把握应用题教学脉络，降低应用题教学难度，本文主要内容关键词为：应用题论文,脉络论文,难度论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
小学六年级数学的数与代数领域的核心内容为分数（百分数）乘除法应用题。由于百分数应用题可以相应的转化为分数应用题，其解题思路是一致的，因而分数乘除法应用题的教学就成了重中之重。
解答分数乘除法应用题，一般有以下步骤：第一，读题并找出单位“1”的量；第二，找出题目中的等量关系；第三，列式或列方程计算；第四，检验并写出答语。在教学中我们会强调找准单位“1”的量、分析数量关系的重要性，并明确当单位“1”已知时，用单位“1”的量×对应分率＝要求的比较量，而当单位“1”未知时，用比较量÷对应分率＝单位“1”的量（或列方程解答）。
虽然经过大量的分析和计算训练，但是学生仍然会经常出错。对他们来说，小学阶段的应用题中，最难以理解和掌握的就是分数乘除法应用题，因为这类应用题的分析、解答方法与以前所学应用题截然不同，因而难以接受，在解题时只能凭借“感觉”去猜测。究其原因，还是解答分数乘除法应用题时“不得要领”，没有完全理解。
面对这种情况，怎样才能帮助学生更好地理解并熟练掌握分数乘除法应用题的分析、解答方法，从而化解小学阶段应用题教学中的最大一块“顽石”呢？
二、追根求源
小学阶段应用题中所涉及的各种数量关系，究其根源，都可以归结为差比关系和商比关系这两大类，其中差比关系包括两个数量之间相比较的相差关系和整体与部分之间的部总关系，涉及加减法运算，其应用题形式表现为加减法应用题；而商比关系包括两个数量之间相比较的倍数关系和总量与每份量之间的份总关系，涉及乘除法运算，其应用题形式表现为乘除法应用题。
如果从应用题中所涉及的数的范围来看，小学阶段的应用题又可分为整数应用题、小数应用题、分数和百分数应用题。
小学一二年级就开始全面学习整数应用题，帮助学生分析、理解并熟练解答相应的差比关系和商比关系应用题，而三四年级则将整数应用题的练习进一步强化。至此，学生对整数应用题中的差比和商比关系已形成了一个完整的解题思路，建构起一整套知识体系。
到了五年级第一学期，学习了小数四则运算之后，教材中并没有正式出现相应的小数应用题的例题，而是把这些小数应用题放在练习题中由学生独立解答。由于小数应用题与整数应用题的数量关系完全一致，而只是数的范围由整数扩展到了小数，学生完全可以凭借原先掌握的解答整数应用题的方法，轻松地完成小数应用题，所以这类应用题对他们来说没有任何困难。
在五年级第二学期学习了分数加减法后，教材中随即出现了相应的差比关系的分数应用题，对于这些题目同样无需教师着力讲解，可以放手让学生独立解答，同样也不存在任何困难。
然而到六年级学习商比关系的分数应用题时，情况却有了很大的变化。比如教材中有以下四道例题（例题的顺序已作调整）：
例1：做一朵绸花用
米绸带，小芳做3朵这样的绸花，一共用几分之几米绸带？
例2：4米绸带，每
米剪一段，可以剪成多少段？
例3：黄花有50朵，红花比黄花多
，红花比黄花多多少朵？
例4：小瓶果汁有600毫升，小瓶里的果汁是大瓶的，大瓶果汁有多少毫升？
对于上面的例1和例2，教材一般通过应用题引出分数乘除法的计算教学，而应用题的分析、理解则没有任何难度。而对于例3和例4这类涉及“分率”和单位“1”的分数应用题，就需要教师重点讲解应用题的分析方法，通过线段图帮助理解。尽管如此，学生在理解上还是存在相当大的困难，分析理解时错误时有发生。同样是商比关系的分数应用题，差别为何如此之大？
教育心理学的同化理论告诉我们，学生在学习新知识时，如果其原有认知结构中有相应的旧知识能与所学的新知识发生联系，就能很快地把新知识纳入到原有的认知结构中去，从而理解、掌握新知识；如果在原有的认知结构中找不到可以同化新知识的“生长点”，那么理解、掌握新知识将会比较困难。
对于差比关系的应用题，在教学中并没有依据数据的范围来进行分析，也就是说不管是整数、小数还是分数，其分析、解答方法都是一样的。因此，学生容易从整数应用题顺利地迁移到小数和分数应用题中，而没有任何困难。
