高中立体几何中删除三垂线定理的利弊分析，本文主要内容关键词为：垂线论文,立体几何论文,利弊论文,定理论文,高中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
三垂线定理因其联系着一系列主要概念（平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影等），且其证明中包含着较为典型的证题方法（线面垂直与线线垂直证法），并有着广泛的应用而成为立体几何中的一个重要定理。但是，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中却把如此重要的一个定理删除了，这种做法引起了一线教师的关注。为了让广大教师更好地理解课程改革的意图，本文将具体地分析这一做法给高中立体几何的教与学带来的利与弊，以供大家参考。
一、三垂线定理的历史地位与作用
三垂线定理及其逆定理是整个立体几何内容的一个典型代表，是立体几何中的一个重要定理。
1.三垂线定理是立体几何知识的枢纽
三垂线定理是在线面垂直的基础上来研究直线间垂直关系的重要定理，它阐明了平面的斜线、射影以及平面内的直线三者的垂直关系，沟通了线线关系、线面关系，并为今后学习面面垂直、空间角、多面体与旋转体的性质等奠定基础。并且，三垂线定理及其逆定理因涉及的概念较多、在立体几何的证明中应用较广而成为立体几何中的重点。
2.三垂线定理有利于培养学生的逻辑思维能力
三垂线定理及其逆定理是培养高中学生空间想象力和逻辑思维能力的重要内容之一。只要围绕三垂线定理合理地进行解题变式的训练，将对学生的多种能力的培养有更加重要的、独到的作用。
图1
(5)由(1)(4)可以得到哪些结论？
第(1)题是定理的直接运用，第(4)题则改变了平面的放置，打破了学生的思维定势。第(2)(3)题旨在促进学生的发散性思维发展，第(5)题是一道开放性问题。
3.三垂线定理是沟通立体几何与平面几何的桥梁
三垂线定理是空间图形转化为平面图形的有力工具，它使很多立体几何的问题都能转化为平面几何问题，从而达到解题的目的。利用三垂线定理向学生渗透“空间问题平面化”这一立体几何中的重要思想方法，充分体现了数学上的化归思想。
二、删除三垂线定理给教学带来的好处
1.降低了学生学的难度
使用三垂线定理进行证明，一般来说都是单纯使用综合法，依赖现实几何对象，局部地或单个地考虑几何图形的性质，如空间对象的距离和角，并借用一系列几何对象间的关系做媒介，进行推理论证。这样思考几何对象，方法的抽象程度很高，学生难于将各类问题的个别的方法存贮并灵活运用。因此说删掉三垂线定理，从某种程度上讲降低了立体几何教与学的难度。
图2
通过上述例题的证明，我们不难发现，运用三垂线定理或其逆定理时，不但要掌握其规律，还要通过分析、观察，确定垂面，找准斜线，再抓住斜足、垂足连成射影，最后还要查找垂面内的线。只有这样由面找线，才可能化难为易，解决问题。整个过程对于学生来说无疑是很困难的。《标准》中删除了三垂线定理，增加三维空间的向量和直角坐标系，使学生不用再考虑寻找添加辅助线、寻找特殊空间位置关系或特殊角等问题。学生可以直接建立空间向量和几何体之间的对应关系，就可以利用空间向量使问题得到解决。这在一定程度上降低了因应用三垂线定理而带来的几何抽象，降低了学生学习几何的难度。
2.降低了教师教的难度
三垂线定理及其逆定理的教学始终是教学难点之一，教师用一节课的时间也不能让大部分学生很好地理解证明过程。用三垂线定理解题时，大多数需要添加辅助线，使得教师在教学工作中很难合理地解释其原理。并且，由于三垂线定理纯粹的几何特性，使得教师在教学工作中很难将代数与立体几何联系在一起，这样必然造成学生认知上的断层，造成学生数形结合思想形成的困难。
例3 如图3所示，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，MA=AB=a，试求：
图3
(1)点M到BD的距离；
(2)求异面直线MB与AC所成的角。
解：(1)连接正方形ABCD对角线，交点为O，连接MO，
因为MA⊥平面ABCD，（已知）
AO⊥BD，（正方形对角线互相垂直）
所以MO⊥BD，（三垂线定理）
所以MO是点M到直线BD的距离。
图4
