非寿险未决赔款准备金评估的增长曲线模型，本文主要内容关键词为：寿险论文,准备金论文,曲线论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
财产保险合同的一个显著特点是，在保单签订时无法确知它们在未来的实际赔付额，特别是一些长尾业务，如责任保险，赔案经过多年以后才能全部结案，因此，对未来赔款的预测比较困难。造成赔案延迟的原因有可能是因为投保人未能及时报案，也有可能是因为理赔过程中繁杂的司法程序。赔案延迟增大了保险公司对未来赔款预测的不确定性。保险业是经营风险的行业，为了确保其偿付能力的充足性，必须对其未来需要承担的赔款责任进行合理评估，即提取赔款准备金。赔款准备金是财产保险公司的最大负债项目，对公司的稳健经营具有非同寻常的影响。譬如，A.M.Best对1969—2007年之间破产的1023家保险公司进行研究发现，准备金不足是破产主要原因的占比高达38.1%（Coyne，2008）。 财产保险公司的赔款准备金分为两大类：一类是未到期责任准备金；另一类是未决赔款准备金。未到期责任准备金是根据保险合同的未到期期限计算的责任准备金，评估方法比较简单，通常基于保费收入的一个比例进行计算，该比例是保险合同的未到期期限与保险期限之比。未决赔款准备金是指保险事故已经发生但尚未向保险公司提出索赔的案件在未来需要支付的赔款，不确定性很大，通常基于历史索赔数据并应用各种精算和统计模型进行预测。 非寿险准备金评估的方法很多，如链梯法、B-F方法、广义线性模型和贝叶斯方法等。链梯法是最传统的未决赔款准备评估方法，该方法基于已知的累积赔款数据，按照某种比例关系递推计算最终赔款。从最终赔款中减去已付赔款就是未决赔款准备金。链梯法只能给出未决赔款准备金的点估计值，无法得到未决赔款准备金的完整分布信息。从本质上讲，未决赔款准备金是一个随机变量，可以应用分布函数对其进行准确刻画。有鉴于此，准备金评估的随机模型受到关注（Mack，1993；England，2002；Wuthrich，2008）。最近几年，贝叶斯方法在未决赔款准备金评估中的应用也有较快发展（de Alba，2002；2006；2008；Ntzoufras，2002；Verrall，2004；Meyers，2009）。贝叶斯方法可以给出最终赔款的后验分布，从而获得未决赔款准备金的区间估计、VaR和破产概率等各种信息，为保险公司的风险管理提供重要的参考依据。 在传统的准备金评估模型中，通常基于赔款数据在不同事故年和进展年的变化规律对未来的赔款进行预测，使用的解释变量包括事故年和进展年。由于事故年和进展年的水平数可能较多，容易导致过拟合现象发生，降低模型的稳定性和预测能力。为了减少模型的参数个数，可以应用增长曲线描述累积赔款的进展模式（Clark，2003；Guszcza，2008；段白鸽，2013；Zhang，2012），其中，Zhang（2012）使用对数逻辑斯特和威布尔两种增长曲线，并且假设事故年的累积赔款服从对数正态分布，从而有效改进了未决赔款准备金的预测结果。 累积赔款的增长模式多种多样，在所有情况下使用相同的增长曲线有可能导致模型设定错误。此外，累积赔款的分布假设也应基于实际数据进行选取，不应一成不变。有鉴于此，本文在Zhang（2012）的基础上，扩展了增长曲线的选择范围，提供了11种不同的备选曲线，并且假设累积赔款服从逆高斯分布，替换文献中的对数正态分布。因为逆高斯分布属于指数分布族，对其进行尺度变换之后仍然服从逆高斯分布（Kaas，2008；Ohlsson，2010），所以，在描述赔款数据的分布特征方面要优于对数正态分布。 本文最后基于Zhang（2012）的一组实际赔款数据，在累积赔款服从逆高斯分布的假设下，应用逆威布尔增长曲线建立了准备金评估模型。结果表明，新模型有效改进了现有文献中的相关结果。 二、未决赔款准备金评估模型 1.流量三角形 未决赔款准备金的评估过程就是基于已知的赔款数据来预测未来将要发生的赔款，即用表1左上三角形的已知赔款数据来预测右下三角形的未知赔款数据（Friedland，2010；孟生旺，2011）。
未决赔款准备金评估的核心工作就是用已知赔款数据
来预测每个事故年的最终赔款，从最终赔款中减去已付赔款就是未决赔款准备金。 对于一些短尾业务，如车损险和财产保险，每个事故年发生的赔案在进展年J以后将不再有赔款发生，即在进展年J就可以确知该事故年的最终赔款。但对于一些长尾业务，如责任保险或意外伤害保险，由于报案延迟或理赔延迟，在进展年J以后仍然可能发生赔款，即所谓的尾部赔款。对于这类业务，假设在进展年
