开放题教学在高三数学复习中的尝试与实践，本文主要内容关键词为：数学论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着课改的深入发展和素质教育的全面实施，特别是数学开放题进入课本和高考试题后，数学开放题及其教学日益引起我国数学教育界的注意，逐渐成为数学教学改革的一个热点。在高三数学复习教学中，可根据复习需要适当设计一些不同形式的开放题，进行开放式的复习。这样，既可以避免复习过程形式单一，又可以充分调动学生学习的主动性、自主性和积极性，让学生在研究中深悟知识、建构网络、形成能力。
一、数学开放题的特征
数学开放题是在20世纪70年代出现的一种新题型，是相对传统封闭题而言的，其主要特征是题目的条件不充分或结论不确定。开放题内容深刻、背景新颖，不像封闭性问题那样呆板，单靠记忆、训练、有模式可套。它综合性强，解法灵活。
二、数学开放题的类型
数学命题一般可根据思维形式分成：假设——推理——判断三个部分。按数学命题中的未知要素来分，数学开放题可分成：
1.条件开放题：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一
如：2002年上海高考数学试题中的第10题：设函数f(x)=sin2x，若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是______
这是一道条件开放题。可填
等。
2.结论开放题：即在给定条件下，结论不唯一
如：1999年上海高考题：若四面体各棱长是1或2，但该四面体不是正四面体，则其体积的值是______（只需写一个可能的值）。
这是一道结论开放题。符合条件的四面体有三种，(1)四面体中有三条棱长是1，三条棱长是2；(2)两条棱长是1，四条棱长是2；(3)一条棱长是1，五条棱长是2。求出其中一种体积填入即可。
3.策略开放题：即思维策略与解题方法不唯一
如：2002年北京高考题：关于直角∠AOB在定平面α内的射影有如下判断：(1)可能是0°的角；(2)可能是锐角；(3)可能是直角；(4)可能是钝角；(5)可能是180°的角。其中正确的判断序号是______。（注：把你认为是正确判断的序号都填上）。
这是一道策略开放题。对直角∠AOB所在平面与平面α的各种位置关系进行分析判断可知：(1)(2)(3)(4)(5)均正确。
4.综合开放题：即条件、结论均是开放的
如：1999年全国高考题：“α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断(1)m⊥n，(2)α⊥β，(3)n⊥β，(4)m⊥α。以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。”
这是一道综合开放题。由题意，可组成四个命题，逐一判断，得到答案是“m⊥α，n⊥β，
”或“m⊥n，m⊥α，
”。
三、数学开放题的复习设计
1.设计条件开放题，复习“三基”、深悟知识
高三复习首先要夯实基础，扎扎实实进行基础知识、基本技能、基本方法的教学。通过条件开放题教学，可以把有关概念、性质、公式、法则、定理等串起来，形成完整的知识树。
例如，在复习直线方程时，可设计如下的开放式问题：给出怎样的条件可确定一条直线？
学生一般能探索出：
(1)已知直线l的斜率和l上的一点。
(2)已知直线l上的两点坐标。
(3)已知直线l的斜率和l在y轴上的截距。
(4)已知直线l与某定直线垂直以及垂足的坐标。
(5)已知直线l过一定点，及直线与一定直线的夹角。
(6)已知直线l与某一定直线平行，以及这两直线间的距离。
它将直线的主要特征：点、斜率、截距、两线夹角、点到直线的距离、直线平行与垂直等知识串在一起，既有利于复习直线方程的特征及各类直线方程的旧知识，又深刻领悟了它们之间的内在联系。
2.设计结论开放题，深化知识、建构网络
对于比较重要的知识，可以通过结论开放题教学，将与其有关的分散的知识相互连接，进行专题归纳，达到深化提高、融会贯通之目的。
例如，在复习抛物线的焦点、准线、焦点弦等有关知识时，可设计如下的开放式内容：
通过探索，进一步还可以将“数”的开放转向“形”的开放，提下列问题：
