刘晓敏[1]2015年在《叁类拟线性椭圆型方程（组）解的存在性、多重性与渐近性研究》文中认为本文主要研究了拟线性椭圆型方程(组)正解的存在性、多重性与渐近性.第一章运用Krasnoselskii不动点定理研究了拟线性椭圆型问题正径向解的存在性与渐近性.其中实参数λ>0,非线性项h是非负径向函数,且在无穷远处满足超线性局部增长.第二章研究了拟线性椭圆边值问题正径向解的存在性与多重性.其中(0,∞)是连续函数且满足第叁章利用上下解方法研究了一类拟线性椭圆型方程组正解的存在性.其中Ω (?) RN是有界光滑区域,p,q>1，实参数入>0, bi≠0(i= 1,2). Mi:R0+→R+(i=1,2)是连续递增函数,f(s,t),g(s,t)是单调函数且满足偏导数fs(s, t), ft(s, t), gs(s,t), gt(s,t)> 0,f(0,0)<0, g(0,0)<0.
辛奎东, 陈才生[2]2013年在《一类拟线性椭圆方程组正弱解的存在性和不存在性》文中进行了进一步梳理本文研究了一类拟线性椭圆方程组在有界区域上的边值问题的正弱解的存在性和不存在性.利用方程组的特征值和特征函数分别构造了弱上解和弱下解,通过比较原理证明了弱下解小于弱上解,用上下解方法得到了正弱解的存在性.最后,用反证法证明了正弱解的不存在性,并给出了正弱解的不存在性条件.
李砚书[3]2007年在《变分原理在椭圆型方程中的应用》文中研究指明目前，物理学、生物化学等学科的实际问题均可以通过方程来研究．因此本文选取了两个具有实际意义的椭圆型方程：利用变分原理来研究它们具有无穷多个广义解．对于方程(1-1)中的函数f(x，u)不满足Palais-Smale条件，因此不能运用传统的方法证明方程解的存在性．本文使其满足较弱的Cerami限制条件，通过临界点理论中对称形式的山路引理得到了方程具有无穷多个广义解．对于方程(1-2)，形式更为复杂也更具有研究价值．当函数满足经典的Palais-Smale条件时，得到方程同样具有无穷多个广义解．本文通过两种不同方法研究了两个相似的椭圆型方程的多解性，为其它相近学科研究这两类方程提供了不同的理论依据．最后，本文以非线性量子力学和毛细现象中的两个方程为例，将所研究的理论应用于实际．
张晶[4]2012年在《几类具有跳跃非线性项的椭圆型方程解的存在性和多重性》文中提出跳跃非线性问题源于物理学中光波和电磁波的研究,反映了振荡和共振现象,在物理学和经济学等领域都有广泛应用.正因如此,使之成为研究者广泛关注和重视的课题之一.目前,对于此类问题的研究已有大量结果,然而,大部分跳跃非线性问题局限于研究非线性项渐近极限与特征值之间的关系,与更广义的谱-Fucík谱曲线的关系更能说明实际现象.所以,考虑非线性项的渐近极限落在Fucík谱区域中的问题可以有助于人们更深入理解实际现象,具有极为重要的实际意义.在本文中,主要以Fucík谱理论为背景,基于非线性泛函分析的基本理论,利用非线性项渐近极限与Fucík谱曲线的相交关系,综合运用上下解方法、临界点理论、拓扑度理论、序区间上的山路定理,研究了以下四类跳跃非线性问题的解:1.对一类具有跳跃非线性项和Neumann边值条件的Laplace方程解的研究.考虑非线性项的渐近极限落在由Laplace算子Fucík谱曲线所构成的Il(l>2)型和II_l(l≥1)型区域中的情况.首先,选取由两对严格常数上下解构成的序区间,利用截断函数技巧,序区间上的山路定理,得到至少一个山路型临界点的存在性.注意此时无法确定山路解是否是常数解,利用Fucík谱集中临界群计算结果克服了这个困难,证明了山路解的非常数性.