从2004年上海高考试题命题的几个亮点谈起，本文主要内容关键词为：几个论文,上海论文,命题论文,高考试题论文,亮点论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近几年来，上海卷数学命题的理念发生了深刻的变化，从知识立意转向能力立意.力争把具有发展能力价值的、富有发展潜力的、再生性强的能力、方法和知识作为考查的切入点，从测量学生的发展性学习和创造性学习着手，突出能力的考查.2004年上海高考数学试题浓墨重彩，在总结2003年高考命题的基础上，从促进学生学会学习的角度，考查获取新知识，独立加工处理信息的学习能力；从培养学生实践能力的角度，考查应用数学的意识，分析解决生产、生活中数学问题的能力；从培养学生创新意识的角度，考查发现问题，提出问题，探索和研究问题的能力，以及创新的能力；从进一步加强基础的角度，考查数学基础知识，基本技能，数学思想方法和逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力；从培养学生综合素质的角度，考查学生对数学本质属性的理解和掌握程度、综合运用科学知识的能力和素质；几个方面都有了新的发展.
上海卷2004年高考数学试题，在继2003年高考能力立意，考查：计算能力，实践能力，逻辑思维能力，空间想象能力，学习能力，探索能力，应用能力，创新能力（详细论述，请参见文[1]）这八种能力的基础上，今年的高考试题又作了进一步的实践、探索、深化与创新.呈现出许多亮点.本文浅析如下：
一、试卷命题的几个亮点
1.立足基础知识，突出能力考查
例1 文、理科第11题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_____
本题主要考查对平面解析几何这一学科本质的认识与概括表征能力.
解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门学科.平面解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
因此，解析几何的本质是：把几何问题代数化，图形性质坐标化.即用代数的方法研究图形的几何性质.
一道小题考查学生通过对两章内容的高度概括来表征一门学科的本质特征，是高考命题的一大亮点.整体把握，揭示本质，定性理解，概括表征，值得提倡.
例2 文理科第12题：若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的基本量.设｛a[，n]｝是公比为q的无穷等比数列，下列｛a[，n]｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_____组.（写出所有符合要求的组号）.
①S[，1]与S[，2]；②a[，2]与S[，3]；③a[，1]与a[，n]；④q与a[，n].
其中n为大于1的整数，S[，n]为｛a[，n]｝的前n项和.
本题考查考生的学习能力和对无穷等比数列基本量定量的微观刻画.对考生正确合理的推理判断能力具有较高的区分度.
例3 文、理科第16题：某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：┌────┬───┬───┬───┬───┬───┐│行业名称│计算机│机械 │营销 │物流 │贸易 │├────┼───┼───┼───┼───┼───┤│应聘人数│215830│200250│154676│74570 │65280 │└────┴───┴───┴───┴───┴───┘┌────┬───┬───┬────┬────┬────┐│行业名称│计算机│ 营销│ 机械 │ 建筑 │ 化工 │├────┼───┼───┼────┼────┼────┤│招聘人数│124620│102935│ 89115 │ 76516 │ 70436 │└────┴───┴───┴────┴────┴────┘
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是
[答]（B）
（A）计算机行业好于化工行业
（B）建筑行业好于物流行业.
（C）机械行业最紧张.
（D）营销行业比贸易行业紧张
本题主要考查考生对提供的资料、文字、数据、图表进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、推断能力.对于区分考生对各种外在的和内在的信息进行提取和转化，整理和加工的理性思维有较高的区分度.本题也是贴近现实、贴近生活，关注社会现实，体现时代精神，强化数学应用意识，考查实践能力的一个好题.
例4 文、理科第21题：如图1，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D，E，F分别为棱PA，PB，PC上的点，截面DFF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=（1/2）PA，求二面角D-BC-A的大小（结果用反三函数表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.
本题主要考查立体几何中多面体的概念与性质，线面关系的论证与计算的逻辑思维能力，空间想象能力，探索能力和创新能力.
