欧式期权定价模型。首先，使用消费篮子价格方程来折现股票价格和期权卖方资产价格，导出更符合实际市场的动力学方程；其次，对方程中的扩散部分采用Esscher 转换建立相应的等价鞅测度；最后，利用拉普拉斯变换得到了脆弱欧式看涨期权价格的闭型解。
关键词： 最优投资组合；通胀；Esscher变换；随机微分方程
0 引言
Johnson 和Stulz[1]首次将信用风险带入期权定价问题中，并将其称之为脆弱期权。现在在脆弱期权问题的研究中，主要有2种建模方式：结构化模型和约化模型。文献[1]中对于违约风险建立结构化模型，并提出了脆弱期权的定价问题。Hull 和White[2]使用约化模型来研究脆弱期权的定价。Klein[3]扩展了前面的研究成果，假设信用风险与标的资产价值相关，建立了相应的脆弱期权定价公式。在文献[3]的基础上，学者们展开了脆弱期权定价问题的探讨。不用于以往的常值边界，Klein 和Inglis[4]研究了违约边界同时依赖于期权标的资产和期权卖方负债的脆弱期权定价问题。Huang和Liu[5]研究了不完备市场下的脆弱期权定价。Xu等[6]研究了股票价格和期权卖方资产价格均服从跳-扩散过程下的脆弱期权定价方法。Niu和Wang[7]研究了当期权卖方资产价格服从跳-扩散过程，并与标的资产价格相关时的脆弱欧式期权定价。另外机制转换和通胀对期权定价的影响也慢慢受到各方的关注。Fei[8]研究了在通胀和马尔科夫机制转换下的最优消费投资决策问题。
为了导出更有实际意义的脆弱期权定价模型，文中假设标的资产价格和期权卖方资产价格均服从n 维Markov机制转换下带有通胀的动力学过程，在测度变换的基础上通过二维拉普拉斯变换得到欧式脆弱期权的定价公式。
1 模型描述
正如Klein（1996）和其他论文中讨论的，脆弱期权是指含有信用风险的期权，即期权卖方可能在期权到期日违约。因此，脆弱期权的价格是由到期时期权标的资产价格和期权卖方资产价格共同决定的。
假设市场中存在着3 种可交易资产，即1 份无风险资产（国债Bt ）和2 份风险资产（股票价格St 和期权卖方资产价格Vt ），并将市场经济状态建模为一个连续隐马尔科夫过程X ={Xt ;t ≥0}，其有限状态空间为{e 1,e 2,…,eN }，e 1=（0,…,1, …0）T ∈RN （1为第i 个分量）。记X 的生成元矩阵为A ，那么由Elliott（1994）可知，X 的半鞅分解为
其中，M ={Mt ;t ≥0}是一个RN 实值鞅。
1.1 资产定价模型
给定一个完备概率空间（Ω ，F ，P ），T ＞0为终端交易时间，其中P 为真实的概率测度。在测度P 下，本文假设期权标的资产（股票）价格和期权卖方资产价格动力学方程分别为
依据（1）、（2）式，可以将上述等式改写为：
由费为银和李淑娟[9]的研究可知，消费篮子价格动力学方程如下
其中，Gt 表示的是消费篮子价格。
披萨最初流行于18世纪意大利拿坡里的劳动阶层，属于当地人的一道餐点。因为披萨本是穷人食物，一直到近期才有比较完整纪录，因此对于披萨的重大发展所知有限。
其中，Lt =lnGt ，I 、ζ 均为常数，I 表示即期通货膨胀率，ζ 表示通胀波动率，
也为（Ω，F ，P ）上的标准布朗运动。由于通胀与市场经济是息息相关的，所以假定W 1t 、W 2t 和
的相关系数分别为p 13和p 23，即E 
文中将建立考虑通胀的股票价格动力学方程
和期权卖方资产价格动力学方程
，以迎合市场实际情形。利用
公式可得：
各地开展试点工作，应包括自然文明、用水文明、管理文明以及文化文明四个方面的建设内容；其指标体系应以地区自然、人文、经济社会禀赋条件为基础进行设计，并开展水生态文明评价。结合未来区域发展目标，提出符合区域特性的水生态文明建设原则，设计区域水生态文明建设总体方案，以关键技术作为支撑开展区域水生态文明建设工作。
1.2 机制转化下的等价鞅测度
本文将对动力学方程中的扩散部分采用Esscher 转换建立相应的等价鞅测度。首先定义两个过程Z1t 和Z2t ，分别如下所示：
设
分别是由X 和Wis （i =1,2）生成的自然流，定义相应的
为σ-域流，并且假设θ 1t =〈θ 1，Xt 〉和θ 2t =〈θ 2，Xt 〉为 2 个
可测随机变量。从而在上述假设基础上便可以采用机制转换Esscher 变换对扩散过程建立相应的等价鞅测度：
令
，此处
和
均为（Ω，F ，P ）上的标准布朗运动，且2者间的相关系数记为p 12，即
再令
从而相应动力学方程可简写为
使用公式可以很容易证明出ηt 是一个P -鞅，此处不再赘述，并且可得
