对数学课中动手操作的理性思考，本文主要内容关键词为：理性论文,课中论文,数学论文,操作论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“课标”指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。作为三种重要学习方式之一的动手实践，落实到课堂上，更多的是动手操作。由于数学课堂中的动手操作要具有科学性、趣味性和数学性，那么如何组织高效的动手操作活动呢？这需要课堂的组织者——教师在课前有充分的预设，同时对于动手操作中出现的各种现象要有理性的分析。一方面，用理性的分析指导学生的实践活动；另一方面，引导学生对操作现象作理性思考，最大限度地发挥动手操作的作用。
根据人的“由简单到复杂的”认知特点，笔者认为数学课堂中的理性思考可以从四个层面进行，分别是操作层面，直观推理层面，操作与知识间的联系层面，操作、图示与知识间的联系层面四个维度。前两个层面是后两个层面的基础；后两个层面是前两个层面的提高与发展。本文将从四个理性思考层面出发，结合教师、学生在课堂中的动手操作实例作简要的分析。
一、操作层面的理性思考
数学课堂上操作的目的是让学生从操作过程中体验、感悟数学知识，可是，当课中操作现状与我们的课前预设相去甚远时，我们该如何处理呢？下面，让我们来看一个课堂实例。
在学习三年级上“可能性”时（本文所指的教材均是人教版课标教材），为了让学生能充分理解“可能性”的意义，笔者设计了“摸球”活动：在一个暗箱中放入2个白球与5个黄球，任意摸一个，摸10次，把摸到球的颜色情况填入下表（每次把摸到的球再放入暗箱中）。
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
学生进行操作后，反馈时一名同学汇报结果如下：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
颜色 白 白 黄 白 黄 黄 白 黄 白 白
当出现这种结果，我们该怎样处理呢？笔者认为，可作下列两点分析：
1.课前是否预设到这种结果？在我们成人的知识经验中，摸到黄球的概率比白球高，因此摸到黄球的次数应该比白球多。这是理论上的结果，可课堂上却恰恰出现了与“理论结果”相悖的结果。这种结果如果在课前没有预设到，就会使教师在课堂上手忙脚乱，不知所措。
2.这种结果是个别现象还是普遍现象？从统计学角度分析，大概率事件与小概率事件都可能发生，但是，随着频数的不断增加，大概率事件发生的可能性必将大于小概率事件。上述同学的操作结果，只是小概率事件的一个例子。
鉴于上述两点分析，我们可以利用学生的多组操作加以弥补。不妨作这样处理（引导）：这是××同学操作的结果，那么你的结果是怎样呢？请你汇报一下。老师先汇总每组同学的操作结果，再汇总全班同学的操作结果，最后进行分析。让学生感悟随着频数的增加，摸到黄球的可能性比摸到白球的可能性大。这种思考模式我们可以用右图简要表示。
二、直观推理层面的理性思考
数学课堂中的动手操作，还会出现与我们视觉相悖的结果。“耳听为虚，眼见也未必是实”。当出现这种“假象”时，只要我们合理分析成因，必能找到解决的方法。
如在教学四年级下“三角形三边关系”时，笔者设计了下列操作：提供长度不一的三组小棒，围三角形，根据围的情况思考三角形三边关系。
第一组：4cm5cm8cm
第二组：4cm5cm9cm
第三组：4cm5cm
10cm
通过操作，学生很容易发现第一种情况是可以围成三角形的，第三种情况不能围成。而争议会出现在第二种情况，一部分学生认为不能围成三角形，一部分学生认为可以围成三角形。其中，认为能围成三角形的学生用这三根小棒围的图形如上。
笔者也实际操作过，用这三根小棒确实可以围成三角形。也就是说：当两条较短的线段长度之和等于较长的线段时，是可以围成三角形的。当得出这一结论时，我们又该怎么办呢？我们可以这样分析：