然后,通过计算Morse指数并结合拓扑度理论,在选取的序区间上得到至少两个非常数解的存在性.最后,通过拓扑度理论和上下解迭代方法,得到了变号解的多重性;利用山路定理得到了一列能量值趋于负无穷的临界点.2.对一类具有跳跃非线性项和Robin边值条件的Laplace方程解的研究.首先,基于方程存在一个正上解和一个负下解的条件,通过序区间上的山路定理和临界点理论,得到一个非平凡临界点,并结合拓扑度理论,得到了至少四个非平凡解的存在性.由于边值条件是Robin边值,无法构造多个不连续序区间,为了克服这个局限性,最后,通过半序区间上的山路定理(上解情况),得到了相应振荡方程非平凡解的多重性.3.对一类具有跳跃非线性项和Dirichlet边值条件的拟线性问题解的研究.由于p-Laplace算子较之Laplace算子具有更复杂的非线性性质. p-Laplace算子于空间W_0(1-p_(Ω)中的谱及其性质，目前人们了解的还不太多.为了克服算子谱的局限性,利用Z_2-上同调指数所构造的谱序列{λ_k}_k≥1,考虑其系数λ_k<a, b <λ_(k+1),即落在两个连续特征值之间的情况.通过构造上同调局部分裂区域,基于上同调局部分裂定理并结合变分法,得到该问题及其抽象背景下该问题至少一个非平凡解的存在性.4.对一类具有跳跃非线性项的p-Laplace方程解的研究.在这部分中,主要基于p-Laplace算子Fucík谱理论,利用上面类似的方法分别在Neumann边值和Robin边值情况下,证明了该问题非平凡解和变号解的存在性和多重性.这对于具有跳跃非线性项p-Laplace方程解的问题是一个较新的结论.
李菁菁[5]2018年在《一类拟线性抛物系统解的存在唯一性和渐近行为》文中指出本文讨论的是生物数学中基于偏微分方程的拟线性抛物系统,该系统中的反应函数是经典的Rosenzweig-Macarthur型。在该系统中,我们考虑非匀质的扩散系数,即受时间和空间影响,边界条件包含了 Dirichlet,Neumann,Robin叁类边界条件。我们重点考察该系统的解的存在唯一性以及渐近行为。主要内容如下:第一章介绍了本文研究的背景、意义,以及本文所研究的模型的来源。第二章主要讨论了一类拟线性抛物系统,该系统是拟线性抛物型Rosenzweig-Macarthur模型,我们采用上下解方法,证明了解的存在性和唯一性。证明过程中首先定义系统的上下解,然后通过变换处理系统的非线性项,接着通过迭代得到系统上下解的单调序列,最后通过证明上解单调递减,下解单调递增收敛至同一个解得到了系统解的存在性和唯一性。第叁章主要讨论了与这类拟线性抛物系统相对应的椭圆系统的稳态解,依旧运用上下解方法,首先通过对应的特征值问题构造一对椭圆系统的上下解,由这组上下解作为初始值进行迭代得到上解单调递减序列和下解单调递增序列,上解序列收敛到椭圆系统的最大解,下解序列收敛到最小解,通过证明最大解等于最小解得到这个椭圆系统的稳态解。第四章探讨了拟线性抛物系统的解的渐近行为。我们首先证明了该系统的上解和下解分别关于时间单调递减和单调递增,当时间趋于无穷大时,上解单调递减收敛到对应椭圆系统的最大解,下解单调递增收敛到对应椭圆系统的最小解,然后证明抛物系统的解落在椭圆系统的最小解和最大解之间。利用上一章的结论得到该抛物系统的解收敛到椭圆系统的稳态解。通过以上讨论,我们采用上下解方法并借助对应的椭圆系统证明了这类拟线性抛物系统的解的存在唯一性和渐近行为。