随着改革开放的不断深入与发展，我国的经济形势也在不断地发生变化，政府会计制度应运而生。较于旧会计制度更加完善与科学，有利于促进行政事业单位各项财务工作的顺利展开，使行政事业单位的会计工作向着更加准确、更加标准与规范的方向发展。政府会计制度的实施符合会计制度发展的必然趋势。当然新旧会计制度的衔接需要一个过程，在这个过程中存在诸多难点，做好新旧会计制度的衔接工作决非易事，所以行政事业单位要对衔接工作中可能存在的难点做好应对措施，积极主动地去推动新旧会计制度的衔接和应用落实工作，我们完全有理由相信，政府会计制度必定能在行政事业单位的财务管理工作中发挥出重大的积极的作用。
从而可以定义出新的概率测度
即
命题1 由Girsanov 定理可知
下的标准布朗运动，且2者之间的相关系数依旧为p 12
通过Girsanov 定理直接计算，可以很轻松证明出上面的命题，此处不再赘述。
无套利“本质”上意味着存在等价鞅测度，在等价鞅测度下，风险资产价格过程是一个鞅。为了在机制转换下对脆弱期权定价，需要确定θit （i =1,2），使得测度
在更大的域流下仍是等价鞅测度，命题2给出了结果。
王丽霞主持筹建了河北省唯一一家食品安全重点实验室、省博士后创新实践基地和省食品安全科普教育基地，使该院成为全省唯一一家同时拥有国家级质检中心、省级科技研发平台及科技人才培养摇篮的单位。她带领全院主持、承担省部级以上科技项目47项，标准制订115项，获省部级科技进步二等奖7项、三等奖10项。出版专著11部，发表学术论文188篇。授权或公开专利14项。作为全院学术带头人，她获河北省科技进步二等奖2项、三等奖2项。主持国家标准制订4项，主持、参与省部级科技项目10项。出版专著6部，发表论文6篇，公开发明专利1项。
命题2 若
是一个等价鞅测度，当且仅当θit （i =1,2）满足以下式：
设计人员还需要对设计过程中的造价管理进行强化，因为市政工程设计是否合理直接影响到市政工程的造价控制，所以设计单位一定要造价控制进行强化，为市政工程施工过程中的造价控制奠定良好的基础。首先，需要保证施工设计方案的完整性和合理性，确保设计方案的最优化，让设计过程中出现不合理的问题，导致工程变更的情况减少；其次，一定要依照投资金额，合理的进行限额设计，在对方确认之后需要依照市政工程施工时的成本控制进行核算，保证施工的过程中施工的费用不能超出投资金额，在后续造价成本控制的过程中提供相应的帮助；最后在设计市政工程的过程中，一定要保证市政工程的经济性，让经济效益提高。
直接求解出命题2中的等式，可得
在上述结论的基础上，可以获得新的动力学方程：
2 脆弱欧式期权定价
定理1 对于任意的α ＞0
＞0且ζ ＞0，引理1中2个拉普拉斯变换之和即为脆弱欧式看涨期权的定价公式。
为了推导出期权定价公式
首先需要计算出信息流
下的条件脆弱欧式看涨期权的价格。记
为过程X 在整个时间区间[0,T ]上第i 个状态中逗留的时间，即
定义
下面开始推导C 1（k ，y ）和
的二维拉普拉斯转换解析表达式，从而可以得到在机制转化下脆弱期权价格C （k ，y ，y～ ）的拉普拉斯转换。
引理1 对于任意的α ＞0
＞0且ζ ＞0，C 1（k ，y ）和C 2（k ，y～ ）的拉普拉斯变换为
证明 直接由Fubini定理可计算出上式结果，具体过程参考文献[7]。
基于上面的分析和计算，可以通过二维拉普拉斯变换给出脆弱欧式看涨期权定价公式。定理1是本文的主要结论。
利用
公式可以得到相应的对数篮子价格：
在本节中将考虑机制转换下脆弱欧式期权定价的问题。在风险中性测度
下，脆弱欧式期权在0时刻的价格C （S ，V ，X ）可以由下面的折现期望给定。
峋四爷走近香炉，点头道：“难怪，的确是好香。既然是香囊里的残香，也没什么可惜的，物尽其用，倒也得其所哉。”
在测度P 下使用伊藤公式可得
证明 在引理1的基础上为了得到脆弱期权价格二维拉普拉斯转换的解析解，需要计算出期望
的表达式。在测度P 下，
2017年8月8日，广东海事局牵头联合交通、水利、环保、旅游、渔业、气象等部门，以及西江流域的肇庆、云浮、佛山、江门、中山、珠海等六地和澳门海事机构，启动了共建“平安西江”行动。经过一年多来的共建，“平安西江”行动取得了阶段性成果，构建“西江水上安全命运共同体”倡议获得广泛共识，政府、企业、社会“三位一体”的水上安全治理架构正不断完善，广东海事局追求的水上安全监管长治久安目标得到进一步实现。
其中，W 1t 和W 2t 均为（Ω ，F ，P ）上的标准布朗运动，股票期望收益率μt 、股票价格波动率σ 1t 以及期权卖方资产价格期望收益率bt 、波动率σ 2t 都依赖于市场经济状态X ，所以将它们定义为
因为Z 0=Y 0，且η 0=1，从而
魔刀松开捏了一把汗的手长出了一口气。“常兄轻松了许多。”魔刀听到大幻剑的传音点头道：“我非自贬，一旦出手无论是天问还是我都会倾力而为，可三少既然首肯，该是想借此将天问大师和紫阳道长收之麾下，而不是一场非死即伤的豪赌。”
