基于“因子分解”的“数学体验再造”教学实践与思考_数学论文

基于“数学经验再造”的教学实践与思考——从“因式分解”说起，本文主要内容关键词为：因式分解论文,教学实践论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      “数学经验再造”课题是每位数学教师应该着力研究的问题.作为一种心理准备状态，任何新知的习得都必然依赖某些相关经验的参与，当已有经验与具体事件内在思路无法直接顺应时，已有经验必须经历“再造”过程，方能突破直觉定向，规避经验桎梏，实现经验的正迁移，在变化了的新问题情境中寻求到问题解决的路径.笔者结合“因式分解”教学实践，谈谈在初中数学课堂怎样做好“经验再造”工程，实现个体经验原型的直观化、客观化和结构化，并以此打通新知建构的筋脉.

      一、教学实践背景分析

      在小学高年级就学习了公因数的意义、乘法分配律.小学引进公因数，有两个目的：一是渗透逆向思想，二是服务于四则混合运算.而标准在第三学段中对“因式分解”的要求是：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.教材中之所以设置“多项式的因式分解”这一内容，其关键是发展逆向思维能力，突出整式乘法运算与因式分解的互逆关系，为后续学习分式运算、一元二次方程的解法以及二次函数的图象与方程根的关系奠定基础.

      苏科版初中数学教材在设计“因式分解”时，利用单项式乘多项式的逆向思考引出因式分解的意义，给出了因式分解的描述性概念.编者遵循了承上启下的原则，通过“卡通人小丽的旁白”，引导学生回忆小学学过的相关知识.同时，课本安排了找公因式的“议一议”活动，帮助学生明晰确定公因式的方法，并指明了一个多项式各项的公因式常常不止一个.最终帮助学生找到提公因式的操作方法和认识因式分解的方法本质，这些方法具有普化和泛化的作用，这也是本节教学的核心目标，即引导学生初步理解因式分解的本质要义.

      （1）经历逆用单项式乘多项式、乘法公式探索因式分解的过程，体会整式乘法运算与因式分解的联系，发展逆向思维能力.

      （2）通过代数计算和几何面积法，理解因式分解的方法本质.

      课时1：逆用单项式乘多项式、乘法公式（平方差公式、完全平方公式）运算归纳因式分解的概念，初步会用提公因式法、公式法分解因式.

      课时2：理解并掌握用提公因式法、公式法（平方差公式）分解简单多项式的方法，体悟整式乘法运算与因式分解的互逆关系.

      课时3：理解并掌握用提公因式法、公式法（完全平方公式）分解简单多项式的方法，体悟整式乘法运算与因式分解的互逆关系.

      课时4：通过剪拼图形，借助图形面积帮助学生理解因式分解的几何意义，突出问题解决过程，发展学生的数形结合思想.

      评点 研读课标、加工教材，教学目标的准确定位，课时的重新划分等前教学行为的发生为后经验“再造”提供一定的物质准备.

      二、基于“数学经验再造”的教学实践

      课堂教学片断实录（课时1）

      1.情境创设，感悟因式分解的几何意义

      师：在小学里，我们是怎样计算37×2.8+37×5+37×2.2的值？

      生众：按照四则运算顺序从左向右计算.

      生1：把37提出来计算简便，即37×2.8+37×5+37×2.2=37（2.8+5+2.2）.

      师：算式中的37有什么特点？在小学里，它被称为什么数？

      生2：算式中各项都含有因数37，所以37被称为公因数.

      师：如果一个大长方形的面积是37×2.8+37×5+37×2.2.不通过计算，你能直接指出它的一边长吗？

      生众：可以是37.

      师：如果一个大长方形的面积是ab+ac+ad.它的一边长是什么？

      生众：大长方形的一边长可以是a，a被叫做公因式.

      师：（追问）大长方形的另一边的长用什么表示？你能得到怎样的等式？

      生2：（沉思片刻）另一边的长是（b+c+d）；因为长方形的面积是长×宽，所以ab+ac+ad=a·（b+c+d）.

      师：（追问）把多项式ab+ac+ad变形为a·（b+c+d）的依据是什么？

      生3：乘法对加法的分配律.

      师：你能写出类同的等式吗？

      

      师：观察上述等式，等号右边各式以怎样的形式呈现的？你认为什么是因式分解？

      生3：（借助课本）等号右边的各式都是乘积形式；把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.

      设计意图 选用学生的“数学现实”作为学程起点，能让学生体会学习因式分解的必要性，理解数学知识之间的内部关系；在逆向思维的帮助下，学生在头脑中呈现出“公因式”的表征和“因式分解”的直观形象，加速了经验再造的进程.借助面积法揭示分解因式的几何背景和公因式的合理性，能让原本抽象的概念可视可见.

      2.观察辨析，揭示乘法运算与因式分解的本质关联

      下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？

      

      生4：（1）、（2）、（5）是因式分解.

      生5：（迫不及待）（7）也是因式分解，等号右边各式是乘积形式.

      师：怎样验证生5的答案？

      生6：（思考片刻）将等号右边的多项式展开并化简，结果和等号左边的多项式一样.

      师：（4）为什么不是因式分解？

      生众：等号右边整体形式不是乘积形式.

      师：你能写出一个反映因式分解的等式吗？写出你的答案并说明理由.

      （大部分同学写出符合因式分解形式的平方差公式或完全平方公式；也有同学的答案来自课本的例题；少部分同学模仿公式写出符合条件的答案；有3位同学写出类似的错误答案：

，经历交流，找到错源并矫正.）

      评点 因式分解的定义是描述性的，采用的是“像这样的……叫做……”，这就要求我们在教学时，只要抓住概念的实质（即“写成几个整式的积”）即可，淡化概念的教学（它与分解因式所要求的数集有关，本节的分解因式仅限于有理数范围）.设置概念辨析问题旨在抽象出概念属性并加以类化，服务于概念的形成，促进经验的再造和正迁移.

