例谈树形图在数学解题中的应用，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
树形图是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然科学和社会科学的许多领域都有广泛的应用。如乒乓球单打比赛抽签后，可用树形图来表示相遇情况；学校、机关的组织结构可用树形图表示；计算机算法流程可用树形图表示运行和中断的情况等。高中数学新教材（试验修订本·必修）在第十章排列组合中，便有应用树形图确定不同排法数的应用，二项式定理中有对二项式系数的树形图探讨。在数学解题中，如果能够挖掘题设条件中与树形图有关的因素，利用树形图进行铺路搭桥，有时会收到意想不到的效果。下面例谈树形图在中学数学解题中的应用，供参考。
一、排列组合问题中的应用
例1 甲、乙、丙三人传球，从甲开始传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好传回到甲手中，则不同的传球方式共有(
）种。
A.6
B.8
C.10
D.16
分析 本题结果数字不大，用树形图法，一目了然。
由图1易知，符合题意的传球方式共有10种，故选(C)项。
图1
评析 本题也可用枚举法。树形图的优点是能够直观地把各种结果既无重复，又无遗漏地表示出来，不重、不漏，一目了然。
二、概率问题中的应用
例2 （1992年日本高考题）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是
。从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是
；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是
，出现绿灯的概率是
，试问：
(1)第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
(2)三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？
(3)红、绿灯交替发光的概率是多少？
分析 我们用“
”表示绿灯发光，“
”表示红灯发光。于是不难画出如图2所示的树形图。由图2可知：
图2
(1)第二次出现红灯的概率是
评析 本题也可用分类讨论的方法求解，但画出树形图来计算更加一目了然。图2中每一条路径清楚地表示了三次发光中的一种可能情形。
三、作业工序安排问题中的应用
例3 某工程由A、B、C、D、E、F、G、H、I9个工序组成，由众多的施工队施工，当工序甲只有在工序乙完成后才能开工时，我们称工序乙是工序甲的紧前工序，现这9个工序的关系及所需要工时（天）如表1：
表1 工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I紧前工序 — A
A — C、I
B、C、I
E、F
D
D所需工时 6
2
2
4
4
3
1
2
5
试问该工程至少需要多少天才能完成，并给出工序的安排。（上海市第七届中学生数学知识应用竞赛初赛试题）
分析 给出工序的安排，也就是要正确画出体现工序之间衔接关系的工程网络树形图，求出其关键路线，就可知道整个工程的总工期。
依题意画出工程网络树形图如图3：
图3
由图3易知：①→③→④→⑥→⑦所需时间最长，它表明整个工程的总工期至少为4+5+4+1=14（天）。
很明显，在①→③→④→⑥→⑦这条路线上的工序，若有一个延迟一天，整个工程就要推迟一天，而不在这条路线上的工序对总工期则没有这种直接的影响。
评析 近几年，在京沪中学生数学知识应用竞赛及各地的高考模拟训练中，出现了以工程的工序，工期为题材的所谓“工序网络”问题。利用树形图能清楚地反映工作的先后顺序和相互关系，使管理者对全局有一个完整清晰的了解，因此，学会正确有序地使用树形图。是解决问题的有力工具。
四、最短路径问题中的应用
例4 如图4（甲），有一个正方体的铁丝架，把它的侧棱中点I、J、K、L也用铁丝依次连上。现有一只蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到C点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来。（江苏省初中竞赛题）
图4
分析 设正方体的边长为2，则其一半为1，这样从A点到各点的最短路线长如图4（乙）所示（图中括号标记），再逆向追踪用树形图表示路线如图5：
图5
从而找出从A到G的12条最短路径：
AIEFG,ABJFG,AIJFG,AIEHG,
ADLHG,AILHG,ABCKG,ADCKG,
ADLKG,AILKG,ABJKG,AIJKG.
评析 在数学竞赛和实际问题中常要求找最短路径，这可借助树形图寻找，求解。
学会使用简单的树形图，不仅为我们分析问题开启了新视角，还为我们解决问题开辟了一条崭新的道路，更会有利于提高学生对图形问题的分析能力及高等学校的后续学习。