另外由Elliott 和Osakwe（2005）可知，在风险中性测度
下，的拉普拉斯变换为
@小哈雷：500万房子中介费挣15万，现在投资500万买房都没有中介一分不花挣得多！还不用贷款、成本、风险！
ω 为RN 中N 维列向量，即ω= （ω 1，ω 2，…，ωN ）T 。
由式(3)、(4)可得：
同理可得
的表达式，此处不再赘述。
式中
可以用来决定（J 1，J 2，…，JN- 1）在
下的联合条件概率密度函数，从而将定理1 中的定价公式可以简化为Elliott 等[10]中欧式看涨期权定价公式。
3 结语
本文讨论了机制转换下考虑通胀的脆弱期权定价。在基础模型中，期权标的资产价格和期权卖方资产价格均考虑了通胀对其的影响。为了更贴合实际，上述2 个过程都满足马尔科夫调制模型。基于上述模型，我们借助简约的等价鞅表示方法，通过二维拉普拉斯变换导出了脆弱欧式期权的闭型解。
数据抽取的实质是对数据源的ETL（Extract-Transform-Load），即数据抽取、转换、加载的过程。FLUDW系统中的数据抽取是通过多个具有特定抽取对象的ETL抽取器来实现的。每个ETL过程可以分为以下3步完成。
参考文献：
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[10]ELLIOTT R J,CHAN L L,SIU T K.Option pricing and Esscher transform under regime switching[J].Annals of Finance,2005,1(4),423-432.
Pricing Vulnerable Options Regarding Inflation under Regime Switching
LI Yu1,LI Juan2,SHI Xueqin3,LÜ Huiying1
(1.Department of Public Basic Courses Teaching,Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering,Wuhu,Anhui 241000,China;2.School of Economics and Management,Wuhu Institute of Technology,Wuhu,Anhui 241000,China;3.School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu,Anhui 241000,China)
Abstract: In this paper, we study the pricing of vulnerable European options under inflation. Firstly, we use the basket price equation to discount the stock price and the asset value of the option seller, and derive more market practical dynamics equations. Secondly, we adopt the Esscher Transform for the diffusion parts of the equations to determine an equivalent martingale measure. Finally, a closed-form solution for prospective vulnerable European options is obtained by using Laplace Transform.
Keywords: optimum investment portfolio;inflation;Esscher transform;stochastic differential equation
中图分类号： F830.91;F224.9
文献标志码： A
文章编号： 1673-1891（2019）02-0063-04
doi： 10.16104/j.issn.1673-1891.2019.02.014
收稿日期： 2019-03-02
基金项目： 安徽省高校自然科学重点研究项目(KJ2017A550)。
作者简介： 李钰（1987— ），女，安徽芜湖人，讲师，硕士，研究方向：金融数学和金融工程。
（责任编辑：蒋召雪）
标签：最优投资组合论文; 通胀论文; Esscher变换论文; 随机微分方程论文; 安徽机电职业技术学院公共基础教学部论文; 芜湖职业技术学院经济管理学院论文; 安徽工程大学数理学院论文;