以后所有赔款将全部结案，并用
表示事故年i的最终赔款。从所有事故年的最终赔款中减去已经支付的赔款，就是未决赔款准备金：
在未决赔款准备金评估实务中，除了流量三角形中包含的信息D之外，还有其他一些信息可以使用，如每个事故年的风险规模也会对最终赔款产生影响。在实务中，第i个事故年的风险规模通常用已赚保费
来衡量。 2.广义线性模型 广义线性模型是准备金评估的常用方法之一（孟生旺，2009），需要使用增量赔款数据
，相应的广义线性模型可以表示为：
广义线性模型假设在进展年J以后所有赔案全部结案，无法考虑尾部进展，因此，比较适合短尾业务的准备金评估。关于广义线性模型在赔款准备金评估中有很多深入研究（De Jong，2008）。 3.增长曲线模型 在流量三角形中，每个事故年在各个进展年的累积赔款数列可以看作是一组相互关联的数据。随着进展年的增加，累积赔款也会逐渐增加，直至最后一个进展年，累积赔款就是该事故年的最终赔款。累积赔款随着进展年逐年增加的过程类似一条增长曲线，因此，可以用增长曲线来描述累积赔款的增长过程（Clark，2003），假设累积赔款
服从下述的增长曲线：
增长曲线的上述特点与分布函数相同，所以，可以用分布函数来近似增长曲线，譬如使用贝塔分布函数作为增长曲线（Meyers，2009），以及使用对数逻辑斯特和威布尔分布函数作为增长曲线（Zhang，2012）。 假设所有事故年具有相同的最终赔付率γ，虽然可以简化模型，但未必合理。Guszcza（2008）和Zhang（2012）在前述的增长曲线模型中，允许不同事故年的赔付率不同，但增长曲线的参数Θ在各个事故年是相同的，从而得到了下述的增长曲线模型：
在增长曲线模型中，进展年的效应通过增长曲线来表示。显然，增长曲线中的参数个数远远小于进展年的个数，所以，与广义线性模型相比，增长曲线模型可以有效减少模型的参数个数。 三、增长曲线模型的扩展 假设累积赔款
的对数服从正态分布，则式的增长曲线模型可以表示为：
Zhang（2012）假设误差项
服从下述的一阶自回归过程：
本文使用贝叶斯方法估计模型参数。建立贝叶斯模型不仅需要选取模型参数的先验分布，还要选取先验分布参数的先验分布，这就形成了所谓的贝叶斯分层结构。模型的贝叶斯分层结构如下：
为了估计上述模型的参数，可以应用MCMC方法模拟参数的后验分布。在前述假设下，参数的联合后验分布与下述表达式成比例，即等于先验分布与似然函数乘积的一个常数倍：
上述模型的参数估计值可以应用OpenBUGS软件中的MCMC方法求得。 考虑到实际赔款进展模式的复杂性和多样性，本文在实证研究中分别使用下述的11种增长曲线来表示累积赔款的变化规律：
容易验证，上述增长曲线都满足G（0；α，β）=0，且当j→∞时，G（j；α，β）→1。从理论上讲，可以构造出无穷多个增长曲线。不过，就本文的目的而言，上述11种增长曲线基本可以满足实际需要。 此外，考虑到逆高斯分布属于指数分布族，更适合描述损失金额数据，所以，对式（6）中的增长曲线模型，可以用逆高斯分布代替现有文献中的对数正态分布。 逆高斯分布的密度函数如下：
逆高斯分布的均值和方差分别为：
如果用逆高斯分布替换前述模型中的对数正态分布，即假设累积赔款
服从逆高斯分布，则式（4）将变为：
上式中，
表示逆高斯分布的均值，误差项
服从式的一阶自回归过程。在逆高斯分布假设下，式（6）变为：
式（7）也可以表示为下述的分层结构：
上式中，IG表示逆高斯分布。各种参数的先验分布与前述的对数正态模型相同，此处不再赘述。 在本文的增长曲线模型中，有11种增长曲线可以自由选择，关于累积赔款的分布假设，也有逆高斯和对数正态之分。一般而言，模型越复杂，对观察数据的拟合就越好，但是，也可能存在过拟合的危险。为了对各种备选模型进行比较，通常使用基于似然函数的模型选择标准，如AIC和BIC等信息准则，它们都含有一个惩罚项来抵消由于参数个数增加带来的影响。在本文的增长曲线模型中，随机效应
的引入使得模型的参数个数是不确定的。如果随机效应的方差较大，该随机效应将为模型贡献一个参数；反之，如果随机效应的方差很小，就可以认为该随机效应不存在。本文应用贝叶斯方法对模型求解，所以，用DIC（Deviance information criterion）进行不同模型之间的比较（Spiegelhalter，2014，2002），其计算公式如下：
