几何命题论证模式教学设计的新视角，本文主要内容关键词为：教学设计论文,命题论文,几何论文,模式论文,新视角论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
虽然教育工作者（教育家与数学家）对于义务教育数学课程究竟应当强调多大量的证明（几何命题推理论证）有着不同意见.但是，仍然有一些令人信服的理由，说明义务教育数学课程应当包括适度的几何命题证明的教学内容.要确定在数学课程中，究竟应当把几何命题证明强调到什么程度，就必须首先合理地确定平面几何证明的认知目标、情感目标，尤其是，对于更深层次的民主社会公民素质目标，支持科学精神的理性思维目标进行深入探讨，然后思考对待证明问题的重要性究竟居于何种程度.对此，首先探讨平面几何命题论证的育人价值.
一、平面几何命题论证的育人价值
学校基础教育目的之一，是培养学生对各种不同智力训练的鉴赏能力，促进其猜想、想象力的发展，体会运用自己的知识，应用自己的智力，从已经掌握的为数不多的已知，找到通往未知的道路，从而将未知变成新的已知，使得认识范围不断扩大，认识层次不断加深，认识结构不断扩展.
我们还要求学生培养自己对逻辑演绎推理的重视和正确评价能力，并且要求他们能在接受义务教育以后，自己会评价和应用这些推理的形式，会应用有效论据的人们，能更好地参与民主制度中的活动，能够建立科学方法论的基础，能避免受无效论据的欺骗.平面几何的命题证明经过一个无倾向的验证手段，通过它，新学到的推理形式可以得到检验、练习、应用和改进.
定理证明也能导致发现新的推理和新的论据.许多人由于自己创造出最初的成果，而得到相当大的满足和喜悦.对一些学生来说，证明一个定理可以是一种有趣的发明创造.定理证明是一种典型的解题技能，因而是数学教育的一个目的，是帮助学生学会一般的、可迁移的解题方法.通常认为，证明定理不是为了去记住他人证明过程，而是为了促进智力发展，帮助人们了解如何学习数学.
证明不仅检验原理，它也可以给出新的证明，帮助学生理解原理，并且通过建立数学事实、概念和原理之间的关系，从而更易于记住它们.定理证明可以帮助学生，构成网状的数学对象以及这些对象之间的相互关系的统一智力结构.从这个意义上说，定理证明可以作先前已学习过的数学对象的课后总结、用作新对象的课前准备.
大多数的数学教育工作者同意我们上面提出来的关于定理证明的这些目的，它们的重要性足以说明证明定理在义务教育阶段学生数学学习中是一项有效的活动.学生应当花费多少时间进行定理证明，以及证明所需要的严格程度如何，都可以由每个教师自己确定.可是，对于构成证明类型和要求证明的严格程度，在绝大部分上取决于学生的智力发展和成熟程度.[1]
波利亚对“为什么要进行数学证明”的问题，作了如下的回答：“如果一个学生不了解这个或者那个特殊数学事实，并不要紧，因为他在以后的生活中，也许很少用到这些事实.但是，如果他没有学会几何证明，他就没有学到证实论据的最好和最简单的例子，也错过了获得严格推理概念的最好机会.”[2]这样，他们就难以适应民主社会公民的生活，这也是科学精神与迷信盲从的分水岭.
教育哲学家阿兰说：“几何学，是自然的钥匙.谁不是几何学者，谁就永不明了他所生活和依存的这个世界.他在对抗的力量面前，会宁凭一时的热情去梦想，自欺自骗，衡量失当，估计错误，这就可能受害和陷入不幸.因而，我绝不同意什么要教授全部自然.不，不是这样，而是要根据客观，按照清晰可见的必然来校正精神（矫正的过程就是从图形直观感觉的误差性，到论理的绝对真理性——引者注）.不要多，也不可少.那没有一点几何必然观念的人，甚至会缺乏外部世界的必然观念.”[3]这就是平面几何命题论证对人类精神所产生的力量.
二、平面几何论证的说理模式
那么，在教学中，怎么引导学生来表达自己已经寻找到了的证明思路呢？平面几何教有教学伊始，即在进行语言教学和概念教学的时候，就要有意识地渗透推理的思维形式结构，及其简单表示方法，让学生知道，图形的直观未必可靠，事理之曲直不能仅仅依靠直观或测量来判断，更不能无根据地想当然，对每个问题都要问个为什么，确定每一步都要有合理可靠的依据（即做到“步步有据”），前后都有明确的因果关系（即“所以”来自于“因为”）.表述有一定的格式（即“格式规范化”）.说理的形式是“因为……，而……，所以……”.
