国外城市规模分布研究进展及理论前瞻——基于齐普夫定律的分析，本文主要内容关键词为：研究进展论文,定律论文,国外论文,规模论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
经济活动区位的一个重要规律性表现在城市体系的基本结构特征——规模不同城市的有序聚集上，如何合理控制各层次城市数量及人口规模，将直接关系到城市经济结构的转变和城市社会结构的分异，关系到区域经济的可持续发展。因此，区域经济学将城市体系中的城市规模分布问题作为一个重要的研究课题。提到城市规模分布，就不能不提到齐普夫定律。齐普夫定律是经济学中一个著名的经验定律，它准确揭示了经济空间结构中显著的规律性。它指出，一国内经济活动现象(如收入、各类型企业等)的规模分布服从幂律指数为1的幂律分布。对齐普夫定律的研究由来已久，Auerbach(1913)和Zipf(1949)最先提出现实城市体系中城市位序与人口规模之间的经验关系符合齐普夫定律。虽然对齐普夫定律在各个国家和地区是否成立已有大量理论解释和实证检验，但研究结果并不统一，且缺乏能用于解释齐普夫定律的系统性城市理论，这注定了齐普夫定律成为“城市体系研究中的一大谜团”(Krugman，1996a)。近年来，国外学者从不同角度、采用不同方法，围绕城市规模分布中的齐普夫定律进行了全面而深入的理论探讨与实证检验，为推进该谜团的深入研究注入新的血液，从而充实和丰富了区域经济学中的城市体系相关研究。
基于此，本文将从描述城市规模分布的齐普夫定律内涵出发，重点梳理对城市规模分布符合齐普夫定律所作出的不同理论解释，进而在理论研究的基础上系统性回顾齐普夫定律在空间、时间和影响因素等各个维度上的相关实证研究，从而对国外学者的研究成果展开述评，以期引起国内学者对这一问题的深入研究和探讨，为中国未来的城市规模分布研究找到可行的操作模式提供相关研究基础。
二、城市规模分布的齐普夫定律
(一)齐普夫定律的提出
Auerbach(1913)早在1913年就指出城市规模分布可以用幂律分布来近似表示。在此基础上，Zipf(1949)进一步发展和完善形成了城市规模分布的齐普夫定律(Zipf's law)，即城市规模分布满足公式：
其中，S为城市规模，P为规模大于S的城市分布概率，a为常数，且幂律指数ζ=1。
如果0＜ζ＜1，表示城市规模分布比齐普夫定律所描述的更为均匀(even)，即位次较低的中小城市比较发达，位次较高的大城市不很突出。如果ζ＞1，表示大城市比齐普夫定律描述的更大，即城市规模更为分散化。
(二)幂律指数计算方法
对齐普夫定律中的幂律指数ζ有以下两种基本计算方法。
1.OLS回归方法
该方法用位序i的对数对规模
的对数做普通最小二乘回归(OLS)得出幂律指数
：
在大样本的情况下，以100％的概率趋近于ζ的真实值。但OLS估计存在如下缺陷：在小样本的情况下估计结果是有偏的；此外，实证研究中对城市按规模大小进行排序再回归导致误差项之间具有自相关性，违背了经典回归中误差项相互独立的假设，从而使幂律指数标准误和标准误方差的估计值存在偏差。
对此解决方法是：使用蒙特卡罗模拟方法，进行多次模拟实验，在大样本条件下渐进近似得到偏差的期望值和估计量的真实标准误(Gabaix and Ioannides，2003)；在小样本条件下，也可采取一种简单的方法来消除偏差(Gabaix and Ibragimov，2011)，即将因变量(位序i的对数)改成(i-1/2)的对数：
虽然该计算公式满足最大似然估计量的有效性，但Hill估计量也存在低估真实标准误和低估幂律指数的问题(Dobkins and Ioannides，2000)。
许多学者都在努力寻找方法来解决这个问题，复杂非线性过程就是其中一个比较受关注的研究领域(Embrechts et al.，1997；J.Beirlant et al.，1999；Feuerverger and Hall，1999)。
三、齐普夫定律的演化机制研究
齐普夫定律对实际城市规模分布的准确刻画吸引了诸多学者投入其理论研究之中，从不同角度试图解释城市规模分布符合齐普夫定律的原因。面对纷繁复杂的理论探讨，Gabaix(1999b)将目前对齐普夫定律的理论分析划分成两种流派：一是基于随机增长的数理模型解释，另一是基于经济理论的解释。
(一)基于随机增长模型对齐普夫定律的解释
1.传统的随机理论