在实证研究中，如果表1中流量三角形右下角的数据是已知的，还可以应用模型的预测值与实际值进行比较，计算下述的残差平方和：
四、实际应用 下面应用Zhang（2012）中的雇主责任险数据进行实证研究，该险种主要承保雇员在工作期间遭受意外事故而需要支付的医疗费用和工资补偿，是一个典型的长尾业务。赔款发生在1988—1997年之间，有十年的历史数据，最长的进展年为十年，如表2所示。该数据中所有事故年的赔案都已经进展到了最终赔款，所以，表1左上三角形中的数据可以用于建模，而表1右下三角形中的数据可以用于对模型进行评价。 图1是各个事故年的累积赔款进展曲线，横轴表示进展年，纵轴表示各个事故年的累积赔款，具体数据如表2所示。可以看出，每个事故年的累积赔款增长模式与增长曲线类似，因此，可以用增长曲线来刻画累积赔款的进展模式。图2是各个事故年的累积赔款比率，表示累积赔款在最终赔款中所占的百分比，在第10个进展年末，所有事故年的累积赔款比率均为1。图2表明，各个事故年的累积赔款比率非常接近，因此，可以用一条相同的增长曲线进行描述，从而大大减少模型中的参数个数。如果不考虑尾部进展因子，即假设在第10个进展年末所有赔案全部结案，则最终赔款就是
。如果考虑尾部进展因子，则最终赔款
可以根据已赚保费和期望赔付率进行估计，即
。
如前所述，累积赔款可以用逆高斯分布或对数正态分布进行描述，而在每一种分布假设下，有11种增长曲线可以选择，因此，总共可以建立22个准备金评估模型。将表2上三角形中的累积赔款数据带入模型，并用贝叶斯MCMC方法对模型参数进行估计，可以预测出表2下三角形中的累积赔款数据。本文用OpenBUGS软件进行计算，同时，用三条链迭代运行了20000次。为了确保模拟过程收敛，舍弃了初始的18000次模拟值。这样，模型中的每个参数都会保留6000个模拟值，根据这些模拟值可以对参数进行推断，结果如下页表3和第115页表4所示，它们分别表示累积赔款服从对数正态分布和逆高斯分布假设下的结果。表3和表4中的第1行是11个增长曲线的代码，第2行至第15行是参数的估计值及其标准差，最后5行是对模型结果的比较分析，依次是基于
的未决赔款准备金评估值（R1）及其标准差、基于
的未决赔款准备金评估值（R2）及其标准差、负二倍的对数似然函数值（-2LL）、DIC统计量以及预测值和实际值的残差平方和（E2）。 从表3可以看出，应用对数逻辑斯特增长曲线（LL）的DIC和残差平方和（E2）最小，说明当累积赔款服从对数正态分布时，对数逻辑斯特增长曲线模型的预测效果最好。此外，在对数正态分布假设下，使用逆威布尔（1W）和弹性威布尔（FW）增长曲线的模型也有相对较好的预测效果。 表4给出了累积赔款服从逆高斯分布假设下的结果。从模型的各种评价指标来看，逆高斯分布假设下的结果在总体上要优于对数正态分布假设。在逆高斯分布假设下，使用逆威布尔（IW）增长曲线的模型具有最好的预测效果，它的D1C值和残差平方和（E2）最小。
总之，对于本文使用的实际数据，如果把现有文献中的对数正态分布替换为逆高斯分布，并把对数逻辑斯特增长曲线（LL）替换为逆威布尔（IW）增长曲线，模型的拟合效果会得到明显改善，DIC值从原来的228降低到210，残差平方和从原来的617降低到440，充分说明在准备金评估过程中根据实际数据的特点选择损失分布和增长曲线的重要性。 链梯法和广义线性模型是未决赔款准备金评估的常规方法，它们的缺陷是关于进展年的参数较多，可能导致过拟合或预测结果的稳健性较差等问题。用增长曲线表示每个事故年的累积赔款在各个进展年的增长模式，可以有效减少模型中的参数个数。
在现有文献中，假设累积赔款服从对数正态分布，即把累积赔款进行对数变换以后建立增长曲线模型，而增长曲线使用对数逻辑斯特和威布尔等分布函数。对数变换虽然可以降低累积赔款数据的尖峰厚尾性，但会使得模型的解释性变差，使用不同的数据计量单位，模型的参数会完全不同，这就意味着在不同的货币计量单位下对准备金的评估结果是不同的。 本文把累积赔款的分布假设替换为逆高斯分布，并把增长曲线的选择范围扩充到11种，进一步提高了增长曲线模型的灵活性。基于一组实际数据的研究结果表明，应用逆高斯分布代替对数正态分布，并且选择恰当的增长曲线，即逆威布尔增长曲线，可以明显改进未决赔款准备金评估结果的合理性。
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