“数学思想”面面观（上），本文主要内容关键词为：思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“数学思想”是新一轮数学课程改革的一个明显亮点.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）更将“数学基本思想”作为“四基”之一纳入数学课程目标，进一步增强了人们对“数学思想”的关注.
然而，作为问题的另一方面，我们又应看到：由于《课标（2011年版）》“没有展开阐述‘数学的基本思想’有哪些内涵和外延，这就给研究者留下了讨论的空间，而且由于它过去并没有被充分讨论过，所以可能仁者见仁，智者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法.”（文[1]第14页）.
从一线教师的角度看，当前最为重要的是如何能对所谓的“数学思想”与“数学基本思想”作出清楚说明，特别是，我们究竟应当如何认识以下的问题：第一，数学教学为什么要突出“数学（基本）思想”？显然，这一问题直接关系到“数学（基本）思想”的性质与作用，我们更应联系数学教育的基本目标对此作出具体分析；第二，教学中应如何落实“数学（基本）思想”？当然，这又涉及一个必要前提，即应当更为清楚地指明“数学（基本）思想”的具体内涵.
以下就围绕上述问题对“数学（基本）思想”作出具体分析.
一、“数学思想”的性质与作用
要对“数学思想”给出一个明确定义显然并非易事，但同时这又是一个不应回避的重要问题。以下笔者将通过与诸多相关概念的比较来弄清“数学思想”的性质与作用.
（1）首先采取文化的视角.所谓“文化”是指人们通过在一定社群中的生活与工作逐步养成的生活方式与工作方式，包括更深层面的思维方式与价值观念.显然，从这一角度去分析，“数学思想”就属于“数学文化”的范围.
“后天获得性（实践性）”与“非常识性”是“数学思想”的两个重要属性，后者说明“数学思想”不可能通过日常的生活与工作得以形成，我们可以通过这一角度对“思想”与“素朴信念”作出明确的区分.
（2）关于“数学思想”，人们常常认为应将它与具体的数学知识和技能（以下统称为“数学知识”）加以明确的区分；另外，与“知识”相比，“思想”有更大的“潜在性”和“稳定性（持久性）”，我们可以得出这样一个结论，“数学思想”就是“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西.”（文[2]第5页）
这里所说的“潜在性”和“稳定性（持久性）”事实上也正是针对“数学思想”对人们生活方式与行为方式的重要影响而言的，这种影响往往以一种潜移默化的方式发挥作用，即使是主体本身，往往也缺乏清醒的意识.
上述的分析从一个角度清楚地说明数学教学为什么应当特别重视“数学思想”，这就是指，“数学思想”即可被看成为人们如何看待世界、认识世界提供了一定的概念框架，后者集中体现了一定的认识取向或价值观念，即我们应当关注事物与现象的哪些方面？我们又应如何去发现问题并对此作出恰当的表述？我们又应如何去分析问题和解决问题，包括究竟什么可以被看成问题的适当解决？
也正是从后一角度去分析，我们就可以很好地理解这样一个事实，即除去“数学思想”以外，人们在现实中又会经常使用“数学精神”和“数学（思想）方法”这两个词语.例如，日本著名数学家、数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》中所明确表达的一个思想：“我搞了多年的数学教育，发现：学生在初中、高中等接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了.然而，不管他们是从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终生.这种数学的精神、思想和方法，充满于初等数学、高等数学，在各种教材里大量存在着.如果教师利用数学教科书向学生传授这样的精神、思想和方法，并通过这些精神活动以及数学思想、数学方法的活用，反复地锻炼学生的思维能力，那么，学生从小学、初中到高中的十二年间，通过不同的教材，会成百上千次地接受同一精神、方法、原则的指教与锻炼，所以，纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会常常地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中.”（文[3]序）
综上可见，仅从数学本身的理解与掌握来认识“数学思想”的重要性是不够的，我们还应十分重视“数学思想”的普遍意义.
（3）就目前所见到的各种关于《课标（2011年版）》的解读中，这也是一个普遍的论点，即人们往往依据层次的划分来对“数学基本思想”与“数学思想”以及“数学（思想）方法”的区分作出说明.
例如，“数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想.……当然，由上述数学的‘基本思想’演变、派生、发展出来的数学思想还有很多.例如由‘数学抽象的思想’派生出来的有：分类的思想，集合的思想，‘变中有不变’的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等.例如由‘数学推理的思想’派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等.例如由‘数学建模的思想’派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等.例如由‘数学审美的思想’派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，‘透过现象看本质’的思想，等等.”又，“在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了‘数学方法’.数学方法也是具有层次的.……数学方法不同于数学思想.‘数学思想’往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而‘数学方法’往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的.数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想.”（文[1]第15页）
从对照的角度去分析，我们自然就可提出这样一个问题：对于这里所说的“数学基本思想”“数学思想”与“数学方法”是否就可大致地等同于米山国藏所说的“数学的精神、思想与方法”？进而，如果答案是肯定的，什么又是这里所说的“数学基本思想”或“数学精神”的主要内涵？这两者与一般性的“数学思想”有什么不同？什么又是“数学思想”与“数学方法”的区别？
笔者认为，按照通常的理解，“精神”与“思想”相比，前者的确可以被认为上升到了一个更高的层面，而且人们对于“精神”，往往也表现出了更大的自觉性，即代表了一种自觉的追求；与此相对照，尽管主体所已形成的“思想”对其工作与生活也具有十分重要的影响，但这往往又是以一种潜移默化的方式发挥影响的，从而即使其本人对此往往也不具有清醒的自我意识.另外，这或许也可被看成“思想”与“（思想）方法”的一个主要区别，对于后者人们往往也具有一种较强的自觉意识，即如何能够成功地对此加以应用.例如，在笔者看来，后者事实上正是上述关于“数学方法”的“操作性”与“具体性”（这并与“数学思想”的“观念性”和“内在性”构成了直接的对立）的一个主要含义.（待续）