如果不同城市按同样的期望增长率及同样的方差随机增长，则城市规模分布的极限将符合齐普夫定律(Gibrat，1931)，这个随机增长理论也被经济学界称为吉布雷特法则(Gibrat's law)。该法则的具体内容是：假设城市规模是按比例随机增长的，即
Gabaix(1999a)对这一定律进行了证明。主张随机理论的学者认为，这种城市分布与那些遵循帕累托分布的城市规模分布极为相似。Cordoba(2008)认为吉布雷特法则是齐普夫定律成立的充分必要条件，如果齐普夫定律在一国层面上成立，则吉布雷特法则也在该国层面上成立。
2.随机增长模型
西蒙(Simon，1955)采用非传统的城市系统研究路径，对城市的“规模—等级”分布进行了阐释，并提出了随机增长模型，这是了解齐普夫定律的一个简单途径。Simon假设城市人口是由离散增量或者说“块状体”(lumps)增长而来的。一个新块状以一定的概率P形成新城市；或者，块状体以一定概率(该概率与现有城市的人口成比例)加入某一现有城市，从而使现有城市扩张。该过程的极限分布符合幂次定律，但齐普夫定律只作为特例才出现。新近研究中，Dobkins and Ioannides(2001)证实了Simon模型的结论，即紧邻老城市空隙的新城市出现从而形成大城市群的概率，是随着现有城市规模的增加而增加的。
Simon模型做出的贡献(Krugman，1996b)：一是在数值上很好地预测了齐普夫定律；二是创新性地指出决定幂律的参数是形成新城市的概率；三是对幂律中指数等于1做出了这样的解释——当城市人口的增量依附于原有城市而不形成新城市时，指数就等于1。当然，Simon模型也存在着如下问题(Duranton，2006)：光用人口变化来解释城市增长，没能对城市增长驱动力做出较好的经济解释；在演化过程的极限情况下推出的齐普夫定律不能很好地收敛，并要求城市数量是无限增加的且与城市人口增长速度一样快，这显然是不现实的；另外，该模型中的“城市”表示的只是一个集聚单元，完全可以用其他空间单元来表示(如区域、国家等)，这就失去了齐普夫定律中城市的重要特征。
类似的随机增长模型还有Blank and Solomon(2000)的要素数量可变的随机系统模型，以及Reed(2002)的城市增长模型。在此，值得一提的是Lucien and Lieberthal(2007)的城市体系动态增长模型，由其可推导出各种城市规模分布情况(包含齐普夫定律在内)，该模型与之前随机增长模型的不同之处在于，它可以根据不同的具体情形调整增加城市数量的方法，该模型的研究结果表明城市增长时间对城市规模分布类型有重要的影响。
(二)基于经济理论对齐普夫定律的解释
除了基于随机增长过程的数理模型对该定律的解释，还有很多学者从不同的经济理论角度出发，对城市规模分布的齐普夫定律进行了理论诠释。目前，主要的经济解释理论分为以下几种。
1.城市系统理论
城市系统理论(the urban system theory)解释的是各城市的经济发展如何形成特定的城市规模分布及城市职能分布，其中城市规模分布易受外来冲击的影响。城市系统理论主要分成两类(Krugman，1996b)：一类是源于“中心地理论”的城市体系空间模型(the spatial models of urban hierarchy)，另外一类是由Henderson(1974)提出的城市体系非空间模型(the aspatial urban system model)。
最具代表性的城市体系空间模型是Fujita et al.(1999)提出的模型。其受中心地理论的启发，指出制成品的特征差异将使得不同种类、规模的城市形成明确分工的城市等级体系。作者根据数据模拟分析了产业的溢出从而解释了城市等级体系，在单级经济体中(经济系统具有唯一的最高等级城市，它能生产所有制造业产品)，等级较低的产业(一般为具有较高替代弹性或者较高运输成本的产业)临界人口规模最小。因此，随着人口规模的扩大，该产业的市场潜能函数值最先在临界距离处达到1，低等级城市出现。为了保持整个空间系统的稳定均衡，随着人口规模的增大，每一个侧翼城市都要不断向外移动，直到它获得足够大的锁定效应为止。人口规模进一步增大，新的产业不断溢出来，新的侧翼城市不断产生，这些新旧侧翼城市之间、产业之间经过一系列动态调整，最终形成城市等级体系，满足中心地理论的等级原则，其中高等级城市包含了所有低等级城市的产品生产。城市等级体系表现出工业品贸易的空间模式。
