知识的联系对学习的支持——对运算律教材的比较，本文主要内容关键词为：教材论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学是真理的化身，数学知识的确定性从来不受怀疑.与数学知识本身的确定性相比，作为教育的数学知识可谓形态万千.原因之一是不同教材的编写者对学生学习数学知识的路径作了不同的假设，同样的数学知识在不同教材中呈现与联系的方式并不完全相同，进而学生学习数学知识的线索与学习的支持基础也有较大的差异.
小学数学中的运算律主要是加法和乘法的交换律、结合律以及分配律.这些知识在现行几个版本的教材中编排体系各不相同.下面主要以人教版、北师大版、浙教版、苏教版等教材为例，从教材设计的学习序列和学生经历的学习过程两个维度进行比较，以期对设计教学有所启示.
一、知识的联系方式与教学的侧重不同
作为数学知识，运算律的内容总是确定的，但这些内容在各套教材中以不同的方式相互联系着，形成有区别的教学逻辑体系，并体现出不同的教学侧重.
1.知识的联系
人教版和北师大版都把运算律集中在一个单元，安排在四年级学习.苏教版则分成两个阶段，四年级上学期学习交换律和结合律，四年级下学期学习分配律.浙教版也是分成两个阶段，但分别安排在三年级上学期和三年级下学期学习.
由于分配律涉及两种运算，其意义理解也比交换律和结合律更加复杂，几乎所有教材都把分配律安排在交换律和结合律学习之后.但仅就交换律和结合律在教材中呈现的顺序与联系方式而言，不同教材设计的学习序列并不相同.
人教版安排的顺序是：加法交换律、加法结合律，乘法交换律、乘法结合律.北师大版安排的顺序是：乘法结合律、乘法交换律，加法交换律、加法结合律.浙教版安排的顺序是：加法交换律、乘法交换律，加法结合律、乘法结合律.
不同的编排体系体现了对知识之间联系的不同理解.像人教版与北师大版这样，以运算作为区分，把同一种运算的运算律安排在一起，教学时可以强调交换律与结合律的区别与联系.两种运算律所起的作用不同，交换律是指改变参与运算的数的位置，并不会改变运算结果；结合律的本质是即便改变运算顺序，其运算结果也是一定的.而像浙教版这样，把加法与乘法类似的运算律安排在一起，可以突出不同运算中“同构”的运算律，体会这些相似性的运算律一一对应且保持关系不变的规律，进而加深对运算律的理解.
与其他教材不同的是，北师大版把乘法结合律安排在乘法交换律之前，并且对乘法交换律几乎是轻描淡写、一笔带过的.一种可能的解释是教材中定义乘法时对乘数与被乘数不作区分，学生在学习的观念起点上就认识到两个乘数是可以交换的；另一种可能的解释是“运算法则是知觉的直接而必然的结果”（康德语），因此学习交换律只是从已有的数学经验或直接的知觉中概括出一个数学结论而已.从这个角度看，对乘法交换律作“弱化”处理，似乎也是合理的.
2.教学的侧重
《数学课程标准》对运算律提出了两方面的要求：一是探索和理解运算律，二是能应用运算律进行一些简便运算.同样集中在一个单元中学习，人教版以“运算定律与简便计算”作为单元标题，而北师大版则在定律前面冠以“探索与发现”.如果单元标题就是学习内容的核心，那么两套教材对“标准”要求的不同侧重已十分明显.进一步分析教材中内容展开的方式，可以发现这种分析和判断是正确的.以加法结合律为例，人教版呈现的例子是“88+104+96，69+172+28，155+145+207”，教材设计的数据特征比较明显地提示了运用结合律实施简便运算.北师大版教材以对话的形式展开，侧重于让学生举出丰富多样的例子，经历探索与发现的过程.当然，这种差异与两套教材一贯的编排体例以及知识的组织方式也有关系.运算律是对数学规律的概括，运用运算律可以实现简便计算.这里需要提醒注意，运算律是“天生”的，如果把运算律的学习局限于可以简便计算，未免过于狭隘.
知识的联系方式与教学的不同侧重，不仅左右了学习的顺序和经历的过程，还影响着数学学习的方法.浙教版教材把加法结合律与乘法结合律整合在同一节课中，在学习了加法结合律之后，引导学生猜想：三个数相乘，是否有类似的规律？要求学生举例说明.通过类比获得猜想，通过举例验证猜想，通过归纳获得结论.特别地，乘法与加法受相似运算律的支配，类比的意义是明确的，而且更为重要的是让学生在学习过程中经历“类科学的思考”.
