齐敏佑先生对数学教育若干问题的看法--采访齐敏佑先生_数学论文

齐民友先生对数学教育若干问题的看法——齐民友先生访谈录，本文主要内容关键词为：若干问题论文,访谈录论文,看法论文,数学论文,齐民友论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      齐民友教授是中国著名的数学家，历任武汉大学数学研究所副所长、研究生院院长、副校长、校长.曾任国务院学位委员会数学组成员、中国数学会副理事长、湖北省数学会理事长、湖北省科协副主席等.齐先生在数学方面的研究工作主要集中在微分方程领域，在双曲方程柯西问题研究中取得许多重要的成果.

      齐先生学问精深、学识渊博，一直从事偏微分方程的教学和研究工作，撰写过《线性偏微分算子引论》、《现代偏微分方程理论》等关于偏微分方程的专著；他也很重视数学教育和数学思想的推广与普及，撰写有《数学与文化》、《重温微积分》等著作，不仅培养了众多优秀数学人才，还十分关心数学教育事业的发展，发表了很多有独到见解的文章.这些文章题材广泛、观点明晰、思想深刻、见解独到[1].

      在教育变革的过程中，教师无疑扮演着十分重要的角色.促进教师专业发展越来越受到教师教育工作者和各级政府的关注，改革教师教育的职前课程、培养方法，提高对新入职教师的指导实效，建立一支高质量的教师队伍是全社会的共同诉求.随着中小学教师专业标准的制订，中小学教师入职考试的启动，《义务教育数学课程标准（2011年版）》的正式颁布，等等.中国数学教育中的许多问题愈发引起大家的关注.

      经过之前的预约，2014年7月17日上午，王尚志教授（以下简称W）等在武汉大学的齐民友教授（以下简称Q）家中拜访了齐先生并就数学教师职前教育和数学教育的相关问题进行了交流.在两个多小时的访谈时间里，大家分享了齐先生关于数学教育若干问题独特的看法和深入的思考.

      二、访谈实录

      1.关于数学教师职前教育

      W：齐先生，是不是可以提高对教师专业的一个要求？即从国家层面提出一个教师专业标准.比如说，入职的老师，合格的老师，优秀的老师，还有专家型的老师，要不要对他们提一些建议和要求，这样对他们的发展会好一点.我想一个特别重要的问题就是对于数学职前教师，他们应该知道些什么.这是一个问题.我们想听听您的意见.

      Q：数学界的许多人都在关注优秀中学数学教师的培养，这反映了他们对数学教育越来越大的兴趣.对教师的培养，首先要使他们具有最低限度必须要知道的数学知识.另外，在最低限度以上，教师必须要有一些自己不断追求、慢慢往上走的意识，要不然教师的眼界问题就永远没办法解决.他就会引导学生越走越偏.所以我倒觉得这个问题，大城市应该还好办一些.但是像北京四中、人大附中这样的学校，全国有几个？在北京也不多.中西部城市就少一些了，更何况农村学校.

      我退休后，时间比以前自由一些，近几年有这个机会，到乡下跑一跑.到原来的生产队里去，那里的老师跟武汉市的老师那就不可同日而语了.所以，我觉得只有一个办法，从政策上，从思想上，应该鼓励教师往前走.

      W：齐先生，就我国而言，培养未来的数学教师，主要还是师范院校，那么您对现在的师范院校数学教育有什么建议？

      Q：我给您讲一个故事.有一次，在汉阳三中，他们让我给学生讲一点东西，恰好那个时候杨利伟上天，讲到椭圆轨道，我讲椭圆a≥b，他们老师跟我说：“我们讲的都是a大于b，不能等于b.”后来出高考题和别人谈这个事情，就有一个发现：高校教师与中学教师想法不一样.高校来的教师，总想把问题推广，把a＞b，改成a≥b，把圆也包括到椭圆中；但是中学来的教师总想把问题区别化，就只能a＞b，不能a=b.有一个县里来的老师说：我们考学生的时候，就会故意出些题，搞几个陷阱，a=b就错了.