而更早之前的亨德森(Henderson，1974)提出的城市体系非空间模型则阐释了外部经济和外部不经济(假设取决于生产技术、通讯技术和交通技术等因素)之间的合力导致城市规模分布的产生。亨德森认为，外部经济主要体现在城市内特定产业的空间集聚，而外部不经济则主要取决于城市的规模。这种不对称导致两种结果：首先，外部经济性在不同产业之间存在很大的差异(例如纺织工业城市没有理由再建大型钢铁厂，而金融城市包揽全国的金融业务却是有效率的)。所以，城市的最优规模取决于它的功能。其次，由于城市规模造成不经济，那么就应该把相互间没有溢出效应的产业(如钢铁生产业和出版业)放置在不同城市，以避免交通拥挤和地租的攀升。因此，亨德森认为城市应该专业化(至少在出口产业上)生产一种或几种能够产生外部经济的产业。该模型指出，城市的规模分布并不是一种自然事件，它是与产出和生产条件的区域组合直接联系在一起的，从而将各城市规模作为受城市功能影响所产生的经济变量。由于该模型所推导出的城市规模分布是由外部规模经济和城市拥挤不经济之间的权衡形成的，所以城市规模分布应当随时间的推移而改变，幂律指数无法获得稳定值1。
城市系统理论虽然可以较好地解释现实城市等级体系的形成，但没法解释为何城市规模分布服从齐普夫定律，然而其为齐普夫定律的其他解释理论提供了一定的理论基础。
2.中心地理论
中心地理论(central-place theory)是由克里斯塔勒(Christaller)在1933年提出的，廖什(Losch)在1940年进一步发展了这一理论，其主要用来解释区域内的城市数量、规模和范围。中心地理论的基础是市场区分析，认为城市的规模取决于城市所提供的商品或服务的规模经济程度。由于不同产业的规模经济和人均需求不同，市场区规模也不同，因此不同产业有不同的区位模式。中心地理论解释了这些不同产业的区位模式是如何形成区域城市体系的问题。
基于中心地理论的分析可得出：中心地的首要功能是为周围市场提供商品和服务。中心地提供的商品和服务越多，其市场区规模越大、等级越高、数量越小，在越大的范围内提供商品和服务。中心地理论指出：不同规模城市的存在，产生城市的等级系统；城市越大，它所提供的产品和服务的类别越多；每个城市从等级较高的城市进口产品，向等级较低的城市出口产品。然而，它无法解释何种机制促使中心地系统出现进而形成今天我们所观察到的城市规模分布模式的问题。
值得一提的是Hsu(2008)在一个空间模型中用中心地理论解释了齐普夫定律，该空间模型中不同规模的城市在整个经济体中发挥不同的职能，即服从中心地理论。由于中心地理论反映的是相邻两个城市等级的市场区面积比为2的城市等级均衡状态，因此该模型提出了与城市等级特性相一致的一系列均衡状态。根据中心地理论，商品的规模经济程度与市场规模相关，大城市提供小城市提供的所有商品，从而产生了城市规模偏态分布曲线。在固定成本的分布函数呈对数形式时，城市规模分布的齐普夫定律成立，其中城市规模分布呈轻微的凹性，企业分布的齐普夫定律在同样的条件下也成立。该模型将中心地理论与齐普夫定律有效联系在一起，当由两个邻近城市等级产生的商品数增量几乎相等，且城市等级数足够多的情况下，齐普夫定律成立。
虽然中心地理论尚存在不足之处，如中心地理论只能解释零售业、服务业等的空间分布，而不能对工业主导城市的规模分布给出完全的解释；但其显著的优点是为实际的城市规模分布提供了充分理论解释，比城市系统理论更具说服力，其提出的预测可被实证研究所验证(Berry，1967)，而城市系统理论只能独立存在。正是由于其存在缺陷，才驱使学者做进一步探究并在以下理论中对齐普夫定律做出新的解释。
3.城市内生形成理论与自组织理论
城市内生形成理论(endogenous city formation theory)假定城市形成与消失是由内生因素所决定的，由Lucas(1988)和Romer(1990)的城市内生增长理论发展而来，注重规模效应的影响(Jones，1999)。Axtell and Florida(2001)在前人研究基础上进一步构建了一个城市体系混合理论模型，以在均衡状态下预测齐普夫定律。他们试图调和离心力与向心力之间的相互作用(这两个力在微观层次上决定了城市的规模)，并且试图在宏观层次上运用假定规模收益不变的动态过程(the as-if-constant-returns dynamics)来解释这一问题。他们基于企业选址理论，提出了由企业形成导致城市形成的模型。企业的增长率服从拉普拉斯分布，根据幂次定律，它们的方差随着企业规模的增加而降低，工资随着企业规模的增加而增加，在总体上满足规模报酬不变，从而城市规模分布服从齐普夫定律。此外， Black and Henderson(1999)构建了城市经济内生增长模型，强调地方知识溢出及人力资源积累推动城市经济内生增长和经济集聚，同时促进城市规模增长。