二、对探索理解定律的支持性策略不同
具体到某个运算律的呈现形式，特别是把教材中的知识呈现方式与教学过程建立联系的话，可以发现不同教材设计的情境对学生学习的支持作用是不一样的，学生在学习中经历的归纳过程以及对知识结论的表述方式也是有差异的.
1.情境对算理的支持性
所有教材都强调情境对于引入运算律教学的作用.以乘法分配律为例，人教版设计了植树活动中计算总人数的问题情境，与单元主题相一致.北师大版安排了计算瓷砖块数的问题情境，并以图画形式呈现了乘法分配律的几何直观（如图1）.
仅就引出乘法分配律而言，两种情境对于学生学习的支持作用没有太大差异，都只是从问题情境中引出需要学习的新知而已.但如果从情境支持算理理解的角度来考察，北师大版的直观图示可以发挥独特的作用，特别是当学生把计算的运演过程与直观图示建立联系，能从图中寻找到分配律中乘法与加法算式的具体意义（如6×9和4×9分别是正面和侧面墙上瓷砖的块数）时，他们对于定律的理解必定是更加深刻了.
浙教版教材设计了购买成套运动服的问题情境（如图2），提示了解决同一问题的两种计算方法：一种是先算出一套运动服的价格，再乘上套数求出总价；另一种是分别算出几件运动衫和几条运动裤的价钱，再把两者相加算出总价.情境中的数学意义、可以利用的生活经验和计算的最终结果都表明，两个算式可以用等号连接.除此之外，柜台上每件3元的物品，为学生补充归纳结论所需要的例子提供了便利.
2.学生经历的归纳过程
假设教材设计的内容序列与学生经历的学习过程存在着某种一致性，那么分析教材就可以预见学生经历的学习过程.运算律的学习，让学生经历归纳过程对于一个数学结论的得出无疑是至关重要的.人教版教材一般是从一个例子出发得出数学结论的，并辅以字母公式.北师大版则更加侧重于让学生举出类似的例子，从多个例子中归纳出数学结论.笔者比较赞同让学生经历举例的过程，并把结论的归纳建立在对多个例子的观察与分析之上.因为举例的过程就是认识数学结构的过程，逐步归纳的过程可能使得学生对运算律的理解逐渐深入.换个角度，如果学生在归纳运算律的过程中，需要思考某些关键问题的话，那么不同教材对关键问题的设计也是有差异的.以乘法分配律为例，苏教版在呈现一个问题的两种算法之后，提出的问题是：“你能把这两个算式写成一个等式吗？”另一个与之相关的问题是：“等号两边的算式有什么联系？”本质上这两个问题都指向于引导学生观察等式两边的联系与变化，这对于帮助学生突破学习难点是有益的.因为学生初学分配律时，对于用哪个数分别乘以及运算符号的使用都可能存在困难.类似这样的问题，人教版则以箭头和不同颜色的字体加以区分.而北师大版则把活动聚焦于让学生举出类似的例子.笔者认为，在引导学生归纳运算律的过程中，既要重视对一个等式两边进行对比，也要重视从不同的例子中类比，两者不可偏废.事实上这也是笔者在进行了教材比较之后才得到的认识.
3.知识结论的呈现方式
以往的教材，运算律都是以语言文字的形式在教材中完整呈现的，现行的教材对结论的呈现都作了简化处理.相比较而言，人教版的表述比较具体，对乘法分配律的描述如下：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加.其他教材则大都只是以字母公式呈现定律，这样做可能是为了避免教师把记忆数学结论作为教学的要求.笔者认为，形式化的公式有语言文字描述所不能及的“数学味”，但并不能因此忽视语言文字的描述，可能有些学生需要依赖于语言文字描述获得对运算律真正的理解.不过需要澄清的是，强调用语言文字描述运算律，主要是为了促进学生的理解，而不是作为一个需要记忆的数学结论.
教材编写的任务是把科学形态的数学转化为教育形态的数学，其核心是知识呈现序列的设计.教材编排的序列设计包含了对学生学习心理、知识基础、活动经验以及知识之间逻辑关系的分析与判断.教师对教材进行比较，可以着重于研究知识的联系方式，并深入分析支持学生学习的基础，这样才能真正理解教材的编写意图和编者背后的思考.