中考数学探究性试题的新类型及其导向分析，本文主要内容关键词为：中考论文,导向论文,试题论文,探究性论文,类型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“探究是数学的生命线”，探究性试题历来是中考中最为活跃的一类题型。这类试题突出的特征是非常规，不是课本内容的简单模仿，也不易通过反复演练就能完成，需要更多的创造性，能较全面地考查学生的数学素养。本文试通过对2008年、2009年部分此类试题的剖析，着力捕获其所显露的“前沿信息”，挖掘其内在的“暗示功能”，以期对我们进行教学改革和指导学生复习有所帮助。
一、命题变换型
图1-1
例1 （2008年绍兴市）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图1-1，点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上，且BM=CN,AM与BN交于点Q。求证：∠BQM=60°。
(1)请你完成这道思考题；
(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC、CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①＿＿；②＿＿；③＿＿。并对②、③的判断，选择一个给出证明。
简解 (1)略。(2)①是；②如图1-2，是；③如图1-3，否，∠BQM=90°，证明略。另外，(2)中第③个问题还可拓展为更一般的问题：若将题中的条件“点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M、N分别在正n边形ABCDEF…的BC、CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？
图1-2
图1-3
评注 通过对命题变换（条件与结论的互换、隐去部分条件或结论、运动、特殊化或一般化等方式）来设计开放性问题，既是命制探究性试题的一种最基本方法，也是培养学生创造性能力的重要途径之一。在以往试题中，通常是就命题变换的某一方面加以展开，而在一道试题中同时从三个角度来研究尚属首次，它的出现使此类试题又有了新的发展空间，必将得到命题专家们的高度重视。这也启发我们在平时教学中要有意识地抓住教材中的一些典型例、习题，从多角度、多途径去变换命题，从而培养学生思维的灵活性、深刻性、批判性和发散性。
二、实验探究型
例2 （2008年湖北省咸宁市）如图2-1，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线。
实验与探究：
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0)，请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：B'＿＿、C'＿＿；
归纳与发现：
(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线J的对称点的坐标为＿＿（不必证明）；
运用与拓广：
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q坐标。
图2-1
图2-2
评注 实验操作是研究数学最根本也是十分有效的方法。数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”实验类探究题一直在中考中占据重要地位。但其面貌悄然发生着变化，打破了以往通过三角板、量角器、圆规等工具来研究几何问题的常规模式，其知识涉及面更为广泛（代数也可搞实验），其操作方式也更简便易行。本题在平面直角坐标系下从数的角度来研究几何问题，其操作的方式就是准确地画图，考查学生由特殊到一般猜想的能力和构建几何模型解决问题的能力。这也说明数学实验并不需要数学实验室，我们的课堂就是实验阵地，只要抓住点滴机会，就能创造出生动活泼的实验教学。此外，还可以走出课堂，走到与我们现实生活息息相关的实际中去，自然和社会为我们提供了丰富的实验内容。
三、方案设计型
例3 （2008年南通市）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16 cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面。他们首先设计了如图3-1所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图3-2所示的方案二。（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切。方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
图3-1
图3-2
(1)请说明方案一不可行的理由；
(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由。
评注 方案类探究性试题通常是创设一种实际操作的情境，要求学生首先能理解题意，然后再用文字语言或图形表述设计方案，最后给予解答，由于学生知识和能力的差异，使得方案具有不确定性与多样性，重在考查学生的创新思维能力。此类试题显著变化的趋势是以方案设计的合理性看应用的深刻程度，以设计质量看创新能力的高低，更着重考查学生综合运用知识解决实际问题的能力。在教学中必须创设机会让学生亲身实践，鼓励学生积极地去探究，让学生在现实中寻求解决问题的方案，才能在考场中拿出自己的方案。例3需通过计算进行合情推理，对思维灵活性提出较高要求。
四、几何建模型
构建数学模型，就是在题设条件下，忽略其非本质因素，将研究对象的本质要素通过数式或空间形式凸显出来。建模类探究性试题其处理的核心是转化和联想，关键是从纷繁复杂的背景中寻找到有用的模型，从而使复杂问题变得简单，使抽象问题具体化，使新问题可转化为熟知易解决的问题。以往此类试题更多的是涉及代数模型（方程、不等式、函数、统计等），而在几何模型构建上突破不多。值得庆幸的是2009年漳州市命制了一道源于课本的几何建模题，尽管其模型是学生所熟知，且直接告知，但其打破了此类命题停滞的态势，为今后中考试题的发展与创新提供了一个较好的范例，值得引起我们高度的重视。
例4 （2009年漳州市）几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点。问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小。
方法：作点A关于直线的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小（不必证明）。
模型应用：
(1)如图4-1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点。连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称。连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是＿＿；
(2)如图4-2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
(3)如图4-3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。
图4-1
图4-2
图4-3
简析 应用(1)是模型的直接运用，进一步加深对此模型的认识。应用(2)需利用圆的对称性找到点A或点C的对称点。应用(3)则由单一的对称发展为点P关于两直线的对称问题，其对思维灵活性要求较高。答案为：
。
五、阅读理解型
“阅读理解题”是中考中出现频率较高的一类试题，其通常是给出一段文字，让学生在充分阅读的基础上，深刻理解蕴涵在其中的内容、方法及思路，把握其实质，然后作出解答，突出对学生阅读理解、归纳整理、抽象概括等能力的考查。近年来呈现如下新特点：阅读信息量增大，材料来源于生活实际或初、高中衔接知识，使背景更趋于公平，难度也由中档题逐步向探究要求较高的综合题转变。下例融阅读理解、实践应用、拓展联想于一体，新颖别致，较好地考查了学生理解和运用新知识解决新问题的能力，重点考查整体以及特殊到一般等数学思想的运用。
例5 （2009年河北省）如图5-1至图5-5，⊙O均作无滑动滚动，
均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c。
阅读理解：
(1)如图5-1（下页），⊙O从
的位置出发，沿AB滚动到
的位置，当AB=c时，⊙O恰好自转1周。
图5-1
图5-2
实践应用：
(1)在阅读理解的(1)中，若AB=2c，则⊙O自转＿＿周；若AB=l，则⊙O自转＿＿周。在阅读理解的(2)中，若∠ABC=120°，则⊙O在点B处自转＿＿周；若∠ABC=60°，则⊙O在点B处自转＿＿周。
图5-3
拓展联想：
图5-4
图5-5
(1)如图5-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点0的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由。
(2)如图5-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数。
六、问题解决型
“问题解决”已成为当下数学素质教育的核心内容，也是学生进行终身学习所需具备的重要技能。因此问题解决型试题是近年来最为活跃的一类探究性试题，特别是2009年这一类型题的考查力度进一步加大，让学生真真实实经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”这一“做”数学的过程，此类试题必将在未来的中考中得到命题专家们的青睐和拓展。
典例可见江西卷、陕西卷、湖北宜昌卷等，限于篇幅，不再详述。
通过以上对中考探究性试题新特点的分析，我们不难发现此类试题以“问题”作为其切入口去激发学生提炼和构建数学模型，让学生能从实际背景中“看到”数学；通过“活动、探究”的展开去应用和拓展数学模型，使学生经历“做”数学的过程。我们期待着有更多更精彩的探究性好试题诞生！让学生在数学的海洋里“海阔凭鱼跃”，在数学的天空中“天高任鸟飞”！