杨国英[6]2006年在《几类拟线性椭圆型方程组的正解》文中认为本文讨论几类拟线性椭圆型方程组正解的存在性，多解性和不存在性，我们在第二章研究p-Laplacian方程组的径向正解的存在性，其主要方法是细致的先验估计和拓扑度理论，并用两次同伦映射将问题简单化。 在第叁章中，我们考虑带有齐次Dirichlet边界条件的拟线性椭圆型方程组在不同参数范围内正解的存在性，多解性和不存在性，由于该问题具有变分结构，因此我们用变分方法来研究解的存在性，然而，当函数a(x)，b(x)，c(x)变号时，方程组对应的欧拉泛函在空间W_0~(1，P)(Ω)×W_0~(1，q)(Ω)中无下界，这给我们直接用变分方法在空间W_0~(1，P)(Ω)×W_0~(1，q)(Ω)中找解带来了困难。但是，我们可以证明欧拉泛函在合适的集合S中有下界，因此在该集合中利用变分方法寻找泛函的极小(如果存在)就可以得到原问题的解。在此结论的基础上，我们细致地刻画了纤维映射和集合S(分析知，原问题的解一定落在某个集合S中)以及和它的子集的关系，研究了当参数λ，μ变化时，集合S以及它的子集的结构和变化情况，从而给出正解的存在性，多解性和不存在性。 在第四章中，我们讨论带有齐次Neumann边界条件的拟线性椭圆型方程组(方程和第叁章的一样，边界条件不同)，研究了正解的存在性和多解性。相对于上一章，我们得到的原问题正解的存在范围更广。在这一章最后，我们讨论的特殊情况，也得到了正解的存在性，这在以前的工作中很少见到。 最后，我们考虑一个源于生态学的拟线性椭圆型方程组的齐次Dirichlet边值问题，利用了参考文献[9]的解藕技巧和方法，巧妙地将方程组化为单个方程，获得了正解的分支结构，并利用分支理论和解的先验估计得到了正解的存在范围。特别地，我们讨论了p=q时的特殊情况，给出了正解的不存在性，存在性和解的结构.
肖奇山[7]2006年在《一类拟线性椭圆型方程正解的存在性》文中认为本论文旨在应用拓扑度的方法研究如下:的正解问题。(其中是一类p(x)-Laplacian方程,Ω是R~N中的具有光滑边界的有界区域, 众所周知,对R~N中的P-Laplacian方程解的存在性问题的解决,国内外已有较多文献研究过此类问题。如[2][4][5]但多用山路引理(Mountain pass theorem),临界点理论(Critical point theory),强极值原理(Strong maximum principle)和Morsc theory. 首先在第二章利用拓扑度的方法研究如下拟椭圆方程正解的存在性问题,其中是p-Laplacian,Ω为在R~n中具有适当光滑边界(?)Ω的有界区域。(N>p) 第叁章为了进一步讨论的需要,先研究了如下形式的p(x)-Laplacian方程的强极大值原理,这个结果推广了兰州大学范先令教授讨论的右端项为零的情形,使之更具一般性。 第四章利用拓扑度的方法研究上述P(x)-Laplacian方程的正解的存在性,我们发现利用拓扑度的方法较之别的方法更为有效。
胥成林[8]2003年在《一类拟线性椭圆特征值问题解的存在性》文中研究说明本文应用文献[3]的方法，在一个推广的Landsman-Lazer条件下，通过形变引理，利用逼近方法得到了如下的二阶椭圆方程：的解的存在性结果，其中Ω为R~N中的有界光滑区域，M≥1，1＜p＜N；Δ_pu=div(|▽u|~(P-2)▽u)称为p-laplacian，g∈C(R，R)，h∈L~(p′)(1／p+1／p′=1)，λ＞0是一个参变量，且λ可取到-Δ_p在W_0~(1，p)(Ω)上的特征值λ_k。
万保成, 李健, 王增辉[9]2013年在《一类拟线性椭圆方程非平凡解的存在性》文中提出研究了一类拟线性椭圆方程非平凡解的存在性.利用非线性项在零点处与无穷远处的渐近性态,应用山路定理得到新的存在性结果.