      把特例与一般情况对立起来不是好习惯.试想想，不把圆算作椭圆，有什么好处？把圆算作椭圆有什么坏处？卫星轨道一般是椭圆，但在最常见，最有用的情况下确实是圆：我们没有理由认为这些最常见的情况属于另一种理论.从历史上看牛顿在得出行星轨道为椭圆时，确实是从圆这个特例开始的.他在《自然哲学的数学原理》一书中很明白地说明了他的结果部分地来自惠更斯关于圆周运动的向心加速度理论（另一部分来自伽利略关于抛物体的抛物线轨道理论）.从数学上看，圆之为“特”究竟“特”在哪里？下面看一个例子.准线方程x=±a/e，对于圆e=0，准线成了无穷远直线.在射影几何学里，全都有令人满意的解释！

      在培养师范生时，在中学数学研究这方面的课程上，要认真地让学生懂得这些道理，知道现在对中学生讲的东西是哪里来的.现在师范院校有一个很大的毛病，忘记了自己的学生，很大部分将来要到中学去.你不说别的，从就业来讲，把这一块丢掉，师范院校根本站不住.

      2.职前数学教师的数学学科知识

      W：齐先生，我记得您在一篇文章中写道：作为教师需要好几种不同的数学知识.例如，关于数学领域的知识，关于如何有效地表述这些思想的知识以及如何估计学生对其理解程度的知识等[2].那么，您认为，下列哪些数学知识对于入职教师是必须具备的：逻辑、代数、几何、数学分析、统计概率、离散数学与组合数学、数学建模与数学实验、数学史.是否还需要添加其他的数学知识？

      Q：对入职教师而言，逻辑、代数、几何、数学分析，到概率统计为止，当然最基本的组合数学知识应该是中学老师入职时必备的知识.这些是最基本的也是最基础的知识.离散数学、数学建模与数学实验，是更高要求，不太容易.有些东西希望知道得更多一点，这个界限我还不太清楚.专家型的教师，这个范围可以大得很多，不是那么绝对的，可以稍微有点模糊，这样老师们就有上进的可能，以及推动他们上进的动力或者“压力”.这个问题是世界性的，不只是中国的问题.当然，我们不要希望所有人花3～5年时间都能达标，这是不可能的事.中国这么大的一个国家，我们中学数学老师几百万人有吧.提出教师要具备这些知识的目的在于，让中学老师知道天外有天，数学不是几本教材教辅组成的，教好和学好中学数学绝不只是会解一些难题，根本不是那么回事.

      教师是一个专业性很强的职业，不是什么人都能随随便便去指责一位中学或小学老师是讲对了还是讲错了.前两年出了一件事，武汉一家小报，不记得是哪个记者尖锐地指责一个小学老师，因为她出了个题目让小孩解决一笔画问题.10个同学，你们家在哪里？你们设计一条线路，每家都走到，最短的线路.记者骂得要死，说这个问题中学生没法解决，只有某某大学的某某教授才能解决.记者的结论是小学生负担太重就是这样来的.从本质上说，这个问题之难涉及计算复杂性理论.我自己说不清楚，想来那位老师也没有这个意思.从这个意义上说，现在世界上还没有一个人能解决，它是著名的未解决的重大问题之一.但是在实际生活中这类问题很多.例如去年冬天，记得小报上说长春遇到一个大问题：下大雪，要怎样安排扫雪车？这就与一笔画有密切关系.还有现在物流业发展那么快，怎样安排物流线路就是一件大事.这也是一笔画一类的问题.我当然解决不了，但是让学生做一笔画问题，班上的10个同学，设计一条线路，这是很有趣味的问题，可以启发学生们的兴趣，有什么坏处？我记得当年出过一套书，其中姜伯驹教授写过一本，就是讲一笔画问题，那本书写得非常好.组合数学、离散数学，这类问题特别多，与实际生活的关系越来越密切.但是这些问题，高考是没办法考的.现在一个严重问题就是高考不考的问题就得不到中等教育的“准入资格”.这比教师的入职要求难得不可以道里计！其恶果就是扼杀中学生（特别是优秀中学生）的创造热情.一个好的中学生，可能对这类问题很感兴趣.如果感兴趣，以后可能再去研究，但是现在仅仅因为不能进考场就不让中学生接触，其害处很明显.

      W：齐先生，我们同意您的说法.一个入职教师，起码的东西要知道.如实数、函数、微积分等.林群院士、文兰院士他们认为还应该知道一点多元微积分，我觉得这是有道理的.另外，他们认为，如果对老师的要求太低了，将来师范很多学生不好好念书.

      Q：对师范生要求不能太低，要求稍微高一点，那不是有点好处，是有极大的好处.