证 （1）棱锥P-ABC与棱台DEF-ABC的棱长和相等，
DE+EF+FD=PD+PE+PF.
又 截面DEF∥底面ABC.
DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，
P-ABC为正四面体.
解 （2）取BC的中点M，连接PM，DM，AM.
BC⊥PM，BC⊥AM，
∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.
由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，
（3）存在满足条件的平行六面体.
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6，体积为V.
设直平行六面体的棱长均为1/2，底面相邻两边夹角为α，
则该六面体棱长和为12×（1/2）=6，体积为
（1/8）sinα=V.
正四面体P-ABC的体积是
，
∴0＜V＜，0＜8V＜1.
可知α=arcsin（8V）.
故构造棱长均为1/2，底面相邻两边夹角为arcsin（8V）的直平行六面体即满足要求.
本题分步设问，逐步推进，由浅入深，重点突出.第（1）问考查了棱锥与棱台和正四面体的概念与性质，以及逻辑推理论证能力；第（2）问考查了线面关系的论证与二面角的计算能力；第（3）问考查空间想象能力，探索能力与创新能力.本题对上述四种能力的考查，层次清晰，区分度高.
例5 理科22题：设P[，1]（x[，1]，y[，1]），P[，2]（x[，2]，x[，2]），…，P[，n]（x[，n]，y[，n]）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a[，1]=｜OP[，1]｜[2]，a[，2]=｜OP[，2]｜[2]，…，a[，n]=｜OP[，n]｜[2]构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点.S[，n]=a[，1]+a[，2]+…+a[，n].
（1）若C的方程（x[2]/100）+（y[2]/25）=1，n=3，点P[，1]（10，0）且S[，3]=255，求点P[，3]的坐标；（只需写出一个）.
（2）若C的方程为（x[2]/a[2]）+（y[2]/b[2]）=1（a＞0，b＞0），点P[，1]（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S[，n]的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上一点P[，1]，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P[，1]，P[，2]，…P[，n]存在的充要条件，并说明理由.
本题主要考查等差数列的基础知识、前n项和的最小值以及二次曲线上点列存在的充要条件的探索能力，理性思维能力、运算能力等.
解 （1）a[，1]=｜OP[，1]｜[2]=100，
由S[，3]=（3/2）（a[，1]+a[，3]）=225，得
a[，3]=｜OP[，3]｜[2]=70.
（3）若双曲线C：（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=1，点P[，1]（a，0），则对于给定的n，点P[，1]，P[，2]，…P[，n]存在的充要条件是d＞0.
原点O到双曲线C上各点的距离h∈[a，+∞），且｜OP[，1]｜[2]=a[2]，点P[，1]，P[，2]，…，P[，n]存在当且仅当｜OP[，n]｜[2]＞｜OP[，1]｜[2]，即d＞0.
本题在数列与解析几何中的圆锥曲线，函数的最值，充要条件等知识的交汇点上命题，分步设问，逐步推进.第（1）问到第（3）问从计算等差数列特殊项的值到计算给定自然数n的前提下，计算等差数列前n项和的最小值，一直到自己选定二次曲线，探索点列到原点距离平方成等数列的充要条件.考查了考生主体发展，自主探索的理性思维能力与数学实践操作能力，符合以学生发展为本，培养学生的创新精神与实践能力的新课改精神.
2.数学思想方法，贯穿试卷始终
数学思想方法是数学知识的精髓，是对数学的本质的认识，是数学学习的指导思想和普遍使用的方法，提炼数学思想方法，把握数学学科特点，是学会数学的提出问题、分析问题和解决问题，把数学学习与培养能力、发展智力结合起来的关键.今年的上海数学高考试题与近几年的高考题一样，十分重视对数学思想方法的考查，并贯穿于整个试卷之中.
例6 文理科第（5）题：设奇函数f（x）的定义域为[-5，5].若当x∈[0，5]时f（x）的图象如下图，则不等式f（x）＜0的解是_________.