章国庆[10]2005年在《变分法及其在非线性微分差分方程（组）中的应用》文中研究指明数学、物理学、化学、生态学及经济学等学科产生的非线性微分差分问题,正日益引起人们的重视。目前,已有许多学者对非线性微分差分问题解的存在性与多重性利用不同的方法进行了深入和广泛的研究,这些方法主要有变分法、拓扑度法、单调迭代法与Kaplan-Yorke耦合系统法等。 本文主要利用变分法,分别研究了有界区域和全空间上拟线性椭圆型方程组、二维空间上半线性椭圆型方程(组)和二阶非线性差分方程(组)问题的解与多重解的存在性,具体内容如下: 1.建立了一个抽象的紧性定理,然后借此定理证明了对应于一类拟线性椭圆型方程组的泛函在比Boccardo和De.Figueiredo(2002)的条件更弱的条件下满足(C)条件,并利用山路引理证明了这类拟线性椭圆型方程组非平凡解的存在性,最后举出两个例子验证了文中所给条件的确比Boccardo和De.Figueiredo(2002)的条件弱。 2.讨论了在有界区域上一类含参数拟线性椭圆型方程组的Nehari流形,并利用Nehari流形的性质证明了该方程组存在非平凡解,且利用Picone恒等式,证明了解的不存在性,从而得到了其整体分支结论。 3.讨论了在全空间上拟线性椭圆型方程组的非平凡解的存在性。首先,利用上—下解方法考虑了一类含参数的拟线性椭圆型方程组,应用山路引理得到了该方程组存在非负上解,再利用Leray-Schauder不动点定理证明了其非平凡非负解的存在性;其次,研究了全空间上一类共振椭圆型方程组非平凡解的存在性,利用一种变形的山路引理,在一定条件下证明了该方程组非平凡解的存在性,所获结论改进了已有文献中相关结果。 4.在二维空间上考虑了半线性椭圆型方程(组)解的存在性。首先,讨论了R~2中一类带不定权且含临界位势的二阶椭圆型方程的特征值问题,并借此特征值问题的第一特征值性质,利用山路引理及Trudinger-Moser不等式,证明了R~2中一类带不定权且含临界位势的非线性椭圆型方程非平凡解的存在性;其次,利用广义环绕定理,Trudinger-Moser不等式及集中列紧原理,得到了R~2上一类具有强不定部分的半线性椭圆型方程组在非线性项分别为次临界增长和临界增长情形下非平凡解的存在性。 5.利用Ricceri建立的叁临界点定理,证明了一类含参数二阶差分方程在某些新的条件下至少存在叁个解;随后,利用临界点理论中的极小极大原理和环绕定理,讨论了一类二阶超线性差分方程组多重解的存在性。 6.给出了变分法在物理学中的两个应用。首先,讨论了非线性光学中的二次谐波产生的耦合方程组,利用变分法证明了耦合方程组非平凡解的存在性,然后进行了数值模拟,实验结果表明文中方法比经典的非线性光学中的方法有较大的改进,这对优化光倍频器件的设计将有所帮助;其次,将一类二阶半线性椭圆型方程组转化为一个变分问题,然后利用变分法和
参考文献：
[1]. 叁类拟线性椭圆型方程（组）解的存在性、多重性与渐近性研究[D]. 刘晓敏. 南京师范大学. 2015
[2]. 一类拟线性椭圆方程组正弱解的存在性和不存在性[J]. 辛奎东, 陈才生. 工程数学学报. 2013
[3]. 变分原理在椭圆型方程中的应用[D]. 李砚书. 哈尔滨工程大学. 2007
[4]. 几类具有跳跃非线性项的椭圆型方程解的存在性和多重性[D]. 张晶. 哈尔滨工业大学. 2012
[5]. 一类拟线性抛物系统解的存在唯一性和渐近行为[D]. 李菁菁. 扬州大学. 2018
[6]. 几类拟线性椭圆型方程组的正解[D]. 杨国英. 东南大学. 2006
[7]. 一类拟线性椭圆型方程正解的存在性[D]. 肖奇山. 福州大学. 2006
[8]. 一类拟线性椭圆特征值问题解的存在性[D]. 胥成林. 云南师范大学. 2003
[9]. 一类拟线性椭圆方程非平凡解的存在性[J]. 万保成, 李健, 王增辉. 东北师大学报(自然科学版). 2013
[10]. 变分法及其在非线性微分差分方程（组）中的应用[D]. 章国庆. 西安电子科技大学. 2005