1.为什么会产生这种结果？很显然，从理论上说这三根小棒是不可能围成三角形的，而实际操作中确又发生了能够围的现象。细细思考，我们会发现产生这种现象的根源在于我们忽视了小棒是有粗细的，而这种现象反映了“动手操作的物理模型与数学模型之间的差异”。
2.产生这种结果该如何处理？显然，这种结果是学生实际操作得出的，要让他们的思想观念从“可以围成”改变为“不能围成”，必须要有让他们信服的理由。基于上述两点分析，我们可以通过自制的教具演示，借助学生的知识、经验，进行直观的推理，必能起到良好的效果。具体如下：
首先，自制教具
在一块木板上，钉一根30厘米长的木条，两端固定；其中一端钉一根18厘米的木条，一端固定，一端可以活动；另一端焊一根可以伸缩的电视天线。
其次，通过演示操作教具，引导学生思考。
操作一 当电视天线为10厘米时，能不能转围成三角形？为什么？（不能）
操作二 不断拉长天线，当天线的活动端碰到18厘米小木条的活动端时，问：这时能不能围成三角形？这时天线的长度是多少？（完全重合，不是三角形。这时天线的长度是12厘米。）你发现了什么？（较短的两条线段之和等于较长线段时不能围成三角形）
操作三 想一想，如果继续拉长天线，会怎么样？（稍作停顿后，学生发现能围成一个三角形）（师拉一拉，果然能围成一个三角形）想：需要拉多长就能围成三角形了？（比12厘米多一点点，让它凸起来就可以了。）
在上述教学活动中，教师一边演示自制的教具，一边引导学生进行思考，他们很容易得到：当较短的两条线段之和等于较长线段时，三条线段虽然是首尾相连的，但是完全重合的，不具有三角形的特征，因此不能围成三角形。这个结论是学生根据操作，结合自己的生活经验和数学知识，经过思考后作出的结论。尤其是在第三步操作前，先让学生想一想：如果继续拉长天线，会怎么样？他们会根据实际，进行合理的推理，再由演示验证他们的推理。在这一过程中，学生的理性思考无处不在，正因为有了他们的理性思考，才矫正了他们先前的“错觉”，弥补了动手操作带来的负面影响。
三、操作与知识间的联系层面的理性思考
众所周知，数学课堂上进行动手操作，是让学生能更好地理解知识、掌握知识、应用知识。而要充分发挥动手操作的作用，必须使动手操作与数学知识有机地结合起来，把抽象的数学知识化为具体可感的操作，在学生对它们之间的联系进行理性思考的同时理解知识。
如在教学三年级上“有余数的除法”时，可采用“分豆子”的方法帮助学生理解。
书上例题为：有23盆花，每组摆5盆，可以摆几组？还多几盆？
上述情境虽然与学生生活比较接近，但不易于操作。因此可以借助“分小豆”，让学生加以理解。引导：有23粒小豆，每5粒摆一碟，结果会怎样？
列式：23÷5
先让学生说一说23÷5的意义，然后开始用“分豆子”的操作来演示分得的结果。笔者曾先后两次上过这一内容，也都让学生分豆子，由于指导思想不同，教学效果也不尽相同。现实录如下：
第一次操作：
师：把23粒豆子，5个5个分，你发现了什么？
（学生纷纷动手分，不一会儿）
生：我发现可以分成4份，还多3粒。
师：其他同学分的结果和他相同吗？
生（纷纷说）：相同。
师（归纳）：真不错！可以分成4份，说明商是4，还多3粒，我们可以这样表示。［板书：23÷5；4……3］这里多出的一粒我们把它叫做余数。
接着用类似的习题巩固有余数除法的计算。
第二次操作：
师：把23粒豆子，5个5个分，你发现了什么？
（学生纷纷动手分，不一会儿）
生：我发现可以分成4份，还多3粒。
师：你能用自己的话把刚才分的情况说完整吗？
生：把23粒豆子，5个5个分，可以分成4份，还多出3粒。
师：这样的结果，我们可以这样表示。
［板书：23÷5=4……3］
这里多出的3粒，我们把它叫做余数。
师：看着板书，结合你刚才分小豆的情况，请说一说23、5、4、3的意思。
生：23表示我们要分的小豆总数，5表示5粒一份，4表示得到的份数，3表示还剩3粒。
师：如果再加1粒小豆，同样分，你又发现什么？
生（操作后）：多出了4粒。［板书：24÷5=4……4］
