数学项目活动“平面图形镶嵌”的设计与实施，本文主要内容关键词为：图形论文,平面论文,数学论文,项目论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、数学项目活动简介
数学项目活动，是教师指导学生对真实世界中的有意义的、有价值的、有挑战性的主题进行深入探究的课程活动，学习者围绕具体的数学项目活动主题，以达成一种或多种学习目标，充分选择和利用最优化的学习资源，在探索、体验、操作、制作等实践活动中，获得较为完整而具体的知识，形成专门的技能并促进各项能力的发展[1]。这与我国新基础教育改革的目标“形成积极主动的学习态度”、“倡导学生主动参与、乐于探究、勤于思考”、“培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”是一致的，也与国内提倡的“数学探究、数学建模”的学习方式相对应。[2]20世纪以来，这种与课程标准和教科书知识体系结合的项目活动受到各国教育者的关注，成为美国、德国、澳大利亚等国家中小学教学广泛采用的一种教学模式。[3][4]
项目活动包括了设计、实施、评价与反馈等一系列环节，而在开展数学项目活动之前，如何根据学习论和教学论原理，针对数学学科知识和项目学习的特点，系统地设计项目学习的各个环节，是首要而关键的一步，是为学习者创设最优环境的准备过程。
二、设计理念
“平面图形镶嵌”是七年级下册的知识，是学生在学习了简单的平面图形和立体图形知识后设计的拓展学习活动。镶嵌是由形状相同的图形经过合同变换（平移、旋转和反射）得到的，而合同变换（或运动）是义务教育数学课程标准中新增的一个重要内容，许多版本的教材都将其作为一个必学内容，近年来很多地方也将其列入中考的范围，同时在我们日常生活中也可经常发现镶嵌图案。通过平面图形镶嵌这一活动主题，利用现实丰富的生活经验，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解并掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。该主题有着丰富的教育教学价值。
三、设计结构图
我们可以借助平面镶嵌来研究很多生活中多姿多彩的自然现象；追寻历史的足迹，平面镶嵌的发展史也十分引人入胜；在美丽的艺术作品中也常常用平面镶嵌图案作为素材；运用现代信息技术可使我们更好地绘制丰富的镶嵌图案。数学、生活、历史、艺术、信息技术就这样在乎面镶嵌中联系起来了！
四、设计与实施过程
活动1 寻找生活中的密铺图案
认真观察我们周围的事物，就能发现许多用各种材料铺砌而成的美丽的图案，同时自然界中也蕴藏着丰富多彩的镶嵌图案。请用心观察并回答下面问题：
(1)你记得平面镶嵌的定义是什么吗？要在什么条件下才能进行平面镶嵌？
(2)在我们数学的世界里，你能找到哪些镶嵌图形？请至少找出5种。
(3)寻找生活中或自然界中的密铺图案，并说明为什么是镶嵌图形。
设计意图：让学生回顾平面镶嵌的概念及构成条件，再从数学中和生活中寻找镶嵌图案，加深对平面镶嵌的理解，感受数学与生活的密切联系，体会数学的美学价值。
活动2 了解数学中研究镶嵌的史料
你了解平面图形的镶嵌吗？据说，早在毕达哥拉斯时代，就已有人研究过多边形的镶嵌问题。而且，在著名的希尔伯特23个问题中，第18个就是用全等的多面体构造空间，是镶嵌问题的三维化。可见这个问题不仅源远流长，而且在现在也极有价值。你知道可以通过哪些渠道来了解镶嵌问题的历史背景吗？请查阅相关资料，回答如下问题，向同学展示镶嵌问题的历史背景及数学中研究镶嵌的史料：
(1)你知道平面镶嵌起源于什么时候吗？其创始者是谁？
(2)最早将正多边形进行平面镶嵌的人是谁？其后的发展历程如何？
(3)你了解M·C·埃舍尔的作品吗？这位艺术家将基本图形利用变换等方法丰富发展了平面镶嵌问题，请介绍其相关作品并选取1～2幅进行深入分析，充分体会变换的应用。
