关键词:数学 代数式 函数 教学
代数式求值基本的思路有两种,一种是将已知转化为未知,从而代入求解;另一种情况是将未知转化为已知,从而代入求解。具体有大致以下四类:
一、直接求值:给出代数式及字母的值,直接代入所求代数式而求值。
如:1、如果b-a=3,ab=5,则ab(b-a)的值是多少?
2、已知a-b=3,a+b=5,则(a+b)(a-b)= 。
3、(2016.河北模拟)若x=,则代数式x2+1的值为多少?
这种情况对于学生来说是相对不难的,直接代入就可求值,这是基础,是由数代替字母的具体实践,也是代数式求值的本质。
二、化简求值,就是给出代数式及字母的值,将代数式化简后,代入字母的值求出代数式的值。
如上面的两种题可以这样变式:
1、如果b-a=3,ab=5,则ab2-a2b和a2b-ab2的值各是多少?
解析:要求ab2-a2b和a2b-ab2的值就是分别将ab2-a2b变式,即提取公因式后即可变式成为第一种类型题的形式即ab(b-a),而a2b-ab2的变式就是ab(a-b),而后再变式为- ab(b-a),即可像上面两种情况直接代入求值。
2、已知a-b=3,a+b=5,则a2-b2= 与b2-a2= 。
解析:a2-b2=(a+b)(a-b),就是平方差公式的逆用;而 b2-a2要变式成为已知,也就是将b-a变式,即b2-a2=(a+b)(b - a)=-(a+b)(a-b),这样就会变成a2-b2的形式。
3、若x=,则代数式x2+4x+4的值为多少?
方法一:将x=直接代入即得x2+4x+4=5,但可能有点计算量大。
方法二:x2+4x+4=(x+2)2,此时将x=代入(x+2)2=5,计算量就少了。也就是完全平方式的逆用,更是代数式求值的变式。
以上三种情况都是将所求的代数式进行变形,从而变成与已知代数式一样进行代数,直接代入可求值,也就是转化成第一种类型就可以求解。这也就是变未知为已知,从而代入求解。
三、代数式变形求值:给出代数式的变形要求及字母的值,化简代数式并代入字母求值。
如下面的题:
1、(2016.六盘水)若a与b互为相反数,c与d互为倒数,则a+b+3cd= 。
解析:∵a与b互为相反数,∴a+b=0,又∵c与d互为倒数,∴cd=1,∴a+b+3cd=0+3×1=3
2、(2016.河北模拟)若a=,b=则代数式= 。
A.2a B.ab C.a2b D.ab2
解析:方法一:由未知变式==×=×()2=ab2
方法二:由已知变式,即由2×9=18可知,ab2=×()2=,从而是得解。
3、(2016.石家庄一模)若a+b=1,b-c=2,则-3a-3c的值为 。
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解析:方法一:从已知变式到未知,即由已知a+b=1,b-c=2,从而将两式相减得a+c=-1,两边都乘以3得3a+3c=-3,再将两边同乘以-1得-3a-3b=3,从而得解。
方法二:从未知变换到已知,由-3a-3c=-3(a+c)=-3(a+b-b+c)=-3[(a+b)-(b-c)],这样就把未知转化成已知,而后将已知的值代入,即-3[(a+b)-(b-c)]=-3(1-2)=3,从而得解。
4、(2016.大庆)若=2,=8,则= 。
解析:方法一:如何得到的值呢?∵=2,=8,将两式两边相乘,∴16=2×8==。这是由已知转化成未知,从面代入得解。
方法二:如何由=2,=8变成呢?∵==2×8=16。这是由未知转化成已知,从而代入得解。
以上四种情况是根据代数式的变形要求或运算要求,最终把已知或未知转化为第一种类型而代入求值,
四、整体代入法求值:给出定值关系式及代数式,将定值关系式变形为代数式的一部分,代入求值。适用的类型:一般为所给的定值关系式与所求代数式中的某项存在倍数关系。基本的解题方法:先通过对已知定值关系式与所求代数式的对比,找出两个式子间共同的部分作为切入点,然后将已知定值关系式整体代入计算求值即可(有的定值关系式需通过已知等式转化而得出结果)。
如:1、(2016.包头)若2x2-3x-1=0,则5-4x2+6x的值为 。
解析:比较已知与未知,可以看到二次项与一次项系数是成倍数关系,即4=2×2,6=2×3。
方法一:即由2x2-3x-1=0变换,两边都乘以2得出4x2-6x-2=0,即4x2-6x=2,两边乘以-1得出-4x2+6x=-2,两边加5得未知,则5-4x2+6x=5+(-4x2+6x)=5-2=3。
方法二:由5-4x2+6x=5-2(2x2-3x)=5-2[(2x2-3x-1)+1]=5-2=3,即可整体代换而求值。
2、(2016.保定清苑区模拟)已知实数a满足-=3,则a2+的值为 。
通过观察已知-=3与未知a2+可知,由a与a2及与你想到什么?是平方差公式吗?但未出现平方差的形式,那么就是这两个数差的平方的完全平方式,这样就能找到解决问题的方式。
方法一:对已知-=3两边平方,即(-)2=32,展开后为a2-2+=9,即可求得a2+=11,就会解决问题了。
方法二:对未知a2+进行变换,即a2+= a2+-2+2=(-)2+2=9+2=11。从而得解。
3、(2016.邯郸邯山区一模)已知x为实数,且,则x2+x的值为
A.0 B.1 C.2 D.2
解析:
方法一:由观察可知,从选项中去选择代入可得x2+x=1。
方法二:将x2+x作为一个整体,按分式方程进行计算就可以得出结果,即(x2+x)2+2(x2+x)-3=0,这样把x2+x当成未知数,从而按一元二次方程来解,得到x2+x等于1或-2,则选B项,这样得解。
由此可知,代数式求解,实质就是代入求值,而代数式的变式求值就是式的变换,即从单项式到多项式的变式,从整式变换到分式的变换,从有理式到无理式的变换,通过这样的变式就会让学生感到代数式求值的简单,也会促进学生从数到式的思维变换,也会更快地完成学习数学的第二次突破,即从数到字母的突破,加快学生第二次数学抽象(第一次抽象是从具体生活之中数到数学中的数的抽象)。
参考文献
[1]求代数式值的方法举隅[J]. 王剑峰.??上海中学数学.?2008(10)
[2]例说一元二次方程在代数式求值题中的三点应用[J]. 李培华.??数理化学习(初中版).?2010(07)
论文作者:王保国
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年18期
论文发表时间:2020/1/15
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