小学数学合情推理的教学研究，本文主要内容关键词为：教学研究论文,小学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 自“跨越断层，走出误区：‘数学课程标准’核心词的实践解读之七——推理能力”发表以来（见《小学数学教师》2014年第7/8期和第9期，以下简称“解读之七”），不断有教师通过各种渠道提出阅读之后生成的新问题.其中，最为集中的问题是：小学数学如何让学生感悟合情推理的局限性？ 这确实是小学数学不能回避的一个问题. 不仅学生认为“举例验证对了，结论就是对的”，连教师也有不少模糊认识.有研究表明，66.7%的教师认为“归纳推理得出的结果一般是正确的”.“更有甚者，22.2%的人认为‘归纳推理得出的结果一定是正确的’.而持正确观念‘归纳推理得出的结果不一定是正确的’却仅有11.1%.”[1] 不完全归纳推理和类比推理统称“合情推理”，又叫做“或然推理”“似真推理”.顾名思义，它们常常看似合情合理，结论好像是、应该是对的，可实际上却可能是错的. 在“解读之七”中，为了说明合情推理的局限性，笔者针对不完全归纳推理、类比推理，各举了一个出错的实例. “已知‘袋里有5个球’，由不完全归纳推知袋里球的颜色.因为摸出第1、2、3个都是红的，所以袋里全是红球.” 有读者评价道：此例只能写给教师看，学生不会“上当”.他们都知道即使摸出3个、4个下结论，还是“猜”，必须5个球全摸出来看，才能肯定袋里是否全是红球. “由长方形面积计算公式类比平行四边形面积计算公式.因为长方形面积=长×宽，平行四边形的底和邻边相当于长方形的长、宽，所以平行四边形面积=底×邻边.” 有教师说，“很少有学生这样类比”.这是因为通常给出了平行四边形的底和高，导致只有一种猜想.如果给学生一张平行四边形纸片，让他们自己测量，就会有学生产生那样的类比. 还有一位教师介绍了自己上公开课的经历.为使课堂上出现不同猜想，引起争论，故意标出平行四边形两条邻边的长度，不画出高.几次试教发现，能否如愿，还要凭“运气”.个别学生甚至是出于“乖巧”，为了迎合教师的需要，才说自己猜想平行四边形的面积是邻边相乘.这可能是学生已有预习的缘故. 回想当初撰写“解读之七”时，感到文章第一部分涉及概念较多，关系较为复杂，为控制这部分的篇幅，尽量选择简单的例子，以期三言两语就能叙述清楚.现在看来，两例虽能解释概念、说明问题，但面对学生、用于教学，不一定都有预期的效果. 有教师认为，教学时为了引出数学知识、解决数学问题才会启发学生合情推理，而且都是朝正确方向引导.所以，除学生胡思乱想，无论是不完全归纳推理还是类比推理，结果都是正确的.由此，希望笔者给出一些能够用于教学的、合情合理推出错误结论的例子. 当然，这样的例子最好不是故意设置的，而是在学习过程中自然产生的.这在中学比较多见.比如，不等式的基本性质，在不等式两边同加减一个数、同乘除一个大于零的数时，可以由等式的基本性质类比推理得出结论；但在两边同乘除一个小于零的数时，结论就出现了变化.在几何中，将平面几何的某些定理推广到立体几何中，出错的可能性就更大了.比如，在二维平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，到了三维空间，这个结论就不成立了. 然而，在小学，要让学生感知合情推理可能导致错误，机会确实比中学少，但也不是没有.只要教师做个有心人，在平时的教学中也能有所发现. 进一步，仅仅让学生发现或看到合情推理可能出错是不够的，还应当引导他们认识错误、走出错误.从而使学生在感悟合情推理具有或然性的同时，获得跳出陷阱、找到正确结论的经历与体验. 再进一步，找到正确结论之后，怎样启发学生确认结论的正确性？这同样是我们应当予以重视、加以研究的问题. 二、怎样引导学生感悟合情推理的或然性 1.类比推理的实例 【例1】由2、5的倍数的特征类比3的倍数的特征. 教学3的倍数特征时，可以先复习2、5的倍数的特征，小结：判断一个数是不是2、5的倍数，只要看个位.然后提问：能否由2、5的倍数的特征，类推3的倍数的特征？为什么？ 由于前面学习时已经连续两次通过观察个位数找到特征，因此探究3的倍数特征时，学生会很自然地继续寻找个位数的特征. 只要让学生依次写出前10个3的倍数3、6、9、12、…、30，或者让他们在百数表上依次圈出3的倍数，学生就都能发现，类比无效.因为3的倍数的个位上从0到9都有可能.也就是说，判断一个数是不是3的倍数，不能只看个位. 这里，有意识地引导学生类比，主要目的是造成认知冲突，促使学生自己排除只看个位的思维定式，进而变换观察角度，去发现新的规律. 例如，在百数表中圈出3的倍数（图1）之后，学生就能发现3的倍数排列成了“斜行”.观察斜行，他们首先发现的规律往往是“十位数依次加1，个位数依次减1”.教师只要追问“什么不变”，就会有学生发现，十位数与个位数的和不变.至此，3的倍数特征就呼之欲出了.