      W：齐先生，一些教育理论者认为，要成为一名合格的教师，他需要具备诸如教学活动设计、实践、评价、反思以及教育技术等很多方面的能力，您认为数学教师的核心素养应该是什么？

      Q：一个关键性的问题，就是教师的教育思想和教师的数学素养.这是一个很大的问题.至于在数学教学实践方面，我认为，教师在教学时，至少应该提一些让学生感兴趣的问题.并不是教学必须要有这类问题，但是也不能一点都没有.一点都没有的话，把中学教材变成一个习题集，这就搞偏了.另外，教师的思想需要转变，数学的好坏与数学考试成绩的好坏是两个不完全相同的概念.这里讲的还只是思想的转变.对于合格的教师，这些知识的最低限度确实必须要知道，否则转变思想也就成了空话.

      3.职前数学教师的学科交叉知识

      W：刚刚我们探讨了一名合格的数学教师应该具备的基本的数学知识和能力，那么除此之外，您认为还应该掌握些什么知识？

      Q：有一种观念认为，数学老师讲好数学也就够了.我曾到过一所高中，试着给高一学生讲了一次卫星轨道，其中涉及的物理知识，也就是能量守恒，离心力等.后来，数学老师说，我们讲椭圆，提到开普勒定律也就为止了，不会去讲如何利用它来计算神五的周期、不会去解释为什么神三、神四绕地球一周都是一个半小时左右.物理老师说，神舟上了天，当然要在物理课里讲，但是没有想到，用一点数学以后，反而更好讲了.看来是大家都怕“越位”，所以本该每人向前走半步，反成了每人向后缩半步.为了推进数学教学的改革，教师的知识结构是一个需要特别关注的问题.但是，对于学生是另外的情况.不论是数学还是物理，对他们不存在“术业有专攻”的问题.特别是一些优秀的学生，求知欲望很强，时常提出意想不到的问题.

      数学要接近生活.例如，如果学生看了王亚萍天空讲课，很可能要问几个关于陀螺的问题.当然他首先会去问物理老师，但是我想过，如果问到我，我就遭殃了，因为我在大学学过理论力学，知道陀螺问题就是刚体转动的问题，是非常难的.陀螺为什么会这样呢？现在的老师们遇到这个问题，可以推脱由于专业知识的限制，这个知识点是你的，那个知识点是我的，不可能都讲清楚.跟中学生讲卫星的事情，中学老师会觉得这不是我的事，你不能因为今年放了卫星，数学教材就要改编，明年我又放个什么东西那教材怎么办呢？

      前天看到报上讲到探月计划第三步时，说有一个探月舱现在位于地月系统的拉格朗日点

处.这是什么意思呢？我在给大学生讲卫星轨道时，提到过拉格朗日点

，当时只觉得有趣，找到一些图也很好看，没有想到这才几年，它也成了我们生活中的事了.深感我们如果不努力提高自己，“就连科普也做不好了”，这样说是看不起科普，是很不对的.应该说努力赶上形势不止是中学老师的事！那就在于教师，教师应该知道，现代的数学教学就是这么回事，他必须随时准备提高自己，这样才能让学生多了解一些事情.作为教师不仅要懂得本专业的知识，还应该了解相关专业的知识，这样，遇到类似问题的时候才能给学生一个满意的解释.

      4.关于中外数学教育的比较

      W：齐先生，您在一篇文章中说过：美国人有一个很广泛的看法，学好数学的能力是天生的.小孩子如果小时候数学就跟不上班，就会被认为数学“完全不行”，后来就会被归入“不能学数学”的那一群.学生按能力分成不同级别.最好一级的少数人被培养去考大学，差生只学一点最浅的数学内容[3].那么，齐先生您是如何看待中美数学教育的？

      Q：我认为，对我国数学教学的成绩不可以妄自菲薄.在国际数学奥林匹克竞赛中，我国取得了突出的成绩，举世为之震动，这是我们几十年、几代人努力的成果的一个体现.它说明：我们的青年人是朝气蓬勃的、积极向上的，是世界上少有的好青年.它也说明：我们有一个非常好的数学教师队伍，当然，其他学科情况也大同小异，这是我们民族的骄傲.它还说明，我们的教学是成功的，不论在基础训练上以及在选拔杰出人才方面都有经得起考验的一套办法.我觉得过去我们对中国数学教育水平估计不正确，认为美国比中国好很多.我们应该换一个角度来想：中国的基础教育，数学这块，是中国很宝贵的资源.从人力资源来看，我们有许多教师受过良好的教育，这是人力资源很重要的一块.