师：如果再加1粒小豆呢？
生1（操作后）：多出了5粒，余数是5。
生2（急急地）：不对不对，多出5粒，每份还可以再分1粒。商应该是5，没有余数了。
师：是这样的吗？请你再分分。（生操作验证，确实如此）
师：你又有什么发现？
（短暂的停顿后）生：我发现，当余数和除数相同时，商可以再增加1，而余数却没了。
师：真了不起啊！
通过比较上述两次操作，我们根据操作的必要性和实效性，可以做出以下思考：
1.操作的目的是什么？毫无疑问，这里的操作是帮助学生理解有余数除法的意义，尤其是对余数的认识。因此，这里的操作是非常必要的。但从效果来看，显然，第一次操作只是表面现象，是为了操作而操作，不够深刻。只是让学生看见有多余的小豆，就马上归纳，进行练习巩固，有一种“皮肉分割”之感。而第二次操作引导学生把操作的结果与所学的知识——有余数除法算式结合起来观察，发现其中的关联，把“操作与算理”有机地结合起来，帮助他们建立了高效的认知联系。不但如此，还让学生在小豆总数不断增加的情况下继续操作，不断刺激学生的感知，加深了他们对有余数除法意义的理解。
2.操作，除了为学习新知服务外，还可以生成什么？数学课堂上的动手操作，很多老师把它的功能仅仅定位在帮助学生学习新的数学知识上，是一种辅助手段。其实不然，很多的动手操作，只要我们进一步的深入挖掘，可以让它发挥更大的功能。如上述第二次操作，当小豆总数增加2粒时，学生发现：这时余数与除数相同，商可以再增加1。这是多么了不起的发现啊！而这个发现又是那么自然，是学生不断操作、水到渠成的结果。
四、操作、图示与知识间的联系层面的理性思考
在数学学习中，有一部分内容比较复杂，单靠操作不能完全帮助学生理解知识、掌握规律，这时需要借助图示，即“数形结合”，把操作现象用图示表示出来，再从图示中发现数学规律，从而揭示事实本质。可以说，这里的操作难度更高，需要学生有较好的逻辑推理能力与归纳能力。
如在教学五下第六单元统计中的“打电话”时，就需要采用这种方法。
课本中的例题为：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。
这个问题看似简单，其实非常复杂。怎样帮助学生解决这个问题呢？教学中，笔者设计了下列操作步骤：
第一步：真人演示（也可以用小磁铁演示），让学生初步感知：第一分钟打过电话的人，在第二分钟、第三分钟……还可以再打。这一过程是比较复杂的。
第二步：冷静思考、画图示意。给学生充分的时间，让他们用图示法把整个打电话的过程表示出来。
第三步：反馈图示，选取简洁、明了的加以展示。如图（人数包括老师）（图见48页）
第四步：引导学生观察上图，有什么发现？不难看出，包括老师在内，每个时间段内获得消息的人数刚好是2的倍数，并且经过几分钟，就是2的几倍。
第五步：总结提高，如果过了n分钟，共可通知到多少学生？运用规律可知是(2n-1)人（去掉老师）。
分析上述课例，我们可以发现，教师与学生的思考贯穿着整个教学过程。
1.从学生角度看。学生的理性思考分三步：首先从演示中获取初步的信息，引起学生的关注。其次是用图示把演示的过程形象地揭示出来。这一步是关键，起着承上启下的作用，因此需要给学生足够的思考时间。再次是归纳总结阶段，从图示中得出规律，并应用规律加以验证。
2.从教师角度看。教师始终思考“组织怎样的教学活动使学生对这一知识能较好地理解、掌握以及应用？”
正因为师生之间都有“思考任务”，这个任务也就是“教与学”的内趋力，才使操作、图示和数学知识能够紧密结合起来。反过来，我们也可以思考：如果只有操作而没有图示，学生能轻松发现打电话的规律吗？显然是不能的。可见，这里的操作、图示缺一不可。
我们要明确：任何动手操作活动，都是为学生的学习与发展服务的。只有我们教师时刻思考怎样的动手操作有价值，才能推动学生去思考、去探索。如果只是为了活跃课堂氛围而采用一些没有思想性的操作活动，不但使操作失去了价值，而且浪费了宝贵的课堂教学时间。总之，动手操作，需要理性思考护航！