Duranton为城市内生形成理论做出了重要贡献，提出一个简单的机制来解释城市的增长和衰退。Duranton(2002，2006)在城市框架中引入了Grossman and Helpman(1991)的质量阶梯增长模型，可用于拟合观测到的城市规模分布，模型的均衡状态符合齐普夫定律。该模型为城市规模变动性提供了较合理的解释，指出在产业和城市层面的创新驱动冲击会引起城市的增长(或衰退)，并从企业发展的经济决策出发来描述城市规模分布，模型中产品多样性的创新及本地知识溢出(生产地靠近研发地)共同作用的结果可以作为随机增长模型的理论基础。其随后的研究(Duranton，2007)以城市间的产业“频动”(churning)为理论基础，重现三种主要的城市演化特征：快速城市演化(城市间产业频动)、缓慢城市演化(城市变动性)、静止城市演化(齐普夫定律)。通过模拟，它可以有效地拟合法国和美国不同时刻的城市规模分布情况，根据自然效率准则，该模型要优于齐普夫定律，可揭示实际齐普夫曲线的不规则特征。Duranton模型中观测到的城市规模分布规律与城市经济学的基本理论板块相一致，都认为集聚经济、拥挤成本等的存在会对城市规模分布产生影响。
和城市内生形成理论类似，自组织理论(the self-organization model)认为城市是一个复杂的自组织系统，城市体系会按照一定的机制自发地形成符合齐普夫定律的城市规模分布。尽管Krugman(1996a)认为城市体系的基本特征应该用自组织模型来研究，直到近年来才有人用这种较新的理论进行城市体系的相关研究，如Brakman et al.(1999，2001)。其中Brakman et al.(1999)运用新经济地理理论，在经济地理学和对外贸易的模型中引进了负反馈/负外部性(拥挤成本)，为城市体系演化提供了扩散力，从而构建起包含集聚力和扩散力在内的一般均衡选址模型，为齐普夫定律存在的理论基础提供了必要条件——各城市的规模是大小不等的，且模拟出的结果接近于齐普夫定律。然而幂律指数接近于1只有在一定的参数值条件下才能实现，即在“工业化”情形下，具体表现在运输成本大幅下降，且规模报酬递增的松脚型工业变得日渐重要。而与前工业化和后工业化情形相联系的幂律指数均超过1。
城市内生形成理论与自组织理论模型往往较具确定性，无法一一解释现实中各种不同情况下的城市规模分布演化，且忽视了潜在的外在驱动力对城市规模分布的影响。
4.自然优势理论
很明显，还需要更多的研究来验证上述假说。其中一个困难就是河流f与相应的自然优势A之间的对应关系应如何确定。作为对城市规模分布的解释，将自然地理中的幂次定律转移到城市规模分布上仍需进一步的研究。例如，Fujita and Mori(1997)的研究提出，自然景观的不连续性(例如港口和航道)对于城市区位有重要的影响。
(三)齐普夫定律的综合性解释机制
在齐普夫定律理论分析的两大传统流派之外，还有一类新生的综合性解释机制，该类机制综合了以上两大类解释机制，比较典型的如Rozenfeld et al.(2011)的研究。该研究基于随机增长过程构建了一个经济模型，由其可近似地推导出关于人口与面积的齐普夫定律。将城市人口(i城市的人口为
)同时作为消费者和生产者，构建消费者效用最大化模型，其中消费效用函数为消费者对商品和土地消费的柯布—道格拉斯函数，约束条件为消费者在商品和土地上的总支出不超过城市总收入(劳动生产率与总人数的乘积)，且每个消费者的最大效用都是一样的，即消费者可自由选择在哪个城市居住，故各个城市的消费者效用函数是一样的，完全竞争达到均衡状态是使得各个消费者的效用相等。在消费者效用最大化模型的基础上，作者引入了随机增长模型，假设城市的生产率B服从几何布朗运动，经过改良的城市生产率与所有城市的平均生产率
成比例(二者之比为π，0＜π＜1)。
以上模型的推导结果是：
(a)城市人口S与城市面积A的稳态分布服从指数为ζ的幂律分布：
其中x≥π。当π趋向于1时，ζ指数趋向于1(齐普夫定律的值)。
(b)城市人口S与城市面积A成比例，密度D=S/A独立于城市规模。
(c)收入中花费在土地上的费用独立于城市规模。