      在美国的时候，我有一次去买东西，2美元.我给他10元的钞票，找我8美元不就可以了.可是人家总想用计算器，没有计算器怎么办呢？他拿出一些零钞票，拿出一张，口里说3元，然后4元，5元，6元……最后数到10元，就把这些零票子给了我：看来只会做加法，不会做减法.

      我的一个孙女，在美国，从中学到大学念书，现在大学毕业，已经工作了.她的妈妈告诉我，她从进高中以后，很少晚上12点钟以前睡觉的.当然，孙女拖拖拉拉做事这是一方面.但是学生课业负担的轻重，那要看什么样的学校.美国的公立学校.相比我们义务教育这一块，可能水平比较差.在美国私立学校就要好得多，另外这个还跟种族有关.我自己在美国教过几个月的书，有一个发现，印第安裔人数学最差，然后是非洲裔人种，再就是拉丁裔的，最好的是华人.另外犹太人很关心子女后代的教育，不亚于中国人，他们的数学学得也很好.所以跟种族有关系.

      W：中国的数学教育，总的来说有一些好的东西.但是我觉得有必要把它说清楚，哪些地方好，哪些地方是需要改进的，或者说也有一些地方可能是需要注意的，类似于题型训练，完全是为了考试获得高分.为了让教师真正懂得数学，我觉得还是有许多地方需要改进.您认为呢？

      Q：需要改进的东西有很多.但总体来说，就是要想一个办法，让老师有机会知道数学下一步应该是怎样的，数学中有什么东西是好东西？有什么东西是可以介绍给学生的？让他们知道这个事.

      例如，对于复数.i算不算虚数？0算不算实数？0·i算不算虚数？现在的有些教材，用很大力气来论证0i不是纯虚数，其实讲得很牵强，可能是有人认为，虚数就要虚.0i=0，0是“实实在在”的，所以不能算是虚数.后来我查到阿尔福斯的一本复分析函数书，作者是复分析领域大家.他就明明白白说0i是纯虚数，而且只有它既是实数，又是虚数.

      显然，如果0不是虚数，那么虚轴与实轴就没有交点，没有交点还好办.但把它旋转之后，那么所有直线都断了.两条直线可以有一个交点，难道这个交点只能算是一条直线上的点，不能算是另一条直线上的点？后来我就跟中学教师谈这个问题.高斯从不讲虚数，只讲复数.他认为虚数不虚，虚数是实实在在的.所以像这样的问题，也不知道是从什么地方什么时候就传下来说0i不是纯虚数.

      W：还有一个问题就是，我觉得需要改进的就是目前的这种训练方式，其实，学生并不是真懂了，而是靠反复地做，这样不好.您认为呢？

      Q：我们的数学老师，喜欢讲题型.现在搞题型不止一千个，我们一个个让学生背诵，那你高考总一定行吧！其实数学中除了题型，还有思想.数学思想更重要.只有题型，没有思想，这是不行的.应注意让学生慢慢学会，去寻找有用的材料，补充自己的知识不足，而绝不是死记硬背许多的例题.

      我们必须让学生们知道数学究竟在做什么，注意数学家所用的工作方式，并围绕着这个方式，而不只是围绕着数学家工作的结果来组织教学.学生需要的是进入解题过程里去看，去体验，而不仅仅是背诵结果.他们需要体验到数学结果在得到证明完毕以前的探索过程.

      W：齐先生，您说过：在“现实情景”中教数学，通过应用问题来引入数学概念，是有好处的[4].那么，我们上面提到的数学建模与数学实验是在“现实情景”中教数学的一种体现吧，您认为呢？

      Q：我刚刚说的数学要接近生活，从我们的生活中，去找寻有哪些事情可以去做.因为21世纪和20世纪是非常不一样的.有些知识，对于一个好的中学生，他可以产生很大的兴趣.例如，公共汽车的线路到底怎么安排，这些问题可以让学生有兴趣.