如教学中，讲“两点之间的所有连线中，线段最短”公理时，如图1，引导学生去发现AC+CB与AB的距离哪个大？要指导学生从生活语言中提炼出比较规范的语言“因为‘两点之间的所有连线中，线段最短’，而AB是线段，ACB是折线，所以AC+BC＞AB.”
像这样地教学，学生在开始的时候，可能会有些不习惯，这儿没有捷径可走，要求教师要持之以恒带领学生认真训练.对学生生活中语言进行连续不断地改造，他们应该很快能适应的.事实上，这种说法基本上就是推理论证三段论形式，以后的几何证明表达实际上就是省略了大前提（把大前提注在结论后面的括号内）的三段论式.此外，教师还要针对问题引领学生掌握不同的说理方式.
例如，由直线公理“经过两点有且只有一条直线”推得：“两条直线相交，有且只有一个交点”，教师要有意识地渗透从反面说明问题的方式（即“反证法”），启发他们思考若有两个交点将会怎样？在学生理解后，教师要结合图形（如图2），规范地说成“假如直线AB、CD有两个交点O、P，那么，经过O、P有两条直线AB、CD，这与直线公理‘经过两点有且只有一条直线’矛盾，所以两条直线相交，有且只有一个交点.”
这种说理模式，事实上，是对生活中的说理模式的一种改造，在几何说理中，要注意几何直观的作用，但直观只是进入事物本质的一种向导，真正说理是要依据几何定义、几何公理和几何定理的.“教学大纲”教材，对这种生活中的说理模式改造时间较短，“课程标准”教材在7～8年级的三个多学期中，都是以说理模式为主的.因此，现代几何启蒙教学中，对此已经给予了高度重视.
1.一步推理模式
所谓一步推理，就是从已知条件出发，用一个性质（或一个定义、公理、定理等）得到一个新的结论的过程.它的形式是：“因为……，所以……（理由）.”或者是“因为……（已知），所以……（理由）.”学生在几何启蒙之时，他们的思维结构中说理形式还较为模糊.因此，即使是一步推理教学，也要给学生多次加深印象，逐步改造他们思维结构中的说理模式，缓慢地把这种一步推理结构模式突显出来，教师一定要和学生进行“心理换位”.
所谓心理换位，是指教师设身处地，置自己于学生的心理立场上，模仿学生的心理去发现问题，提出问题，探究问题，获取知识.教师体会学生所已经掌握了的知识，思考问题的能力，思维运行的模式，心智活动经验等.教师要将自己在学习这一知识之后获得的东西（知识、思维能力与经验等）假想成一无所知，以此来揣摩学生知识的发生过程.[4]如此，教师就会深切体会学生在学习数学知识时的那种深陷重围的痛楚，举步维艰的困惑，欲行又止的难局.依据学生知识的心理发生过程，极具针对性地设计出利于学生学习的教学.
在一步推理模式的教学中，要精心设计，反复引导，适量训练.先是教师进行示范，把前面的说理模式写成简化的形式，然后教师给出“因为……，所以……”让学生们作填写理由的训练，用给出“因为……”让他们填“所以……”及其理由，或者给出“所以……”，让他们填写“因为……”及其理由，然后教师写出“头”，“因为（ ）（ ），所以（ ）（ ）”.括号内的知识及其理由让学生去填，这样一步一步地引导，直至学生能独立书写，在作口头训练时也要如此.总之，一步推理教学中，要抓格式，抓理由，抓因为、所以的因果关系.
2.简单命题证明模式
不只一步推理的简单几何命题证明模式，从形式上看，它是具有多个“因为”和多个“所以”所构成的链条，这一阶段，书写的格式已经不能占主导的地位，应把主要的精力放在带领学生对具体要证明的命题进行分析，探索证明命题思路的思考上：①分清条件和结论；②采取“要证什么，就找什么”，获取“中途点”；[5]③选择适合“中途点”的基本图形；④从已知条件作一步或两步推证得到“中途点”，命题得到证明.如此，在对所获得的思路进行表达时，就首先写出满足“中途点”的条件，再由“中途点”配合其他的已知条件得到要证明的结论.
