数学活动经验视角下的数学教学，本文主要内容关键词为：视角论文,数学教学论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中国数学的“双基”教学是植根于中国本土的教学理念，带有鲜明的中国特色，是数学教育的中国道路[1].随着时代的进步与发展，数学“双基”教学的理念又不断地被注入了新的活力.史宁中教授在2006—2007年数学教育高级研讨班的发言中首次提出了“要在双基的基础上加入基本思想方法和基本活动经验”的观点[2]，而后又撰文指出：“希望能够继续保持促进学生理解数学的基本知识，训练学生掌握数学的基本技能之外，要启发学生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验”[3]，张奠宙先生为此撰写编后漫笔，指出“这是一个很好的建议”，并提出还需研究“什么是数学活动经验？如何加以界定？”等问题[4]，由此引发了数学教育研究者的关注和重视. 学界对于数学活动经验的认识观点多、视角广，虽然学界对于数学活动经验的内涵并没有形成统一的认识，但所有的研究者都从不同的角度突出了“学生的数学活动经验是在做数学的过程中形成的，它的产生和形成实质上是学生经历数学活动的过程”这一基本想法.著名数学教育学家斯托利亚尔指出，数学教学是数学活动的教学.因此，数学是“做”出来的，在“做”数学的过程中，学生不断地积累数学活动经验，与此同时也能获得在活动过程中产生的基本知识、基本技能和数学基本思想. 基于对数学活动经验的认识和理解，近年来笔者在促进学生数学活动经验的积累方面作出了有益的探索和思考，现以笔者近期在张家港开设的市级公开课“映射的概念”为例，分享自己对于数学活动经验的所学、所思和所悟，敬请同行指正. 1.创设情境，形成概念 活动1：观察下面的例子，用箭头图表示下列两个集合中元素的对应关系. （1）集合A=｛全班同学｝，集合B=｛全班同学的姓｝，对应关系是：集合A中的每一个同学，在集合B中都有一个属于自己的姓. （2）集合A=｛江苏，山东，山西，江西｝，集合B=｛南京，太原，济南，南昌｝，对应关系是：对于集合A中的每一个省，在集合B中都有一个省会城市与之对立. （3）集合A=｛0，-3，2，3，-2，-1，1｝，集合B=｛9，0，4，1，5｝，对应关系是：集合A中每一个数，在集合B中都有与其对应的平方数. 问题1 观察这三幅箭头图，找出三个对应关系的共同特点和不同点. 问题2 我们知道，（3）中的这种从集合A到集合B的非空数集的对应叫做函数，我们把（1）和（2）这类从集合A到集合B的非空集合的对应称为映射，请同学们一起概括映射的概念. 一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记为：f：A→B. 问题3 我们通过观察特殊的案例，归纳出了案例的一般特征，进而给出了映射的概念.这个过程体现了何种数学思想方法？ 【设计意图】在学习映射之前，学生头脑中贮存有关于函数的概念的基本经验.因此首先激活学生的已有经验，以学生的已有经验作为新知的生长点，自然地引出本课要探究的课题.同时，通过大量丰富的实例，引导学生观察案例的联系与区别，自主感知并提炼映射的概念，促进学生积累“映射的概念”与“从特殊到一般的数学思想方法是研究数学问题的基本套路”的数学活动经验. 2.自主探究，应用闯关 活动2：如图1所示的对应中，哪些是从A到B的映射？
活动3：下列对应关系中.哪些是从A到B的映射？为什么？ （1）集合A=｛P｜P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应. （2）集合A=｛P｜P是平面直角坐标系中的点｝，集合B=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标（有序数对）对应. （3）集合A=｛x｜x是三角形｝，集合B=｛x｜x是圆｝.对应关系f每一个三角形对应它的内切圆. （4）集合A=｛x｜x是本校高一年级的学生｝，集合B=｛0，1｝，对应关系f：男生对应0，女生对应1. 活动4：请学生尽可能地举出关于映射的实例. 【设计意图】李邦河院士在《数的概念的发展》一文中指出，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”本节课的重点在于理解映射的概念，能判断给出的对应是否能构成映射.本环节的设计意图在于通过三个活动，在“玩概念”的过程中使得学生对映射的概念从模糊的、感性的认识上升为深刻的、理性的认识.与此同时，采用让学生自由讨论和举例的方法，多引导学生从其他学科或生活中列举映射的实例，例如物质和物质的密度，各大行星和它们与地球的距离，图书与出版社等等，让不同学生之间的思维方式方法得到启发与互补，吸纳他人有益的数学活动经验. 3.讨论研究，深化应用 例1 已知映射：f：A→B，A=B=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A中的元素（x，y）在f的作用下对应B中的元素（3x-2y，4x+3y）. （1）求（-1，4）在f的作用下对应B中的元素； （2）若A中的元素（a，b）在f的作用下与B中的元素（4，11）对应，求a，b. 例2 已知集合A=｛x，y｝，集合B=｛0，1｝，构造从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少种映射？ 思考1：集合B中的元素0和1，可以根据情况赋予它们不同的含义，例如将集合中的元素0和1定义为“不属于”和“属于”，如果集合A中的某元素对应集合B中的元素0，表明该元素不在集合中，如果集合A中的某元素对应集合B中的元素1，表明该元素在集合中，即