类似的综合解释机制还有Cordoba(2004)的模型、Rossi-Hansberg and Wright(2007)的模型。Cordoba(2004)将随机增长理论与城市系统理论结合起来，认为城市模型必须满足一定条件才能解释齐普夫定律，从而给对不同商品的偏好、总要素生产率以及外在驱动力的随机性施加了限制。Rossi-Hansberg and Wright(2007)将城市内生增长模型与吉布雷特法则结合在一起，引入全要素生产率带来的随机冲击使得城市规模均衡增长呈随机性，预测出城市规模在长期内呈现平行增长，而短期内受外部生产率冲击产生随机偏离，强调了要素(资金、人力等)积累及生产力水平对城市规模分布的影响，认为均衡状态的城市规模分布是集聚效应与拥挤成本实现平衡的结果，在一定假设条件下可得到符合齐普夫定律的城市规模分布。
对齐普夫定律的综合性解释机制结合了随机增长理论的数值模拟优点和经济理论的理论解释力优点，虽然才刚起步，不可避免会存在欠缺，但必将成为城市规模分布研究的进一步研究方向。
(四)齐普夫定律的理论分析小结
齐普夫定律的最大弱点在于缺乏一个坚实的经济理论基础。尽管西蒙等的随机增长模型研究为解释城市规模分布规律带了一线希望，但是该模型由于缺乏经济学背景而受到质疑。而经济理论流派的基本问题是都只从一个角度主观地对城市规模分布进行解释，难以弄清存在根本差异的经济体制如何产生相同的各力平衡状态。从这个角度来看，目前的经济理论难以完全解释齐普夫定律成立的原因。各种理论解释机制存在的优缺点如表1所示。
未来的理论探索可以从以下几方面着手：一是从微观层次上寻找方法来调和离心力与向心力之间的相互作用(这两个力在微观层次上决定了城市的规模)；二是在宏观层面上运用假定规模收益不变的动态过程(the as-if-constant-returns dynamics)来解释这一问题；三是将随机增长理论与经济理论结合起来，将经济因素(如规模经济、集聚效应等)与空间结构结合起来，构建综合性解释机制。
四、齐普夫定律的相关实证研究
(一)城市规模分布空间格局实证研究
1.传统空间研究视角
自城市规模分布的齐普夫定律提出后，许多学者用不同国家的数据对这一规律的普适性进行实证验证。传统意义上的城市规模分布实证研究一般是以行政单位为空间研究单元，采用的空间研究尺度一般为城市/市区或城市群。
许多单个国家的城市规模分布研究及国际比较研究都为齐普夫定律的成立提供了依据。其中，Rosen and Resnick(1980)、Brakman et al.(2001)、Soo(2005)的研究是最完整的跨国比较实证研究。Rosen and Resnick(1980)研究了44个国家1970年的城市规模分布，求得的平均幂律指数是1.13，标准差为0.19，几乎所有的国家都落在0.8—1.5的范围之内。Brakman et al.(1999，2001)的研究显示用市区数据得到的幂律指数(均值为1.13，标准差为0.19，样本值为42)要高于用城市群数据得到的幂律指数(均值为1.05，标准差为0.21，样本值为22)。Soo(2005)使用OLS和Hill估计法对73个国家的城市规模分布进行了实证研究，求得城市的幂律指数为1.105，城市群的幂律指数为0.854。总的来说，幂次定律很好地拟合了实际城市分布规律，求得的幂律指数一般都接近于1。此外，Sebastien(2009)用115个国家样本做实证研究，结果表明大多数国家(62个国家，占53％)的城市规模分布服从齐普夫定律；Giesen and Suedekum(2011)证明了城市规模分布的齐普夫定律在德国的国家和地区层面都成立。
尽管齐普夫定律能够很好地拟合各国的城市规模分布，实证研究中仍然存在一定问题。如Dobkins and Ioannides(2000)的非参数研究及Black and Henderson(2003)的研究发现“位序—规模”的对数回归中二次项在统计上显著，使人们开始对用齐普夫定律来描述整个美国城市规模分布的有效性产生了怀疑。有两个相关的研究对此进行了说明。一是Duranton(2002)年的研究，用质量阶梯理论建立新模型，模拟了美国和法国的城市规模分布，从而反映出分布曲线两端都偏离了齐普夫定律。另一是Rossi-Hansberg and Wright(2007)的研究，构建了一个城市体系激励模型，描述了特殊情形下的齐普夫定律，同样对分布曲线两端都偏离齐普夫定律这一现象做出了解释。类似的还有 Gabaix与Ioannides(2003)、Eeckhout(2004)的实证研究，结果都表明现实的城市规模分布与齐普夫定律之间存在一定程度上的偏差。Giesen et al.(2010)更是对齐普夫定律提出了修订，认为实际的城市规模分布应该服从“双帕累托对数正态分布”(double Pareto lognormal，DPLN)而非齐普夫定律所反映的简单对数正态分布。