设计意图：通过主动寻找一些镶嵌的史料，让学生体会到镶嵌问题的复杂性及镶嵌问题所具有的价值，进一步激发学生的强烈的学习动机。
活动3 探索平面镶嵌
(1)用单一的图形可以进行平面镶嵌，同时用多种图形组合起来同样可以拼接出各种丰富的图案。试借助几何画板或超级画板软件实验操作，探索用一种或两种或三种正多边形能否进行平面镶嵌。请画出相关镶嵌图案，并思考你能得出什么结论。
①仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？
（正三角形、正四边形、正六边形，如图1、2、3）
②允许用两种正多边形组合起来镶嵌，由哪两种边长相等的正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？
③允许用三种正多边形组合起来镶嵌，由哪三种边长相等的正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？
(2)从上面这些实验中，你能从中得出平面镶嵌的基本规律吗？试通过代数方法探究能够进行平面镶嵌的正多边形种类及其组合方式，体会数形结合的思想。
理论验证：①仅用一种正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形的边数为n，个数为m，则有
，解得
，所以可以用同一种正多边形平面镶嵌的图形只有正三角形、正四边形、正六边形。
图5
(3)非正多边形（凸多边形）能够进行平面镶嵌吗？是不是任意非正多边形都能够进行平面镶嵌？说说你的理由。
（任意三角形和凸四边形可以进行平面镶嵌，对于特定的五边形和六边形才能镶嵌）
设计意图：在进行实验①时，学生在动手操作中就存在一定的盲目性，但由于问题较为简单，因而也能较快地得到答案。但对于实验②、③，如果只是碰运气地乱试一通，是很难得到较多结论的，这就迫使学生在动手的同时还要动脑，思考应当如何恰当地组合几种正多边形，才能进行平面镶嵌。在实验获得了一定的经验的基础上，引导学生找出用一种正多边形进行平面镶嵌的基本规律，将此问题归结为一个不定方程的正整数解问题，从而使学生对于用一种正多边形进行平面镶嵌问题的认识由感性上升到理性。最后再对非正多边形进行讨论，进一步加深平面镶嵌的认识。
活动4 制作镶嵌图案
生活中你会发现有许多利用一种或几种规则与不规则多边形设计的图案，如图所示。
(1)你能看出图6同一个图形的镶嵌中，各个基本图形有什么样的位置关系和大小关系吗？是否可以将其中一个基本图形通过适当的变换（平移、旋转或对称）而得到另一个图形？
(2)给你一个任意的四边形，你能构造出它的镶嵌图案吗？
(3)观察图7，你能看出它的基本图形吗？它是由基本图像经过什么变换设计出来的？
(4)美国中学生罗伯特·加耐特曾经利用简易的变换创造出奇妙的镶嵌图案“跳跃的青蛙”（参阅迈克尔·塞拉著《发现几何——一种归纳的方法》），请查找相关资料，了解其创造的过程，并试着自行设计一个镶嵌图案。
(5)充分发挥你的聪明才智，用几何软件或纸质材料设计一个多姿多彩的密铺图案。
设计意图：通过分析由基本图形经过变换得到镶嵌的图案，理解几何变换的过程，并通过动手操作设计镶嵌图案，亲身体验镶嵌的过程及其美的感受。
实施阶段
这个项目活动需要5个学时，分为四个阶段进行：
第一阶段（第1学时）全班与教师共同探讨本次项目活动的主题。自由组合，形成活动小组。根据各自的兴趣，选择活动，每个小组制定活动计划，并撰写活动计划书。
第二阶段（第2～3学时）小组成员明确自己在分组活动中的角色，按照各活动建议的要求，收集整理相关信息，合作完成项目。
第三阶段（第4学时）向老师和其他组成员汇报目前小组活动的进展和碰到的困难，听取有效建议，完善活动项目并策划成果展示的形式。
第四阶段（第5学时）展示完成的作品，准备回答其他同学提出的各种问题。