分析：由于f（x）是定义在[-5，5]的奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，因此可作出函数的图象，利用数形结合的思想从几何直观得所求f（x）＜0的解为（-2，0）∪（2，5）.
文理科第（15）题：若函数f（x）的图象可由函数y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转π/2得到，则f（x）=
[答]（A）
（A）10[-x]-1.
（B）10[x]-1.
（C）1-10[-x].
（D）1-10[x].
理科第（8）题：圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为_____.
以上两题亦可用数形结合的思想方法解决.
例7 理科第（10）题：若函数f（x）=a｜x-b｜+2在[0，+∞）上为增函数，则实数a，b的取值范围是_____.
分析：本题是含有绝对值符号和两个参数的分段函数问题.
首先对b的值分类讨论：函数f（x）在[0，+∞]上是增函数，显然应有b≤0；
其次，再对a的值进行讨论：（ⅰ）当a=0时，显然不能满足f（x）在[0，+∞]上是增函数的要求；（ⅱ）当a＜0时，函数f（x）的图象是从点（b，2）引出的两条射线，且当x≥b时，函数在[b，+∞）上是减函数，也不符合要求，舍去.（ⅲ）当a＞0时，函数f（x）在（b，+∞）上是增函数，因此，实数a，b的取值范围为a＞0且b≤0.
本题是一个典型的二级分类讨论题，它对考生分类讨论思维的缜密性有较高的区分度.
例8 理科第20题：已知二次函数y=f[，1]（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f[，2]（x）的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f[，1]（x）+f[，2]（x）.
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解.
本题是考查数形结合思想、函数思想和方程思想的典型试题，它对区分考生的运算能力和逻辑推理论证能力有较高的区分度.
分析：（1）由已知，设f[，1]（x）=ax[2]，由f[，1]（1）=1，得a=1，∴f[，1]（x）=x[2].
设f[，2]（x）=（k/x）（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为A
由｜AB｜=8，得k=8，
∴f[，2]（x）=（8/x）.故f（x）=x[2]+（8/x）.
（2）证法1 由f（x）=f（a）得
x[2]+（8/x）=a[2]+（8/a）.
即（8/x）=-x[2]+a[2]+（8/a）.
在同一坐标系内作出f[，2]（x）=（8/x）和f[，3]（x）=-x[2]+a[2]+（8/a）的大致图象，其f[，2]（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线f[，3]（x）的图象是以（0，a[2]+（8/a））为顶点，开口向下的抛物线.
因此，f[，2]（x）与f[，3]（x）的图象在第三象限有一个交点，且f（x）=f（a）有一个负数解.
又f[，2]（2）=4，f[，3]（2）=a[2]+（8/a）-4，
当a＞3时，f[，3]（2）-f[，2]（2）=a[2]+（8/a）-8＞0，
当a＞3时，在第一象限f[，3]（x）的图象上存在一点（2，f[，3]（2））在f[，2]（x）图象的上方.
f[，2]（x）与f[，3]（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解.因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解.
证法2 由f（x）=f（a），得
x[2]+（8/x）=a[2]+（8/a），
即（x-a）（x+a-（8/ax））=0，得方程的一个解x[，1]=a.
方程x+a-（8/ax）=0化为ax[2]+a[2]x-8=0，
由a＞3，△=a[4]+32a＞0，得
故原方程有三个实数解.
3.设置实际情景，考查应用能力
培养数学建模能力和数学实践能力作为高中数学教学目的之一，注重“综合应用所学数学知识、思维方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题”的考查要求，加强应用意识和创新意识的考查，是近几年来数学高考命题进行探索与改革的重要思路与举措，也已成为上海数学高考试卷的重要特征之一.
例9 见例3.
例10 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8m[2]，问x，y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？
本题主要考查把实际问题通过建立函数关系式：抽象为数学问题，应用不等式基础知识和方法解决问题的能力.
故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省.