2.地理空间研究视角
在城市规模分布实证研究中，传统的空间研究尺度常常由于“城市”的定义及划分过于主观武断而不断受到质疑(由于城市和城市群往往涵盖的范围太大，不能反映出真实的城市规模)，因此，如何定义真实的城市边界成为需要人们进一步探索的问题，有学者提出了地理空间视角(geospatial perspective)这一概念(Jiang and Jia，2011)，意在将城市规模分布实证研究逐渐转向微观尺度，突破传统的行政区划界限，把实际上起到城市功能的微观城市组团/图斑作为基本空间单元来研究，从而使研究的精确度更高，更具有说服力。
(1)基于格网数据的实证研究。
该类研究中较典型的是Holmes and Lee(2009)基于美国英里格网级人口普查数据的实证研究，将美国版图划分成统一的“6×6”平方英里格网，用GIS软件将普查人口分配到各个格网上，从而分析各格网以及MSAs(大都市统计区)层面的人口分布规律。研究结果表明格网层面的城市规模分布曲线存在分段性(两个幂律指数，曲线上端指数大约为2，违背齐普夫定律)，且城市平均增长速度与城市规模呈倒U型关系，城市增长率方差随着城市规模增加而减少，即吉布雷特法则在格网层面不成立。此外，MSAs层面的人口分布与MSAs内格网层面的人口分布类似，并与一国及各地区内格网层面的人口分布相似，都存在一定的分形特征(fractal pattern)。
该研究结果表明格网层面的人口规模分布规律与大都市区(城市群)层面是类似的，而得出的城市规模分布曲线尾端(less fat-tail)比齐普夫分布的概率要小，即较大规模城市所占比例较小。这是因为城市范围被限制在6×6平方英里内，导致很难形成较大的“城市组团”。由于研究方法存在上述缺陷，我们难以准确分析各格网单元所形成的集群分布规律。
(2)基于微观数据的改进算法研究。
为了弥补基于英里格网数据的实证研究缺陷，Rozenfeld et al.(2011)采用了自下而上(from the bottom up)的研究方法——城市集群算法(city cluster algorithm，CCA)来拟合英美两国基于城市组团(city clusters)的城市规模分布。该研究采用高分辨率的微观地理数据(美国的人口普查小区数据及英国的英里格网数据)，将按距离聚类所得的城市组团作为空间单元进行城市规模分布拟合分析，得到的幂律指数接近于1；并将由城市集聚算法得到的城市规模分布规律与基于Places(行政单位)和MSAs(大都市统计区)的城市规模分布规律进行比较分析，结果表明城市集群算法很好地弥补了行政单位低估大城市数量和大都市统计区低估小城市数量的缺陷。
类似地，Michail and Seto(2009)采用中国的珠三角地区(广州、深圳和佛山)城市人口分布的高分辨率遥感数据，通过聚类识别算法(cluster identification algorithm)分析了城市内部(intra-city)以城市斑块为空间单元的人口规模分布规律；Jiang and Jia(2011)通过对美国的街道节点(包括交叉点及末端)进行聚类形成“自然城市”(natural cities，意在摆脱人为划定的人口普查区对城市边界划分的影响，以最能反映人类活动的街道作为城市界定标准)，研究表明美国二百万到四百万“自然城市”的规模分布服从齐普夫定律。
(二)城市规模分布动态演化实证研究
许多实证研究发现城市规模分布随时间变化是保持稳定的(即呈现平行增长，所有城市以同样的速度增长)。例如，Eaton and Eckstein(1997)的研究通过对法国和日本城市规模分布的动态演化比较，观测到法国和日本城市在1876—1990年以及1925—1985年间的平行增长。作者还用其他实证方法(如洛仑兹曲线、齐普夫回归及非参数转移矩阵)来验证其研究发现。Dobkins and Ioannides(2000)通过研究美国城市1900—1990年的动态演化过程，发现美国城市体系尽管在空间上存在扩张过程，但其演化的总体特征是平行增长。他们通过构建转移矩阵、追溯每个城市在城市规模分布中的位序变化来对数据进行深入分析。Overman and Ioannides(2001)对1900—1990年美国城市规模分布动态演化的研究也证实了城市规模存在平行增长的态势。