      应该使大部分学生都程度不同地学习如何在实际生活中应用数学.为此，必须向广大数学教师说明这个工作的意义，提供相应的资料，特别是努力设法让它步入正途而不至于钻牛角尖.例如，美国杜克大学跨课程计划（CCP计划），CCP的目的是把数学与现实世界连接起来.我认为，这一点正是当前我国数学教育应该着力加强与改进之处.现在我们注意到如何开好数学实验课程，加强数学建模教学，也就是这种思想的体现.

      5.对数学竞赛的看法

      W：我们知道，竞赛数学是数学教育的一部分.我国学生在国际数学奥赛中取得了十分优异的成绩，为国争了光.前一段时间，各种媒体对奥赛出现了不少讨伐的声音，您的看法呢？

      Q：美国也搞数学竞赛，但是数学竞赛的要求较低.我认识的一个小孩，父母是华人，跟我说能不能把小孩送到国内参加你们暑期的数学夏令营.我说，别来，小孩受不了的.他就那样的水平，在美国一个相当于我们地区一级，比县稍微高一点的学校，成绩还好，马上要进大学，美国大学看中了就把他招进去.因为他们的招生录取比较自由一些.我们最近几年有一个事情，把数学竞赛骂得一塌糊涂.这不公正.大家骂奥数，现在还在骂.我心里一直想不通一个问题：什么叫奥数？没办法下定义.按奥赛原来的理解，就是微积分之前的内容都属于奥赛内容，那就都要算奥数.如果不用微积分就算奥数的话，现在中学数学的内容全部就是奥数，就全部都要“打倒”.真正的问题是数学教学不能过于技巧性，否则的话就偏了，问题就出在这个地方.但是决不能因此否定解题，特别是解比较难的问题在教学上的意义.总体来说，奥赛这个事情，出在两个问题上，一个是为了赚钱，这是毫无道理的，奥赛怎么能赚钱呢？再一个是本来奥赛只适合少数人，满足少数人的要求，但是现在却变成满足所有人（特别是家长）的需要，这就是大错特错了.要将可接受性、针对性、区别多数人与少数人，这3个方面结合起来.

      6.对学生数学素养的看法

      W：数学素养对于一个人来说是很重要的，那么其核心是什么.我之前与史宁中教授和顾沛教授等讨论了一下，也征求了一些人的意见.提出了6个方面的内容.第一个是抽象概括，是数学的基本要求.第二个是推理.第三是数学建模.第四个是几何直观.第五个是运算.第六个是分析，统计.现在想听听您的建议，您觉得这6个方面合适吗？作为数学这个学科，最要紧的东西是什么？

      Q：我没有仔细想过这件事.但我认为，数学教学可以有3个不同层次的目标：一是基本技能；比如，我们面对市场经济，对复利、税收、股票等应有所了解，这方面的知识应有所渗透；二是深造的准备；三是人的素质，比如，通过数学，可以培养人的清晰科学的语言，热爱真理、追求科学的态度，有条理的思维，良好的习惯，凡事讲道理，等等.

      有一个问题倒是值得我们思考，现在都在讲大数据，到底大数据跟数学有什么关系？21世纪是大数据时代，新生事物层出不穷的时候，世界上万事万物的规律，实际上是用数表示出来的.因此我们对任何事情的认识，要注意从数量关系上去谈它，包括我们治理国家.在这个时代，没有一定的数学素养怎么管理一个国家.

      美国有一个数理统计专家，后来得到很大的赞誉.他研究医学统计，当时美国很流行搞宫颈癌涂片检查，提倡每人一年做一次检查.这个统计学家分析了很多数据，也是大数据，他发现3年扫描一次跟一年扫描一次没有任何区别，这是很有名的一件事.于是，他建议3年做一次.

      在美国，每年的医疗费用占到整个GDP的百分之十以上，能够压缩一点对社会贡献很大.你说要以人为本，大家都去扫描扫描，但是离开了科学的数学分析（其实是数据分析）结果好心没有做好事.现在都在说提高科学治理国家的能力，但是离开了提高全民的数学素质，怎么能有效地提高治理国家的能力呢？

      W：齐先生，再请教您另外一个问题.教育部定了一个学生的核心素养.简单地说一下，他们分了3个维度：一个叫做社会参与的维度，一个叫做自主发展的维度，一个叫做文化修养的维度.在这个3个维度下，有一些比较重要的值得关注的东西.比如，社会参与的维度分为：公民道德、社会责任、国家认同、国际理解；自主发展的维度分为：学生的身心健康、自我管理、学会学习、问题解决与创新；自我修养还没有最后定，大概分为语言素养、数学素养、科学信息素养、人文审美素养.有人想把数学拿掉，与他们争论的结果，有人提出来，把语文素养与数学素养合在一起称为语言与逻辑.我注意到您在一篇文章中提到，“几何学的力量来自于：它的出发点是最明显不过的真理.”[5]对于上述问题，您的看法呢？