3.一般命题证明模式
“大纲教材”（本文指的是人民教育出版社2001版的几何教材第二册）从第三章第四节“等腰三角形”开始，除了继续进行简单几何命题证明模式教学外，还要进行一般几何命题证明模式教学.它的一般步骤是：
①审题.读（画）图、写出已知、求证；②标图.通过分析与综合，把结论和条件落实到较为复杂的基本图形中去（如果原题设图形中还没有现成的基本图形，就用添加辅助线的方法构造出基本图形）；③从题断，找需知，确定“中途点”（在找寻的中断之处，也往往就是添加辅助线之时），从已知，推证可知，也可以推证出“中途点”；④“中途点”架设起了从已知到结论的桥梁.
这阶段教学的要点是引领学生对具体要证明的命题进行探索思路分析，正如前面在“全等三角形”教学中一样，带领学生依据题意画图、写已知与求证，探索并证明“中途点”依然是推理教学的艰巨任务.
例 求证：如果把等腰三角形的底边向两方向延长相等线段，那么延长线段的两个外端与等腰三角形的顶点距离相等.
这是一道文字题，教学中，引导学生把“文字语言”翻译成“图形语言”和“符号语言”，即写出“已知”和“求证”.
已知：如图3，△ABC中，AB=AC，BD=CE.求证：AD=AE.
说明：在“等腰三角形”这一节的教学中，因为有了较长时间全等三角形推理论证的学习，学生已经形成了较强烈的论证模式定势，因此，在本节教学中，教师应优先选择等腰三角形有关知识.
分析 要证明AD=AE，只要证明△ADE是等腰三角形（第一个“中途点”）.由△ABC是等腰三角形，于是，过点A作底边的垂线AF，垂足是F，即AF⊥BC，知BF=CF①.希望证明AF既是△ADE的边DE上的高，又是DE边上的中线（第二个“中途点”）.因为BD=CE及①，知FD=FE.第二个“中途点”得到证明.
证明 过点A作BC边上的垂线，交BC于F，因为AB=AC，AF⊥BC，所以BF=CF（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）.又因为BD=CE，所以DF=EF.所以△ADE是等腰三角形（一边中线也是这条边上的高的三角形是等腰三角形）.所以AD=AE.
在一般命题证明模式的教学中，要注意的是，辅之以归纳、总结一些常见的提取基本图形或构造基本图形的规律，在探索中帮助学生建立一些常用命题证明模式；但要注意的是不能一切皆套用模式，至关重要的是引领学生在解题中进行真刀实枪地探求与分析，这是培养他们推理能力、提升他们素质的关键所在.因此，带领学生总结模式必须有“度”的把握，不能只是为了套用模式而归纳模式.
三、简要的结论
在课程实施实践中，我们发现，学生数学成绩的分化出现在初中平面几何课的起始课阶段，即正好是出现在从学生学习全等三角形知识点到学生学习等腰三角形的知识点之时.一般认为，原因有如下方面：
其一，平面几何的逻辑演绎的严密的思维为难了学生起始阶段的学习，他们虽然花了大量的时间去阅读几何教材或试图解题，但收效甚微.其二，几何教师的教学方法陈旧，或者说对逻辑推理的教学的先入为主——不能与学生进行“心理换位”，误以为平面几何教学伊始就要教给学生严密的逻辑推理.
这种教学法正效法了“揠苗助长”，学生们听老师讲解清楚明白：一步一步，言之确凿，严丝合缝，推理严密，有令人信服的力量.这使他们误认为几何证明有如先天预成的，是“非学习和训练”所能达到的这种水平.长时间的失望是蚕食自信心和兴趣的瘟神，最后，他们的学习兴趣和可贵的进取心一点点地消失殆尽了.于是，学生数学的后继学习的积极性消退了，饱满的热情也随之进入了冰窖，让他们笼罩在较少成功的阴影中.[6]
几何教师没有认真地研究平面几何推理入门时，说理模式的逐步渗透，而是急于求成地将严格的论证方式几乎不加改变地“移入”学生的心田.形成了平面几何起始课的入门难，深造更难的局面.其实，在平面几何推理入门阶段，教师应该分阶段、小梯级、稳步推进，循循善诱，既不能超越学生心理发展的阶段性，也不要错过捕捉学生心理成熟促进学生发展的关键期.