尽管如此，我们并不能够排除城市规模分布动态演化也存在不稳定情况。例如， Black and Henderson(2003)也分析了1900—1990年美国城市规模分布的演化过程，发现近年来美国城市体系在一定程度上呈现出集中分布的趁势(即较多城市趋向于分布在较高的规模等级中)，这反映了美国产业构成有向现代服务业发展的趋势，由于现代服务业趋向于在大城市中布局。进行类似研究的学者还有Sharma(2003)和Gonzalez-Val(2010)，前者指出印度城市规模在长期内呈平行增长，而在短期内则出现一定程度的偏离；后者分析了美国1900—2000年间的城市规模分布演化过程，研究发现20世纪美国城市规模分布的不均匀程度增加，其中上半叶大城市和小城市的数量都有所增加，下半叶整个城市规模分布则趋于稳定状态。
在城市演化的研究中常会遇到数据缺乏的问题，该问题可用Quah(1993)、Eaton and Eckstein(1997)的马尔柯夫转移矩阵技术来解决，即用人口数据来构建一个低维向量，表示城市在各个规模等级间隔内出现的频率，令
表示人口分布
在t时刻的频率(密度)分布。假设按一阶自回归来演化，
。当以非零概率全面趋向于极限时城市演化为平行增长，当为一个质点时城市演化为收敛增长(小城市增长比大城市快)，当为极化或分段分布时城市演化为发散增长(大城市增长比小城市快)。
由于研究数据在时间上往往缺乏连续性，目前城市规模分布动态演化方面的研究多以美国城市为研究对象，其他国家的研究较少，但这种数据上的缺乏可以通过一定的技术方法来弥补，在这方面已有不少尝试，但其仍然存在一定的探索空间。
(三)城市规模分布演变影响因素实证研究
前面对空间、时间视角上的城市规模分布实证研究作了系统性回顾，接下来对城市规模分布影响因素的相关实证研究进行归纳总结。城市规模分布的影响因素主要可以分成两类，即新经济地理学(NEG)中所提到的“第一性”优势(first nature，生产要素禀赋的空间差异，由城市自身因素决定)和“第二性”优势(second nature，经济空间集聚系统的内生力量，由城市间相互作用决定)。
认为影响城市规模分布的是“第一性”优势的主要有Black and Henderson(2003)、 Henderson and Wang(2005)、Gonzalez-Val(2011)等的研究。Black and Henderson(2003)对美国1900—1990年的城市人口数据进行分析，认为城市规模分布曲线上端的城市不断集中的原因是规模经济和由本地知识积累和通勤增加引起的技术改革。他们还研究了城市职能(城市产业构成)与城市规模间的关系，不同职能的城市有不同的绝对规模，即城市产业构成上的变化会影响城市的相对规模。Henderson and Wang(2005)对世界各国大都市区1960—2000年的城市人口数据进行分析，指出人口增长、技术变革、体制改革等因素可在很大程度上解释城市的形成与城市数量的增加，而且民主化、地区代表性及地方自治程度等政治因素的增加将促进新城市的形成。Gonzalez-Val(2011)用美国2000年城市数据进行计量分析的结果表明，影响城市规模分布的重要因素有人均收入、人力资本水平和主要部门就业结构等。
认为影响城市规模分布的是“第二性”优势的主要有Brakman et al.(1999)、Ioannides and Overman(2004)的研究。Brakman et al.(1999)探讨了一些经济因素(如交通成本、工业活动程度、规模报酬、拥挤成本、城市间的整合等)对城市规模分布的影响。其中交通成本下降促进了城市间的贸易，同时也推动了产业化过程及各城市的专业化，从而城市的集聚力增加，大城市人口增加的幅度更大，幂律指数增加；而当拥挤成本增加时，城市的扩散力增加，幂律指数变小。Ioannides and Overman(2004)用参数估计法估计了市场潜能(城市间相互作用的测度)、附近有无新城市产生及滞后人口(own lagged population)这几个“第二性”优势对城市增长率的影响，研究发现市场潜能与城市规模间存在负相关关系。城市规模与市场潜能之比相对较小的城市增长速度较快，即小城市的迅速增长是以周边大城市失去人口为代价的。