但是对于商比关系的应用题，就截然不同了。当商比是整数、小数时，即为一般的倍数关系应用题（如上面的例1和例2中的商比都是整数，因而它们的分析方法与整数、小数中的倍数关系应用题是一样的，所以没有什么困难）；而当商比是分数时，就是特殊的分数乘除法应用题（如上面的例3和例4），它的分析方法与倍数关系应用题有很大差别，因而不能顺利地产生迁移，进行新知识同化，造成理解上的困难。
由此看来，分数乘除法应用题之所以难教、难学，主要是因为知识体系的前后脱节，而要想从根本上解决这个问题，就必须统一商比关系应用题。
三、统一乘法算式的含义
商比关系应用题的不统一，其根源在于一直以来形成的乘法算式含义的多样化。尽管新教材中已经删除了理解乘法算式含义的教学要求，但它对应用题的分析、理解仍然存在着不可避免的影响。因此，统一商比关系应用题，就需要从统一乘法算式的含义入手。
对于四则运算的含义，加法、减法和除法都不受数据范围的影响，算式的含义都是一致的，而只有乘法算式最为特殊，对于不同的数据范围有着不同的具体含义，甚至在新的课程标准实施之前，乘法算式的含义及其独特性还一直是试卷上的“常客”。
对于整数乘法而言，算式表示“求几个相同加数的和的简便运算”，如15×4表示“求4个15相加的和是多少”；当乘数是大于1的小数时，算式表示“求一个数的多少倍”，如15×1.4表示“15的1.4倍”；当乘数是小于1的小数时，要说成“求一个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少”，如15×0.14表示“15的百分之十四”；而当乘数是分数时，则要说成“求一个数的几分之几是多少”，如15×表示“15的三分之二”。
乘法算式含义的多样化，让学生无以应对。其实要说含义多样化，除法一点也不逊色。比如45÷15表示“求45里有几个15”，40÷15表示“求40是15的多少倍”，10÷15表示“求10是15的几分之几”，而10÷
则又表示“求什么数的是10”。对于这些具体的含义，我们都不需要加以考虑，而只是简单地说成“已知两个数的积是……，和其中一个数……，求另一个数是多少”。
因此，对于乘法算式，我们也不妨统一说成是“求一个数的几倍”，而不必考虑这儿的倍数是整数、小数还是分数。如前面几个乘法算式可相应的说成“15的4倍”“15的1.4倍”“15的0.14倍”和“15的倍”。
尽管这种改变与我们的传统习惯相冲突，可能一时还难以接受，但是如此一来，就可以避开算式和数据之间的具体差别，而把它们紧紧地统一在一个相同的关系之中，四则运算的含义也就全部保持一致，乘法算式也就不会因其含义的不一致而产生出种种麻烦来了。
四、统一商比关系应用题
1.统一商比关系
在乘除法应用题中，两个数量或整体与部分之间的比值（或商）称作是商比，当商比是整数、小数时，即为一般所称的倍数；当商比是分数时，即为分率。为了增强乘除法应用题的内聚性，突出它们之间的联系，我们不妨把这里的商比统一称作“比率”。这样一来，整数、小数乘除法应用题中的“一倍量、几倍量与倍数”和分数乘除法应用题中的“单位‘1’、比较量与分率”都可以统一在“标准量、比较量与比率”这三者的关系之中，从而增强它们之间的联系，明确分数乘除法应用题的“生长点”。
2.重新分析倍数关系应用题
统一后的乘除法应用题，其起始部分为倍数关系应用题，我们要注意打好学生这部分的基础，做好教学上的衔接工作，为后续内容的学习做好准备。
例如，有这样一道例题：“饲养组养了12只小鸡，3只小鸭。小鸡的只数是小鸭的几倍？”教材上的提示为：“想：12里面有几个3，小鸡的只数就是小鸭的几倍”，教师在课堂上也是这样引导的。通过这样的提示，学生就能明白为什么要用12÷3。
这样的教学安排，只局限于教会学生解答倍数关系应用题，由于忽略了标准量的分析，割裂了与分数乘除法应用题之间的联系，无形中加大了后续学习的难度。况且，仅从倍数关系本身考虑，而不引导学生分析标准量，不利于数学辩证思想的培养，不能很好地认识事物与数量之间的相对性。
如果例题中增加一个条件——“小鹅有6只”，这时，小鸡的只数为小鹅的2倍。小鸡的数量没有变，为什么倍数在变？学生很难准确回答。因为学生并没有很好地认识到，在两次比的过程中，虽然小鸡的数量没变，但比的标准变了，因而倍数也会跟着改变。
在倍数关系应用题中，确定标准量是非常重要的，教学时应特别注重标准量的分析。当学生初步认识了“倍”之后，就要引导他们思考题目中是哪两个量在比？以什么量为标准？是谁在和这个标准量比？通过分析，让学生明白：当小鸡的只数与小鸭的只数在比时，以小鸭的只数为标准，把小鸭的只数当作一个整体，作为一份的量。这样，求小鸡的只数是小鸭的几倍，就是求小鸡的只数中有几个这样的一份，即有几个3只。