过去，教学3的倍数的特征，是否需要先复习2、5的倍数的特征，常常有两种不同的意见. 一种意见认为不该复习，主要是担心复习产生负迁移.因为寻找3的倍数的特征，不能只注意个位数.为防止学生误入歧途，最有效的教法是提出如下问题：写出3的倍数，把各位上的数相加，看看有什么发现.通常，问题就迎刃而解了. 另一种意见主张复习，理由是有利于学生经历多次猜想、验证的探究过程.即 类比猜想→举例推翻猜想→改变方法→再次猜想→验证猜想→…… 实践表明：前一种教学能够相当顺利地得出结论，效率高，但学生没有获得多少探究的体验；后一种教学比较费时，但能深入展开探究活动，使学生获得更多的数学活动经验. 现在，选择后一种教学处理又增添了两条理由：让学生获得类比可能无效的体验；让学生生成碰壁后改变探究策略的宝贵经验. 有教材修改后，2、5、3的倍数的特征一概利用百数表让学生探究[2]，直观显示效果相当明显： 由2的倍数的特征类推5的倍数的特征，类比正确，2、5的倍数都分布在列上； 由2、5的倍数的特征类推3的倍数的特征，类比无效，3的倍数分布在斜行上. 【例2】由乘法、减法运算性质类比除法运算性质. 判断下面的推理是否正确. （1）因为a×b+a×c=a×（b+c），所以b和c不等于0时，a÷b+a÷c=a÷（b+c）. （2）因为a-b-c=a-（b+c），所以b和c不等于0时，a÷b÷c=a÷（b×c）. 两题都是类比，但结论一对、一错.显然，集中呈现有助于学生初步感知类比推理的或然性. 【例3】骰子点数可能性的类比. 教学综合实践活动“掷一掷”[3]时，为了强化认知冲突，使学生获得较为丰富的类比推理经历，不妨采用如下设计. （1）复习：掷一个骰子的情况. 问：掷一个骰子，朝上点数有哪几种情况？各种情况出现的可能性怎么样？ 学生回答，教师板书：掷一个骰子，朝上点数可以是1、2、3、4、5、6，可能性相等. （2）掷一个骰子的游戏. 问：下面的游戏规则公平吗？为什么？ 掷到1、2、5、6朝上，甲赢；掷到3、4朝上，乙赢. 小结：点数种数多，赢的可能性大. 问：怎样修改规则，使游戏公平？ 由学生完成填空：点数（ ）朝上，甲赢；点数（ ）朝上，乙赢. 交流不同方案，小结共同点：6种点数平分，游戏公平. （3）讨论：掷两个骰子的情况. 问：如果同时掷两个骰子，朝上点数的和有哪几个？（点数和2～12，共11种） 追问：为什么不可能是1、13？ （4）掷两个骰子的游戏. 问：根据掷一个骰子的经验，下面的游戏规则，你选甲还是乙 在□里打“√”. 游戏规则： 和是5、6、7、8、9，甲赢□； 和是2、3、4、10、11、12，乙赢□. 绝大多数学生甚至全班都会选乙.在使用上海版教材的班级里，学生已经学习了两个点数和的分布规律，仍然有很多学生不假思索地在“乙赢”的□里打“√”. 设问：大家的经验可靠吗？ 小组游戏，要求在图上（图2）做好记录：每次的点数和是几，就在几对应的这一列上面涂一个空格.
结果自然是多数小组认为甲赢.为凸显类比在这里出现了问题，教师可逐步完成如下板书：
通过游戏实验，学生往往已能发现：点数和是2、12的可能性很小，点数和是6、7、8的可能性比较大.为证实学生的猜想，教师可以演示计算机模拟实验，如掷两个骰子10000次，得到条形统计图（图3）.