Soo(2005)的研究则认为“第一性”优势和“第二性”优势对城市规模分布均有影响。Soo通过分析与城市规模分布有关的变量——经济地理变量(规模经济、运输成本、非农经济活动等)、政治变量(政治权利和公民自由、政府总支出占GDP的比重等)、国家规模变量等对幂律指数的影响，指出尽管经济地理因素很重要，但政治经济因素在解释各国幂律指数差异上比经济地理因素所起的作用要大。
从对齐普夫定律的演化机制总结可以看出，对城市规模分布的影响因素应该既包含内在驱动力(“第一性”优势)，也包含外在驱动力(“第二性”优势)，下一步有关影响因素的实证研究应该把这两方面因素结合起来进行综合考量。
(四)齐普夫定律的实证研究小结
迄今为止，有关齐普夫定律实证研究涵盖的研究范围较广，涉及城市规模分布的空间、时间及影响因素等方方面面，大部分研究的结果都支持齐普夫定律，但也有不少研究结果与齐普夫定律相背离，从而对其提出质疑和修订的。实证研究中存在的缺陷主要有：在空间维度上，大部分研究的空间尺度过于宏观(一般为城市/市区或城市群)，且多以行政单元为研究对象，忽视了真正发挥城市功能的城市组团，所以应该将微观空间尺度研究与大都市区空间尺度研究结合起来；在时间维度上，研究城市规模分布动态演化的时间序列往往不够长，需要不断地探索新的数据分析技术来解决这一问题；在影响因素维度上，并没有将影响城市规模分布的内在驱动力和外在驱动力结合起来进行系统研究。就目前的实证研究来看，我们对齐普夫定律的实证研究应遵循的方法论是估计而非验证，即估计齐普夫定律能在多大程度上拟合实际的城市规模分布，而不是验证该定律是否成立。
五、对中国城市规模分布研究的启示
目前，中国城市规模分布研究主要以实证研究为主，理论研究方面较缺乏。而国外的理论模型很难用于分析中国的实际情况，由于中国的城市规模分布不仅受到市场驱动力的影响，更主要的是受到政府政策(如“控制大城市发展，积极发展中小城市”政策、改革开放政策、户口政策及计划生育政策等)的影响，而要将政策因素整合到已有经济模型中存在一定难度。
目前，中国城市规模分布实证研究主要包括三个方面：用各种计量经济方法来检验中国的城市规模分布是否服从齐普夫定律；用时间序列数据来研究中国城市规模是否呈现平行增长；构建计量经济模型来分析中国城市规模分布的影响因素。近年来的主要研究如表2所示。
通过前文对国外城市规模分布研究进展的系统性回顾，笔者认为未来的中国城市规模分布研究可从以下两方面着手：一是充分借鉴国外经验，将国外各种理论流派的思想融会贯通，通过反复验证选择适合中国实际情况的理论模型，并加入中国特色的区位因素与政策因素对模型加以改进，从而构建中国城市规模分布的综合性解释机制；二是参考国外的地理空间研究视角，用新的演算方法定义真实城市界限，基于此重新验证中国城市规模分布是否服从齐普夫定律，并结合多种数据分析技术来研究中国城市规模分布的动态演化过程，在理论研究的基础上构建全新的计量经济模型来分析影响城市规模分布的内在和外在驱动力。
六、结语
总的来说，尽管齐普夫定律及相关测算方法可以很好地拟合各个国家的城市规模分布情况(Read，1988)，可是其并不是万能的，Brakman et al.(1999)对该定律提出了下述批评：首先，该定律中的位序变量是由规模变量转化而来，两者之间不可避免地存在一定内在联系；其次，服从齐普夫定律的城市规模分布格局通常是将较小的城市从城市样本中剔除掉后所得，而这个用于剔除小城市的入口阈值标准并不统一；再次，不是所有国家所有时段城市规模分布的幂律指数都恒为1的，也有大于1和小于1的情形；最后，公式(2)并未涉及齐普夫定律的比较静态效应，由于城市增长是不成比例的(人口集中于大城市会增加幂律指数，人口在各个城市均匀分布会降低幂律指数)，所以幂律指数值并不恒定。
因此，齐普夫定律只是描述城市规模分布的一个简单的统计关系，一个可供直接实证检验的假说命题。关于城市规模分布问题的研究，迄今为止并没有形成公认的结论，仍是区域经济学领域需要继续努力去探讨的重要问题。以上国外研究进展对我们的启示是：中国的城市规模分布研究应结合中国城市体系特点，汲取国外理论研究的新思想并借鉴国外实证研究的新方法，积极探索城市规模分布的形成机理和运行机制，力求深刻把握城市体系的本质，从而全面深入地推进城市规模分布的理论和实证研究，为指导中国的城市规划和城镇体系规划、引导城市规模合理分布提供理论依据和政策建议。