《标准》强调：“数学课程要讲清逻辑推理，更要讲清道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴藏在其中的思想方法……”，[1]这既是对课程设计理念的阐述，也是对数学教学实施中的途径和方法的要求。这一看似简单的要求，在实际的教育教学过程中并不容易做到，因为有很多东西是人们在不断地探索、发现中沉淀下来的，它不是一朝一夕就能被掌握的，要讲清其道理就更加不容易了。在上述例子中，例题的第(2)个问题使用了一种常见的辅助线的做法——“割补法”，通过作出AC的平行线
，得到了两条异面直线所成的角，从而使问题得以解决。但是，在此例题中，教师为什么会想到用“割补法”作辅助线呢？这其中的道理能给学生讲清楚吗？这对授课教师来说不能不称之为难点。
《标准》中删除了三垂线定理，增加三维空间的向量和直角坐标系，使得立体几何的解题方法简单了许多，甚至可以说是将其简化为一种计算方法。教师在教的过程中不用过多地思考如何解释证明思路和原理，并且由于向量的代数形式和几何形式的“双重身份”，使得教师在教学工作中将代数与几何联结在了一起，数学课程结构也就没有了断点。
3.推进了几何代数化的进程
在新一轮课程改革中，《标准》删除了三垂线定理，引入了三维空间的向量和直角坐标系，推进了几何代数化的进程。几何代数化是数学现代化的重要特征之一，很多国家已经很少有纯几何证明的问题了，这是当前世界各国基础数学教学阶段要求达到的水平。几何发展的根本出路在于几何代数化，这其中的原因除了用代数方法研究几何问题能“以数释形”、有利于培养学生的逻辑思维能力外，还有一个很重要的原因就是，随着信息技术的不断发展，很多现实生活中的问题抽象成数学问题后，需要用计算机辅助处理。其中有关几何图形的问题，计算机是无法直接处理的，只有将几何图形“翻译”成代数语言，再编写程序，从而达到处理几何图形的目的。而三垂线定理及其应用是纯粹的用几何方法解决几何问题，它很难与代数建立起联系，也就无法实现几何代数化。《标准》中删除了三垂线定理，就必然要引进一个新的几何量来取代三垂线定理的作用。实践证明，研究几何图形的代数方法中，对中学生较为有效的方法是向量几何。向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似，学生就可以运用他们熟悉的代数方法进行推理，来进一步掌握空间图形的性质。所以，删除三垂线定理、引进空间向量有助于中学生更容易理解和掌握几何代数化的方法，有利于进一步推进几何代数化的进程。
三、删除三垂线定理的弊端
1.降低了学生空间想象能力的训练
应用三垂线定理进行几何证明基本上都是采用综合法。所谓综合法是指利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间图形转化为平面图形。三垂线定理就是把空间两条直线的垂直问题转化为平面上两条直线的垂直问题。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究图形性质的基本方法，因此，运用三垂线定理有助于学生的空间想象能力的培养。在《标准》中，删除三垂线定理而引进空间向量，用向量运算取代运用三垂线定理进行证明会对学生空间想象能力的培养产生一定的影响。东北师范大学硕士研究生赵宇在对“空间向量对立体几何教与学影响的研究”中发现，有10%的教师认为“空间向量对于学生来说只是一种计算能力，只要代公式就能解决问题，学生空间想象能力被削弱了，无疑是对学生能力培养的降低。”[2]
2.提高了对教师的要求
多数高中数学教师，尤其是有多年教学经验的教师都更熟悉综合法，深受传统立体几何教学的影响，对新教材中删除三垂线定理、增加空间向量有很多的不适应或不理解。他们个人的向量知识都不丰富，教学中只关注具体问题的解答，认为培养学生的空间想象能力是立体几何的根本，而三垂线定理对学生空间想象能力的培养是不容忽视的。这使我们看到，要想利用新教材培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，必然对教师提出更高的要求。
任何事物的发展都有其两面性，三垂线定理的删除也不例外。从删除三垂线定理的那一刻开始，无论是一线教师还是教育专家对此一直争论不休，尤其是一线教师更是存在很多的困惑与迷茫。其实，这些是事物发展的必然阶段。在当今数学课程发展的背景下，教师专业发展既要关注教育教学的通识问题，也要关注数学领域的知识。对于教学一线的教师在反思中存在的无所适从等问题，教育研究者需要回归到教学实践中去，和教师一起反思，以解决教师在反思中存在的困惑、疑虑。而对于一线教师来说，应加强自身教育理论和专门的领域化知识的学习，将实践中反映出来的问题上升到理论加以剖析，才能探寻到根源，使主体的教育教学水平得到提升和拓展。