请将上述的四个映射写成四个集合. 思考2：通过观察不难发现，这四个集合恰好是集合｛x，y｝的子集.请用映射表示｛1，2，3｝的所有子集. 思考3：请从映射的角度解释含有n（n∈N）个元素的集合的子集个数为
个. 例3 象棋盘上的马，从角上出发跳了9999步，能回到出发点吗？ 【设计意图】三个例题的辨析与讨论，是对学生已有“映射的概念”这一数学活动经验的再生和再认，可以进一步深化学生对概念的认识，引导学生形成稳定的数学活动经验.例2从映射的角度重新审视集合中子集个数问题，是对学生已有经验的巩固、补充和加深，利于学生形成新的、更高层次的数学活动经验.用本节课掌握的知识解释实际生活中的问题，让学生经历数学知识从生活中来，再回到实际生活中去的过程，把象棋盘上的点染成黑白两种颜色，实质上设计了一个从格子点集到两元素集｛黑，白｝的映射，通过生活中的实例可有效地增强学生应用数学的意识，有研究认为：数学应用意识的形成可视为数学活动经验形成的标志，从而深化学生积累的数学活动经验. 4.总结反思，提高认识； “映射的概念”的课堂小结 （1）映射的概念：什么是映射？映射概念的要点是什么？（基本知识的回顾） （2）怎样判断给出的对应是否映射？（基本方法、基本技能的回顾） （3）在概念的形成过程中，遵循了怎样的研究方法？（研究方法和研究经验的回顾） 【设计意图】一个有效的课堂小结，不仅应包括基本知识、基本方法的回顾，还应将研究过程中学生获得的研究方法和研究经验纳入到课堂小结之中[5].知识、技能与做法，主要是指学生通过数学活动过程在知识与技能方面的收获，既包括刻画静态的数学对象陈述性知识，也包括表明“如何做”的产生式的程序性知识与技能.通过对基本知识和基本方法的回顾，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己的数学语言对问题进行概括，从而将数学知识内化为自己的结果性活动经验.与此同时，人们对数学问题的认识往往是经历从特殊到一般的思维过程，学生还需在教师的引导下对数学知识形成过程中体现的研究方法和研究经验进行适当的总结和反思，如此才能确保数学知识有序、自然地发展，促进学生数学活动经验的持续生长. 1.为学生数学活动经验的生长创设有效的问题情境 学生数学活动经验的获得必须通过自身认识的努力，因此学生活动动机的有效激发是数学活动经验生长的前提条件.数学的发展过程可以看成是以下模式：问题的提出→问题的解决→新的问题的提出→新的问题的解决→……，可见问题的提出与解决对于数学研究至关重要.数学课堂教学是关于数学的教学，因此，数学课堂教学的过程也就是提出问题、解决问题、提出新问题、解决新问题的过程. 数学新课程改革倡导“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的课程模式，苏教版教材的内容组织形式为：问题情境—学生活动—意义建构—数学理论—数学应用—回顾反思.可见，课程改革将问题情境作为数学知识产生的源头.由此看来，数学课堂教学的起点是问题情境的创设，教师要利用问题情境有效地激发学生的活动动机. 什么样的问题情境才是有效的呢？课程标准明确指出：“要让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”[6].使学生能够从问题情境中发现问题、提出问题.由此看来，创设情境本身不是目的，发现问题、提出问题才是创设情境的意图所在.因此.新课程所倡导的“问题情境”其核心并非是单纯的情境.而是隐含着数学问题的情境.如果一味只关注情境而忽视数学问题，学生难以形成问题意识，提出问题的能力也就薄弱，面对数学缺乏深入思考的欲望，缺乏探究数学知识的能力，不利于学生活动动机的激活，从而也不能有效地促成学生数学活动经验的生长. 2.为学生数学活动经验的生长留足充分的生长时间 数学活动经验，是动作与心智交互作用的结果，要引导学生亲身经历，要“带着问题”亲身投入到数学活动中来，进行积极地观察、操作、实验、猜测、归纳、推理等活动，形成丰富的数学活动经验.因此，在数学课堂教学中，要注重学生的主动参与、成果交流，强调数学活动经验在学生的经历、自主探究和交流共享中的自然生长.教师不能急于数学知识的生成，不要让学生的经历、自主和交流演变成假性参与和假性交流，要把时间和机会留给学生，把课堂还给学生，把自己的精力放在鼓励学生自主探索和合作交流上，才能实现真正意义上的数学活动经验的有序、自然的生长. 3.为学生数学活动经验的生长提供经验反思的时机 每个个体都会从已有的实践活动和经验中寻求从事新的实践活动的重要启示和生长点，但必须给个体留足经验反思和内化的过程与时机，数学活动经验的生长也不例外.数学活动经验的反思，其目的在于引导学生形成稳定的数学活动经验，它是对已有活动经验的深化与发展，也是利于学生数学活动经验有序、自然生长的必要条件. 教师要给学生数学活动经验的生长提供经验反思的时机，要让学生对数学知识形成过程中体现的研究方法和研究经验进行适当的总结和反思；要让学生对积累的数学活动经验进行深刻的比较，选择适合生长的数学活动经验；要让学生不断地进行经验的交流与共享，将他人好的数学活动经验内化为自己的数学活动经验.学生只有积累了稳定的数学活动经验，才能在新的数学学习活动中利用这些经验进行新的生长.
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