然后研究为什么点数和是7出现的可能性最大.得到： 和是2：1+1 和是3：1+2，2+1 和是4：1+3，3+1，2+2 和是5：1+4，4+1，2+3，3+2 和是6：1+5，5+1，2+4，4+2，3+3 和是7：1+6，6+1，2+5，5+2，3+4，4+3 和是8：2+6，6+2，3+5，5+3，4+4 和是9：3+6，6+3，4+5，5+4 和是10：4+6，6+4，5+5 和是11：5+6，6+5 和是12：6+6 上述游戏（实验）活动，使学生获得了类比推理可能出错的真实体验，同时形成新的猜想，进而通过分析，证明猜想.这对小学数学的学习来说，已是一个相当完整的研究过程了： 类比猜想→实验否定猜想→生成新的猜想→分析确认结论 进一步，还可以让学生课后继续探究：掷三个骰子，点数和是几的可能性最大？实践表明：不少学生能够根据两个骰子点数和“两头低中间高”的分布规律，类比猜想三个骰子点数和是10或11的可能情况最多；其中一部分学生还能通过有序枚举，证实10与11的可能情况相等.这些学生从中获得了非常可贵的类比经验：
可见，这一教学内容具有不可多得的内在优势——不仅学生掉入类比陷阱的概率高，而且有进一步发展的探索空间.我们应当好好加以利用. 2.不完全归纳推理的实例 【例4】“找规律”，从不完全归纳到整体分析. 低年级综合与实践活动“摆一摆，想一想”[4]（图4）.
学生依次用1个●、2个●……摆一摆，填一填.当填到3个●、4个●时，就有学生认为规律已经显现，不用再摆了. 让他们回答：用8个●一共能摆几个数？用9个●呢？ 多数学生会毫不犹豫地递推：8+1，9+1. 至此，归纳推理的结果都是对的. 如果再进一步追问：用10个●一共能摆几个数？用11个●呢？ 几乎所有学生都会掉入归纳陷阱. 当教师要求用10个●摆摆看，有人发现不对了：10个●都用上，是不能摆一位数的，也无法摆出个位是0的两位数.为什么呢？因为数字最大到9，所以10个●不能都摆在一个数位上. 对于学有余力的学生，还可以引导他们自己跳出陷阱.比如，给出右上表，先让学生按已发现的规律填写1至9这几行，然后引导他们继续操作、思考，完成10至18这几行.理解能力强的学生能够想明白，为什么这个活动最多到18个●？因为最大的两位数是99.
这一探究性活动能让低年级学生感受到数学好玩，并使一些学生惊叹数学规律的奇妙.有教师实践该课，小结时一位学生谈自己的收获“数学规律会变，要小心上当”，令听课教师感慨不已.一年级的学生有这样的学习体会，实属不易.但要说感悟不完全归纳的局限性，充其量只是渗透. 【例5】“分数大小的变化”，从不完全归纳到分类讨论. 把分数的分子、分母同时加上一个大于0的数，比较结果与原分数的大小，在○里填上“＞”“＜”或“=”.
观察上面这些例子，请归纳结论：一个分数的分子、分母同时加上一个大于0的数，原分数的大小会发生什么变化？ 再举一些例子，你的结论是否正确？应该怎样修改？ 只看题目提供的三个例子，似乎可以归纳出：一个分数的分子、分母同时加上一个大于0的数，原分数会变大. 如果注意到三个例子都是真分数，那么再举几个假分数的例子，就能发现原分数变大、变小、不变三种情况皆有可能，进而主动作出分类，将起初的结论修改、完善为： 一个分数的分子、分母都加上同一个大于0的数： ①当原分数小于1时，原分数会变大； ②当原分数等于1时，原分数的大小不变； ③当原分数大于1时，原分数会变小. 3.同时存在类比、归纳可能的实例 【例6】长方形周长与面积的关系. 三年级教学长方形面积之后，教材常常会安排习题，让学生探究：面积（周长）相等的长方形，它们的周长（面积）有什么变化规律？比如： （1）下面每个□代表1平方厘米.在方格纸上画出面积是16平方厘米的长方形，你能画几个？算出它们的周长，填入表中.你能发现什么规律？[5]（方格纸与表格略） 一般学生都能发现：面积相等的长方形，长、宽越接近，周长越短；当长、宽相等时，周长最短. （2）用20根火柴围出长方形（包括正方形）.看谁围出的面积最大？[6] 学生同样都能发现：周长相等的长方形，长、宽越接近，面积越大；当长、宽相等时，面积最大. 很少有教材两题同时出现，因为有了两个结论之一，学生都能推出另一结论.这一由此及彼的推理就是类比推理.在这里，都是正确的. 进而，给出如下测试题，分别对应两个版本教材的习题： （1）用24米的篱笆围成长方形菜地（如图5），一面靠墙，长、宽取整米，怎样围面积最大？请你利用下面的表格进行探究，找出最优方案.
