华师大附属周浦中学 上海 201318
一、问题背景
2005年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷第22题：
二、问题立意
解析几何是十七世纪数学发展的重要内容，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要思想。学习解析几何不但要学会通过合理地建立平面直角坐标系，求得直线、圆锥曲线的代数方程，更要学会运用代数方法研究它们的几何性质及其位置关系。在运用代数方法研究几何问题的过程中，体会几何与代数之间的内在联系，确立普遍联系的观念，拓展研究问题的视野。
本题考查要点：
1.椭圆的标准方程和性质、中心对称等。
2.数学思想有：从特殊到一般思想、数形结合思想、分类讨论思想。
3.数学方法：函数与方程转化等，引导将双曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究方法。
4.通过研究椭圆的平行弦的中点轨迹，对直线与曲线位置关系研究方法有更深刻的理解。这是将知识、方法、思想、能力素质融于一体的命题，也看出高校选拔人才对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力和自主探索能力等提出了较高的要求。
三、问题解法
解法（一）：
（1）略。
作法：类比推理，抛物线的平行弦的中点轨迹在平行于抛物线的对称轴的直线上。
作两条平行直线分别交双曲线于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点E、F，连接直线EF；作直线EF的垂线交抛物线于GH,过线段GH的中点I作直线EF的平行线交抛物线于J,直线IJ就是抛物线的对称轴，点J是抛物线的顶点。
论文作者:赵善华
论文发表刊物:《教育学》2019年5月总第176期
论文发表时间:2019/6/6
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