形相似 质相异——干涉示意图与电偶极子等势线图的辨析，本文主要内容关键词为：相异论文,偶极子论文,形相论文,线图论文,示意图论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、波的干涉示意图
在学习波的干涉时，高中《物理》（必修加选修）第二册第56面中有一幅“波的干涉的示意图”，用以说明频率相同的两列波叠加时，某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，且振动加强的区域和振动减弱的区域相互间隔（如图1所示）。在图1中，我们看到，在相干波源
的中垂线上，各点到两波源的距离相等，振动都得到加强；而在其他位置，加强或减弱区的形状就不再是直线而是曲线，如果沿方向建立x轴，沿中垂线方向建立y轴，则这些曲线关于x轴和y轴都是对称的。
图1 波的干涉示意图
二、电偶极子等势线图
在学习等势线的概念后，有“用描迹法画出电场中平面上的等势线”的实验。在说明实验的操作方法时，教材中第257面也有一幅插图（如图2所示），图中给出了用恒定电流的电场模拟等量异种点电荷的静电场时等势线的大致分布情况。从图中可看出：A、B两电极连线的中垂线是一条等势线，而在其他区域，等势线的形状则是曲线。如果沿AB方向建立x轴，沿AB中垂线方向建立y轴，这些曲线似乎是关于x轴和y轴对称。由此，上述两个图象很相似，那么两者是否有一致的分布规律呢？
图2 电偶极子等势线图
三、波的干涉示意图的数学分析
当△=nλ(n=0,1,2……)时，振动加强；当△= (2n+1)λ／2(n=0,1,2……)时，振动减弱。
振动加强的情况分析：
(1)当△=0时，P点轨迹应为的中垂线，与y轴重合；
(2)当△ ＜2c时，由数学知识“平面内与两定点距离之差的绝对值等于常数的点，其轨迹叫做双曲线”可知，此时动点P的轨迹应为一族双曲线，两波源为双曲线的焦点。若△=nλ，则双曲线方程为
在n取不同值时，可得不同的双曲线。n较大，则双曲线顶点与两波源较近。
(3)当△=2c时，双曲线退化为两条分别以为端点的射线。
(4)当△＞2c时，由几何知识“三角形任意两边之差不小于第三边”可知此时轨迹不存在。
△=(2n+1)λ／2(n=0,1,2……)时，振动减弱的情况与上述情况类似。
由此，我们可以得到结论：
a.在发生干涉时，振动加强或减弱点的轨迹应有三种可能：直线、双曲线、射线；
b.轨迹的条数是有限的。如间距离为4λ，根据上述分析可知振动加强点的轨迹共有9条，其中△=0时为一条直线，当△分别为λ、2λ、3λ时各有两条双曲线，△=4λ时则有两条射线；振动减弱点的轨迹共有8条双曲线，分别对应于△大小为
的情况。
c.干涉不局限于二维平面时，上述轨迹应为平面或一族双曲面。
四、电偶极子等势线图的数学分析
由于电场遵从迭加原理，不难推得若干个电场同时存在于同一空间，其在空间的任意一点产生的电势为各个电场在该点电势的总和。用公式可表示为：
。由于电势是标量，上式遵从代数加法原则。这样，在等量异种点电荷所形成的电场中，若某点P的电势为
，则P点应满足
对上式用初等数学的方法想得到像双曲线那样的标准方程是不可能的，而且很难从最终的表达式中看出P点轨迹所遵循的规律。为使计算简化，此处只对电偶极子作出分析。所谓电偶极子，是指两个相距极近且带等量而异号的点电荷所组成的系统。由图4可知，当r＞＞l时可作如下近似，即
可见，电偶极子的等势线不是双曲线。当取不同的定值时，可以得到不同的曲线。曲线族的形状如图5所示，而图6是教材第131面给出的“等量异种点电荷的等势面”。两者比较，基本相同。
综上所述，对等量异种点电荷电场的等势线，我们可得出下述结论：
(1)除中垂线外，其余等势线都为封闭的曲线，有人称为Appolonius圆周。这些圆周的形状关于过两电荷的直线对称。在“等势线的描绘”这一实验中，由于实验原理及器材的限制，使得两电极外侧的等势线难以完整准确地画出，需要对学生作必要的提醒。
(2)由于等势线间的差值可以是任意的，所以若差值取得较小，则等势线的条数就可较多；
(3)若不仅仅在平面内考虑，则除中垂面外，其余等势点构成一族曲面。
五、结论
尽管波的干涉示意图和电偶极子等势线图很相似，但是两者具有不同的分布规律。