答：最优方案的面积是（ ）平方米. （2）用篱笆围成一个面积为36平方米的长方形菜地（如图5），一面靠墙，长、宽取整米，怎样围所用篱笆最短？请你利用右上的表格进行探究，找出最优方案.
答：最优方案的篱笆长（ ）米. 面对变化了的问题情境，在独立思考的测试条件下，学生表现各异. 以第（1）题为例，比较典型的应答是以下三种： 一是不顾问题情境的变化，直接根据已知结论“面积相等的长方形，长、宽相等时周长最短”作出类推：长、宽相等时，面积最大.答案是“最优方案的面积是64平方米”. 二是利用表格，依次列举三种情况，发现长、宽越接近，面积越大，于是归纳推出最优方案的面积是64平方米.
三是利用表格，一一枚举，老老实实填完表格，得到正确答案，即最优方案的面积是72平方米.
几次实测结束后，学生的交流都十分热烈，有人兴奋，有人懊恼.共同的感受是：结果出乎意料，看似合情合理的归纳、类推，没想到会出错，而正确答案又是那样的无可争辩，由此留下深刻记忆. 这个实例，能够同时显现不完全归纳与类比的局限性.但是，出现在三年级下学期，要求偏高，安排在四、五年级比较合适. 三、怎样启发学生确认合情推理的结论 上面给出的六个实例，都能引导学生摆脱困境，找出正确结论.问题是：凭什么确认结论的正确性？ 如果继续采用举例验证的方法，那么还是合情推理，仍然具有或然性.这是小学数学跳不出去的“黑洞”吗？ 审视上面的六个实例，例3、例4和例6，结论已经确认.所采用的方法，不论是否列表，都是根据题设条件作出无遗漏的枚举分析，本质上相当于数学的证明了. 剩下三例，无遗漏地枚举行不通，怎么办？ 最简单的方式是：告诉学生，数学家已经证明了这一结论；或者指出，以后进一步学习数学，你们自己就能证明.这种以不变应万变的策略，其实是实事求是的科学态度. 除此之外，还可以酌情运用科学归纳推理（参见“解读之七”）加以说明. 例1的结论，课本采用提供阅读材料“你知道吗？”的方式启发学生理解其中的算理（图6）：
这样的算理解释，与证明过程是一致的，区别只是没有用字母表示数的一般形式. 例2第（1）题的结论错了，只要举一反例即可.第（2）题的结论是对的，除了举例验证，还可以启发学生借助直观，画图加以说明.比如，取b=4，c=3画图（图7）：
不难理解，b和c取其他大于零的整数，都可以这样图示，也就是说，这种直观解释在b、c为正整数的范围内具有一般性. 也可以局限在能整除的情况下，让学生联系实际自编应用题.比如，72名学生平均分成4队，每队再平均分成3个小组，每个小组有多少人？ 然后通过不同的解法，如72÷4÷3与72÷（4x3）的比较，借助生活经验来理解规律的正确性. 借助几何直观、借助生活经验，是小学数学帮助学生理解数学知识的两种主要手段. 例5所得结论的理解，可以针对学有余力的学生，进一步启发他们举例观察思考：真分数的分子、分母都加上同一个大于0的数，当加上的这个数越来越大时，真分数大小的变化有什么趋势？大于1的假分数呢？答案：两种情况的变化趋势都是越来越接近1.[7] 学生可以通过举例理解变化的趋势.
假分数的结论也能类似举例理解. 从这些例子容易看出，科学归纳推理在小学数学教学中可以有比较广泛的运用.它对因果关系的揭示、解释，因内容而异，比较灵活. 无论选用何种方法，都应当从教学实际出发，抓住契机，基于学生的认知水平，尽可能地启发他们在知其然的基础上，知其所以然.
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