      Q：我对这个界定不清楚.我说说我的观点.没有数学，就没有文化.有一次与刘绍学教授一起谈天，说到中国人的思维方法，我们想了两副对联，分别说明不学数学（缺少数学训练）和经过严格训练的人的思维（及对待事物）的习惯.

      前者是：“我想大概也许是，或者可能差不多”.刘绍学加了一个横批：“研究研究”.

      后者是：“因为所以，持之有据；充分必要，是非分明”.

      中国人想问题，从来分不清必要条件和充分条件.中国人就是在这样的思维定势下想问题.当然，解决这个问题最好的办法就是学数学.

      中国的逻辑没有反证法.你发现这个事情没有，没有反证法，数学怎么行呢？如果说中国人没有逻辑.学文科的人绝对会反对，说中国的逻辑没有反证法可能反对的人要少一些，希腊从柏拉图时代，就发现了很好的反证法.这个问题值得深入研究.

      我们知道，徐光启除了为《几何原本》写了序言以外，还写了一些短文，十分值得注意.徐光启认为，几何学的作用在于铸造人的品格，开发人的潜力.几何学为什么有这样大的功用？由于它提供的是确定无疑的知识.对于几何学提供的知识，我们“不必疑，不必揣，不必试，不必改”.对它的结论和论证“欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得”.整个几何学“似至晦实至明，故能以其明明它物之至晦，似至繁实至简，故能以其简简它物之至繁，似至难实至易，故能以其易易它物之至难.易生于简，简生于明，综其妙在明而已”.

      7.对数学教育改革的期待

      W：齐先生，我国义务数学课程标准已经修订完成，普通高中数学课程标准正在修订中，中国的数学教育还有很长的路要走.我们如何才能做得更好？

      Q：不要低估学生，千万不要低估学生.不要低估了中国的基础教育.很多好学生实际上不是负担过重，而是吃不饱，对于他来说，翻来覆去，都是讲这么点东西.搞得他很厌烦.要想学生负担不重，就必须要老师加重负担，教师应该更加深入地研究教材，研究学法，研究教法.数学教育的改革，是一个世界性的问题.各国作法各有不同.而且至今也很难说，哪一种就是好，哪一种就是不行.所以，容许多样性，提倡多样性是唯一的选择.但无论如何，教育改革的问题，最后要落实到教师培训的问题上.同时，数学教学的改革必须追随数学科学的发展，如果中国数学教育想要进一步深化改革的话，必须要使得数学教学跟现在社会生活和科学（特别是数学科学）的发展更接近.这时你就会感受到：会当凌绝顶，一览众山小.

      齐先生尽管退休多年，年事已高，但对中国的数学研究和数学教育事业仍十分挂念.他精神矍铄，思维敏捷，声音洪亮，在访谈中不仅谈到当前数学教师教育，更多谈的是数学教师应具备的核心素质和数学素养.两个多小时的访谈，让我们深深感受到齐先生的讲述充满深邃丰厚的学术智慧、机智敏锐的洞察能力、宽广通达的人文情怀.

      对于职前数学教师教育，齐先生认为：要想成为一名优秀教师，不仅要具备广博的数学学科知识，还应该懂得其他方面的学科知识，更应该具备一些新的教育理念.作为数学教师，不能只讲知识，不讲文化；不能只讲做题，不讲思想.

      对于数学基础教育，齐先生认为：要重视中国的优良数学传统，既要看到中国数学教育成功的一面，也要看到不足的一面.在加强数学基础知识的同时，减轻学生的毫无必要的、因种种不好的习俗而带来的人为的过重学业负担，让学生愿意学数学，愿意用数学思维方式思考遇到的问题.

      齐先生的这些观点引发我们进一步思考：对于职前教师教育来说，如何培养合格的教师？数学教师应该具备怎样的数学素养？具有怎样的数学知识结构[6-8]？如何在发挥中国数学教育传统的基础上，进一步提高学生的数学素养[9-11]？这些问题都值得我们深入地思考.

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