天津电子信息职业技术学院 300350
摘 要: 正确理解二元函数几个重要概念及其关系是学好高等数学的基础。本文主要介绍二元函数极限、连续、偏导数存在及可微四者之间的关系。
关键词：极限 连续 偏导数
数学概念是数学知识体系的核心部分，是数学推理论证的基础，也是学生学好高数的关键。所以正确理解高数相关概念之间的关系对学生学好高数有很大的帮助。本文主要介绍高数中二元函数中的一些容易混淆的概念之间的关系，即函数极限、连续、可偏导与可微四者之间的关系，旨在帮助学生认清这些概念的本质。
一、二元函数极限与连续的关系 连续极限
性质1：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有极限，反之不成立。
根据二元函数连续性定义可归纳出连续的三个要素：
1.函数f(x,y)在点(x0,y0)有定义。
2.当x→x0，y→y0时，lim f(x,y)=A存在。
3.极限值等于该点函数值，即 lim f(x,y)=A=f(x0,y0)。
因此二元函数在某点连续则极限一定存在，但极限存在不一定连续。
例1：f（x，y）=e sin ，函数在（0，0）没有定义不连续，但 lim e sin =0极限存在。
二、可偏导与连续的关系 偏导数存在连续
性质2：函数在某点可偏导不一定连续，反之函数在某点连续其偏导数也不一定存在。
例2：f（x，y）= x2+y2，显然 lim f（x，y）= lim x2+y2=0=f（0，0）在点（0，0） 连续但
z`x（0，0）=lim
=lim=lim =
因此z`x（0，0）不存在，同理z`y（0，0）不存在，所以函数连续其偏导数不一定存在。
三、可微与连续的关系 可微连续
性质3：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，反之不成立。
证明：由微分定义可知，
lim△z=lim[（f`x（x0，y0）△x+f`y（x0，y0）△y）+o（p）]，
其中p= （△x）2+（△y）2，
得到lim f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）=0，
即有lim f（x，y）=f（x0，y0）函数在该点连续。
因此，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微则在点(x0,y0)处连续。
反之，函数在点(x0,y0)处连续不一定可微，如上例2函数连续但偏导数不存在从而不可微。
四、可微与可偏导的关系
性质4：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可偏导，反之不成立。
证明：函数可微全增量为△z=f（x0+△x，y△+△y）-f（x△,y△）=A△x+B△x+B△y+o（p），
令△y=0得到对x的偏增量，
△xz=f（x0+△x，y0）-f（x0,y0）=A△x+o（|△x|），
因此 =lim=A，
同样可证 =B，因此函数可微偏导数一定存在。
反之，函数可偏导不一定可微，函数偏导数存在但函数不连续；又根据性质2函数可微一定连续即函数不连续一定不可微，因此函数可偏导不一定可微。
那么函数偏导数在什么情况下能使得函数可微呢？
性质5：如果函数z=f(x,y)的偏导数fx与fy在点(x0,y0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微。
证明: 全增量
△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）
=[f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0+△y）]+[f（x0，y0+△y）-f（x0,y0）]
对两个中括号内的式子分别应用一元函数拉格朗日中值定理，得
△z=fx（x0+θ1△x，y0+△y）△x+fy（x0，y0+θ2△y）△y 0<θ1，θ2<1
因为fx与fy在点（x0，y0）处连续，故有
fx（x0+θ1△x，y0+△y）=fx（x0，y0）+α，fy（x0，y0+θ2△y）=fy（x0，y0）+β
其中当△x→0，△y→0时，有α→0，β→0。
因此可以得到△z=fx（x0，y0）△x+fy（x0，y0）△y+α△x+β△y
所以z=f（x,y）在点（x0，y0）处可微。
综上所述，函数在某点有极限、连续、可偏导、可微四者之间的关系可如下图所示：
论文作者:孙海青
论文发表刊物:《教育学》2018年2月总第137期
论文发表时间:2018/5/14
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