4.交汇点上命题，考查综合能力
夯实基础知识，把握纵横联系，揭示普遍规律，注重综合运用.在知识交汇点上命题，考查考生综合分析问题解决问题的能力也是上海高考命题的一个特点.
例11 文科第20题：直线y=（1/2）x与抛物线y=（1/8）x[2]-4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含点A，B）的动点时，求△OPQ面积的最大值.
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合运用知识解决问题的能力.
即A（-4，-2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1）.
由k[，AB]=（1/2），得线段AB的垂直平分线方程
y-1=-2（x-2）.
令y=-5，得x=5，∴Q（5，-5）.
（2）直线OQ的方程为x+y=0.设P（x，（1/8）x[2]-4）.
函数y=x[2]+8x-32在区间[-4，8]上单调递增，
且x=-4时，x[2]+8x-32=-48＜0.x=8时，x[2]+8x-32=96＞0.
故当x=8时，△OPQ的面积取得最大值（5/16）×96=30.
评注：本题从直线与抛物线的关系出发，在数形结合的知识交汇点上命题，求点的坐标；求直线的方程；求点到直线的距离；运用三角形的面积公式建立函数关系式，然后在研究函数单调性的基础上确定面积的最大值.这是今后考查综合能力，命题永远的方向.
二、对今后数学教学的几点启示
1.夯实知识基础，建构知识网络
我们知道，数学不仅是一门知识体系，一门科学语言，一门技术工具，而且还是一种思想，一种理性化的思维范式和认识模式，一种具有新的美学维度的精神空间，一种充满创造力和想象力的文化境界.
从现代认识心理学对知识的分类学说观来看，数学教学的本质，就是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式这些陈述性的知识运用精致、组织、复述、编码的方法运用知识打包理论，让学生在主动参与，积极建构的基础上，形成越来越复杂，越来越有层级的数学知识网络结构，使学生整个学习过程中所蕴含的（或转化成）具有强大统摄性的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生式，让数学知识的获得从最初的公理、定理、概念定义、公式这些陈述性知识形式逐步发展到被编辑了的数学思想方法以及学习过程中养成的数学思维方式，将数学知识转变为易提取的数学地提出问题与解决问题的能力程序性知识.因此，在高考数学复习中，应夯实基础知识，把握纵横联系，建构知识网络，强化重点内容，揭示普遍规律，注重综合运用，培养学生数学地分析问题，提出问题和解决问题的能力.
2.强化思维过程，提高理性思维能力
数学是一门思维的科学，是培养学生理性思维的重要载体，通过空间想象、直观猜想、归纳抽象、符号表达、推理演算、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式做出判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体.在数学教学中注重数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，是数学教学目标之一，这是各种数学能力培养的最终归宿，因此，在高考复习教学中，注重数学思想方法的提炼与渗透；注重一题多思，一题多变，一题多解，横向联系，纵向发散，在理性思维中培养和发展学生的数学思维能力.
3.增强应用意识，重视探究和实践
考查应用意识和创新意识，是近几年来数学高考命题进行新探索与改革的重要思路和举措.加强应用意识的考查是时代发展的需要，是教育改革的需要，也是数学学科应用的广泛性的这一特点所决定的，这是考查分析问题能力和数学综合运用能力的体现.因此，要在平时的教学中，按照贴近课本，贴近生活，联系实际的指导思想，研究生活中的数学这一课题，抓住社会现实中运用数学知识加以解决的普遍问题和社会热点问题，开展研究与探索，提高数学实践能力.
4.大力提倡研究性学习与开放式教学
研究性学习和开放式教学已成为我国具有时代特色的数学教育改革的亮点与热点.采用关注社会，贴近生活，揭示背景，创设情景，分析归纳，提出课题，自主探索，合作交流，深化课题，科学论证，总结反思，实践应用的思路，探索如何让研究性学习有效地走进课堂教学，采用开放课堂，开放学习时空，运用数学开放性问题，培养学生的自主探索精神，主动获取知识、应用知识和学会终身学习的能力.