这样教学，学生就完全抓住了问题的关键，即先找标准量和比较量，当比较量或标准量发生改变而引起倍数的改变时，学生就能说出其中的理由了。这种教法正好与分数乘除法应用题的分析方法衔接起来，突出了对标准量和比较量的分析，分散了后续学习的难点。
3.改革分数乘除法应用题教学
当我们统一了乘法算式的含义、调整了倍数关系应用题的教学策略之后，分数乘除法应用题与整数、小数乘除法应用题之间原本存在的“鸿沟”将不复存在。因为分数应用题中分析标准量、比较量与比率关系的方法，已在倍数关系应用题中打下了基础，理解起来不会有太大的难度。
在分数乘除法应用题的题目呈现时，都统一在分率后面添上一个“倍”字，虽然只是一字之差，但却真正使分数乘除法应用题融入商比关系应用题的完整体系中，不再显现出算式含义的特殊性与应用题分析、理解、解答方法的特殊性。相反，学生可以从原有倍数关系应用题的分析方法上，顺利地迁移到分数乘除法应用题中，既增强了知识体系的前后连贯性，又帮助学生降低了学习难度，有效地同化了新知识。
例如，在教学“求一个数是另一个数的几分之几”的应用题时，可以这样引入：“鸡50只，鸭10只，鸡的只数是鸭的多少倍？”然后把鸭的只数依次改为20、30，并最后出示“鸡50只，鸭60只，鸡的只数是鸭的几分之几倍？”逐步让学生发现，求一个数是另一个数的几分之几，其实与求一个数是另一个数的多少倍是一样的，分析时都要先确定标准量和比较量，这样学生便能顺利掌握。
对于要求比较量的应用题，如：“红花有120朵，白花的朵数是红花的
，白花有多少朵？”如果改成：“红花有120朵，白花的朵数是红花的倍，白花有多少朵？”学生便能方便地知道是求“120朵的倍是多少”，联系倍数关系应用题中求几倍量的方法，根据“比较量＝标准量×比率”而顺利列出算式“120×”，无需教师过多地讲解或是借助线段图来帮助分析。
对于要求单位“1”的题目，如前面的例4，教材通过对线段图进行分析，考虑到题目是逆叙述的，学生直接用算术方法解答比较困难，便引导根据关系式“单位‘1’×分率＝比较量”而列出方程解答。同样是逆叙述，倍数关系应用题中要求一倍量时，根本无需列方程解答，而只需要用“几倍量÷倍数＝一倍量”直接列算式即可。因此教材中列方程求单位“1”的解答方法，实则是人为地增加了分数乘除法应用题的难度，生生割裂了应用题之间的前后联系。如果把例4改为：“小瓶果汁有600毫升，小瓶里的果汁是大瓶的倍，大瓶果汁有多少毫升？”那么根据题意可知“大瓶果汁体积的倍是600毫升”，因此“大瓶果汁的体积”是标准量，“600毫升”是比较量，而“倍”则是比率根据关系式“比较量÷比率＝标准量”，类似于倍数关系应用题中求一倍量的方法，就可以列出算式“600÷”，根本无需借助方程来帮助思考并解答。
对于较复杂的分数乘除法应用题，我们同样可以把单位“1”的量视为标准量（一倍量），在分率后面添上“倍”字变成比率（倍数），从相应的整数、小数应用题引入，就能降低难度，达到较好的教学效果。比如：“学校有足球65个，比篮球的个数多
，篮球有多少个？”这类题目在解答时，不仅要求学生判断单位“1”的量是已知还是未知（确定用乘法解答还是用除法或方程解答），还要判断题目中的分率是多还是少（确定分率是用加法还是减法计算），学生一不小心就容易做错。
联想到倍数关系应用题中的类似问题：“白兔有60只，比灰兔的只数多2倍，灰兔有多少只？”根据“白兔比灰兔多2倍”，可以知道白兔的只数是灰兔的1+2=3倍，灰兔的只数是一倍量，因而用除法解答：60÷(1+2)。
那么类似的，如果把刚才这道学生容易做错的分数应用题改为：“学校有足球65个，比篮球的个数多倍，篮球有多少个？”学生就可以根据“足球比篮球多倍”这个条件，知道足球的个数相当于篮球的
倍，也就是说篮球个数的
倍是65只，篮球个数是标准量，用除法来解答：65÷(1+)。这样，学生就能很好地理解并解答这些较复杂的分数应用题。
上面我们详细分析了分数乘除法应用题难教难学的症结所在，并尝试着在教学中进行应用题的整合处理，提出了一整套教学改革措施。相信经过我们的努力，分数乘除法应用题将不再成为学生学习过程中的一大障碍，而仅仅是随着数的范围扩展在应用题领域的一个普通迁移而已。