2.在上题中，设抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作准线的垂线，垂足依次为M、N、Q，（如图2）如果允许引辅助线，你能发现哪些结论？
学生通过观察、猜想、推证，可以得到以下结论：
(1)FM⊥FN；(2)AQ⊥BQ；(3)FQ⊥AB；(4)A、O、N三点共线；(5)M、O、B三点共线；(6)以P为圆心、AB为直径的圆与准线相切于Q点；(7)以Q为圆心、MN为直径的圆切AB于F点，等等。
图2
这样让学生从不同角度去探索，从而将知识横向或纵向串成一条线，有利于知识网络的形成，有利于知识的建构。
3.设计策略开放题，培养创新意识与实践能力
加强对学生创新能力及应用能力的培养是高考试题改革的大方向。新的教学大纲已经把解决实际问题的能力与运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力一起作为四大能力之一加以要求。从近几年的高考成绩来看，学生解应用题的整体能力较差，解答题的得分率尤其低。这就要求我们更要加强对应用题的复习。通过策略开放题教学，采用师生互动的方式，可以充分发挥学生的主动性和积极性，提高学生用数学的意识、创新意识及实践能力。
例如，在应用题复习时，可设计如下的开放式问题：用一张长80厘米、宽50厘米的长方形铁皮（如图3），做一只长方形铁皮盒（焊接处的厚度和损耗不计），问这只铁皮盒尽可能大的体积是多少？
图3
绝大多数学生可能采用以下的一种方法：将长方体的四个角都去掉一个小正方形后，围成一个无盖的长方体。
设被去掉的小正方形的边长为x(cm)，则V=4x(25-x)(40-x)（如图4）
图4
通过求导可得：当x=10时，V有最大值18000
接着提出新问题——这个结果是不是问题要求的尽可能大的体积？通过引导，学生发现在上述设计中至少浪费了四个小正方形。
学生经过思考与讨论，可能会出现以下的几种情形：
(1)为了不浪费铁皮，将剪下的四个小正方形剪成小长条焊接到长方体的上口，可以增加体积。
利用面积相等，剪成宽度为
的长方条，可增加体积400，总体积达到达22000
(2)将右侧剪下两个小正方形，将其焊接到左侧的中间，可以构成一个长方体，如（图5）：
图5
此时，V=67.5×25×12.5=21093.75
(3)也可以将上面两个小正方形焊接到下面中间，体积可能更大，如（图6）：
图6
这时，V=30×20×40=24000，
这是一道策略开放题，学生可以根据自身对问题的理解与思考，从不同角度分析结果的合理性，通过相互交流，使学生对应用题问题有了新的更高的认识。
4.设计综合开放题，增强能力、灵活应用
在高三的复习教学中，可适当地设计一些综合开放题，为学生创造性学习提供必要的素材，使学生在对问题的积极探索中，达到对数学知识的灵活运用、增强能力的目的。
例如，在复习函数图象时，可设计如下的开放式问题：如图，已知平面直角坐标系xOy中的三点A(0，2)、B(1，0)、C(-1，0)，（如图7）请你构造一些函数关系式，使其图象经过A、B、C三点；或写出一些曲线的方程，使方程的曲线经过这三点。
图7
1.从二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及分段函数等方面构造，可以有以下常见的函数：
2.从曲线和方程方面展开讨论，可以得到以下常见的曲线方程：
本题的解答有无穷多个，可充分发挥学生的想象力，从不同的角度开展讨论、交流和探索，从而比较全面地复习学过的常见的函数与曲线方程。
四、反思与建议
1.开放式的复习把数学教学活动置于开放的体系中进行，它突破了教师单向的传承，突破了教材的限制，融入了学生的自主探究、合作学习，使学生在复习过程中多了一份感悟、体验的机会，同时也多了一份创造的激情，让学生真正地学会学习、学会总结、学会复习，自然也就提高了复习的成效。
2.现行数学教材与复习资料中的开放性内容较少，如何巧妙地设计出一些开放性问题进行复习是一个难点。
3.为了充分调动学生的学习积极性和参与性，应当给各种不同意见以充分表达的机会，包括让其他学生对所说的不同看法能有一个理解和评价的机会。
4.教师对于有关的问题，事先要做好充分的准备与估计。要预计学生哪些问题能回答，还可能会提出哪些问题，以及教师希望学生回答到什么程度，都要做到心中有数，只有这样才能得心应手地对付课堂上可能发生的情况。