高考数学创新试题命题方向分析，本文主要内容关键词为：命题论文,试题论文,高考数学论文,方向论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近年来高考数学命题出现了不少高质量的创新试题，这些试题新颖脱俗、思维灵活多变，不少同学感到难以把握。我们下面精选部分有代表性的创新试题，对其命题方向作详细地分析，并适当出一些预测性试题供读者练习，以开拓视野，提高应变能力。
1 数学史上的著名问题的简化情形或引申问题
数学史上有许多著名的问题生动有趣、引人入胜。其中有的问题可经过适当处理后（比如，研究历史名题的简化情形，或引用其解决问题的思路、办法等）进入高考试卷。如著名的“七桥问题”，18世纪著名的数学家欧拉（Enler,1707～1783），把这个实际问题进行了巧妙的抽象：把问题中的小岛、陆地看成“点”，问题中的桥看成点与点之间的连“线”，原问题就变成了点与线的连接关系问题，最终变成了所谓“一笔画问题”。图论这个数学分支就是从那个时候逐步发展起来的，欧拉的这种抽象化思维方法对后人产生深远的影响。又如组合数学中的“错排问题”（又称“装错信封问题”、“乱坐问题”等等）具有丰富的生活背景，其一般情况的讨论需要利用容斥原理，但元素个数较少时可以考虑作为高考试题。
例1 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
（1993年高考数学第17题）
分析和解 本题为“错位排列”问题。当元素个数n＝4的情形，我们可将这个问题抽象为：用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，那么，每位上的数字都不等于位数的4位数有多少个？ （位数可认定从左向右或从右向左中的任一种考虑），由于数字不大，可试用穷举法解决；2143、2341、2413（2在第1位的情形）、3142、3214、3412 （3在第1位的情形）、4123、4321、4312（4在第1位的情形）。共9种，选（B），（如考虑到2，3，4在第一位具有对称性，可只具体写出第一位2（或3、4）的情况，然后乘3即可。注：一般情况的错位排列数公式为
评析 本题是一道排列应用题，旨在考查考生的阅读理解能力、逻辑思维能力和排列的基本知识。这道题思考方法很多，此处采用穷举法直接试验（返回原始），主要提醒读者不要忘记最基本的方法。
例2 海上有4个小岛，要修建3座桥，将这4个岛连接起来，共有多少种不同的建桥方案？
分析和解 本题和“七桥问题”没有什么关系，但我们在求解时可借鉴其抽象化的思维方法：把4个小岛看成是平面上的4个点A，B，C，D，把桥看成连接点A，B，C和D之间的线段AB，AC，AD，BC，BD，CD。则修3座桥就转化为从6条线段中选3条线段的问题，结果好象是C[3][,6]，其实不然，因为题意要求把4个岛全连起来，如其中任一个小岛不连（同时去掉与之相连的3条连线），余下的小岛仍可连接3座桥，这种情况应除去，所以结果为C[3][,6]－4C[3][,3]＝16。
例3 研究下面的猜想：如果正确，请给出说明；如果不正确， 请举出反例。
对所有的自然数n，f（n）＝n[2]＋n＋41总是质数。
分析和解 由于有关质数的结论初等数学基本上没有介绍，所以我们只能从最简单情形进行尝试和探索：
若n＝1，f（1）＝1＋1＋41＝43是质数；
若n＝2，f（2）＝2[2]＋2＋41＝47是质数；
若n＝3，f（3）＝3[2]＋3＋41＝53是质数；
若n＝4，f（4）＝4[2]＋4＋41＝61是质数；
一直可验证到n＝30，f（30）＝30[2]＋30＋41＝971。仍是质数，这似乎可以让我们作出不完全归纳：对所有的自然数n，f（n）＝n[2]＋n＋41总是质数。事实上，这个猜想是错误的，令n＝41，f（41）＝41[2]＋41＋41＝41×43，显然不是质数。（其实，容易看出，n＝40或41k，其中k为自然数，f（n）都不是质数。）。
评析 如果说，数学问题是数学的心脏，那么，数学猜想当属数学问题中最重要的一种情形。历史上有许多非常美妙的猜想，无论正确与否，现在多已得到了明确的答案。目前世界上影响最大的、悬而未决的猜想当是“哥得巴赫猜想”的“1＋1”问题。我们这里介绍这个例子主要是告诉读者：尝试和探索应注意一般与特殊相结合，不完全归纳法所得结果是不可靠的。
2 联系高等数学背景产生的高考题
2.1 和二元运算有关的试题（新定义符号运算※或*等）
关于新定义符号运算※或*等曾一度在各级初中数学竞赛中广泛流行，这种定义符号运算（如※或*等），基本上属于二元运算的范畴（所谓二元运算是指：对一个非空集合G，定义运算符号“*”，使得对于任意的α、β∈G，有α*β＝r∈G，则我们就说在集合G上定义了“*”二元运算）。比如，在复数集C上定义通常的“＋、－、×、 ÷”（除法的分母不等于0）4种运算都是二元运算。求解新定义符号运算这类试题的关键是设法把抽象运算转化为通常的运算。
例4 若记号“*”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a*b＝（a＋b）／2。则两边均含有运算符号“*”和“＋”。且对于任意的3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是______。
（2001年春季上海高考数学试题）
可选前面4个（写全为6个）算式中的任意两个构成等式，等等。
相关的预测性练习：（自编题）若α，β是任意复数，用符号（α，β）表示对α，β进行某种运算，其结果为一个复数，试写出（α，β）的模的平方│（α，β）│[2]的另一种形式___（结果中除了α，β外，不得引入其它字母，且不得出现根式或指数形式）。
简解 本题的命制是受高等数学的复内积空间中的复内积定义之启发，并把二元运算符号以括号的形式给出，但考生只要能抓住题中的一句重要的话“（α，β）表示一个复数”，并联想到复数中的一个重要公式
2.2 计算方法中的以直代曲辩证思维的运用
例5 如图2所示，把函数y＝f（x）在x∈[a，b]之前的一段图象近似地看作线段AB，设a≤c≤b，则f（c）的近似值可以表达为 （ ）