      3.问题探求，归结因式分解的思想方法

      问题1 找出下列各式的公因式：

      

      （1）写出以上各式的公因式，说说你是怎么找公因式的？

      （2）你能把以上各式写成几个整式的积吗？写一写.

      

      评点 问题1的设计单刀直入，需要学生的模仿经验.通过三个思维水平稳中有升的变式问题，让学生进一步体会因式分解的外在表征和内在算理；同时，也让学生逐步明白如何表达才符合“因式分解”的形式化要求.教学现场，教师可以提出如下问题：如何找公因式？提取公因式后，另一个因式如何确定？在此基础上引导学生确定公因式的方法和给出提公因式法的概念，这样才符合经验再造的思维秩序.

      问题2 填空：

      

      请给出符合要求的答案并说明这样做的理由.

      

      评点 在学生领悟因式分解要义的基础上，要引导学生学会如何进行“因式分解”.

      直面多项式的结构，确定用哪种方法分解因式（是纯粹的提公因式法，还是纯粹的平法差公式法或完全平方公式法），这就触及经验再造层面的方法论问题.问题以填空的形式呈现，锁定思维步骤，给学生一定的指向，有利于学生定向把握和定量思考.关键是“让学生先来”，方能释放典例的教育教学功能.

      4.尝试迁移，内悟因式分解的数理经验

      把下列各式分解因式：

      

      经历上述活动，你有哪些思考？说说你用哪些方法分解因式的？

      （学生在已获得的因式分解经验的基础上，给出正确答案（答案略）并指出用提公因式法分解（1）式、用平方差公式分解（2）式、用完全平方公式分解（3）式.其间，多个因式乘方时，括号依然有丢掉的现象，再次借助小组的力量加以思维补缺.）

      评点 该模块撇开思维形式化铺垫，解题要求的思维水平明显上升.深化链接因式分解的方法（提公因式法+平方差公式法+完全平方公式法），方法是经验再造的福利，关键是懂得教为学让步，即可达成优化组合的设计初衷.也为后续“一提、二套、三分解”的方法铺垫操作经验和思维地气，教学中要切实用好它.

      三、基于“数学经验再造”的教学思考

      1.尊重“数学现实”是数学经验再造的起点，让经验直观化

      数学经验“再造”要在尊重学生数学现实的基础上，激活学生已有的数学经验，使得已有经验成为数学现实的现实.学习者在学习生活中已经积累了一些相关的数学经验，这些知识经验经过再造方能成就新概念的积极迁移.任何脱离数学现实、脱节经验的教学行为都是违背认知规律的，其教学实效是值得诘问的.数学教学中要加强个体数学现实与已有经验、待学新知之间的联系，实现“算理”经验与直观经验“有效对接”，并借助“转化”将算理经验再造为直观化的数学经验，为迁移新知铺垫必备经验

      课例“情境创设”栏，就是借助整式的乘法运算的算理，在逆向思维的参与下，将算理经验再造为因式分解的直观经验，为因式分解概念的着床发育培植了经验的温床.如果说将小学时“公因数”的概念再造为“公因式”的经验是一种直观的感性经验，那么借助图形面积法，将乘法对加法的分配律再造为因式分解的雏形是一种直观的理性经验，则通过逆向思考，将单项式乘多项式的公式再造为因式分解描述性概念是一种直观的知性经验.而这些直观的感性经验、理性经验、知性经验都成为因式分解学习现实的“现实”，为因式分解概念的完形生长添就了水到渠成的经验现实，这就是数学经验再造工程释放的数学力量.

      2.经历“数学活动”是数学经验再造的站点，让经验客观化

      “我们全部的知识是建立在经验上面的，知识归根到底是导源于经验.”洛克的学习经验论在一定层面揭示了经验再造对学习迁移的积极意义.事实上，数学学习过程是个体经验体系在一定环境中自内而外的生长过程，必须借助对已有的数理逻辑经验再造，方能实现知识的建构行为.这就要求教师以数学活动为物质载体，引导学生经历“辨析”数学和“判断”数学的思考过程，获得概括感性数学经验的契机，促进学生从“经历”走向“经验”.同时，要借助知识经验的内部联系，站在学生经验再造现实的基点上，把握数学活动的连续性，让个体在主观建构中所获得的“个体经验”得以调整、重组，从而建立确定的“客观经验”，使得个体经验再造并螺旋上升.

      课例“观察辨析”栏，就是借助系列辨析题，在变式经验的参与下（7道不同表征的变式题），从已有的数理经验出发（整式乘法运算的算理），让学生对判断对象的属性进行感知和表象（等号右边整体上是否是乘积形式且等号成立），突出概念的本质属性（因式分解），区分出非本质属性（已有认知结构中的乘法运算算理），进而获得概括概念的经验.个体在思维判断的过程中，经历了“观察思辨→联系比较→归纳概括→深入理解”的研究过程，学生已有的“事实性经验水平”的认知思维走向“概念性经验水平”和“方法性经验水平”，学生的客观经验从一个水平层次上升到更高水平，实现经验的改造或重组.

      3.体验“思维实验”是数学经验再造的拐点，让经验结构化

      能引起感觉的东西是外在的；要感觉，就必须有被感觉的东西.顺着亚里士多德的经验倾向走，“思维实验”是以问题为载体，让学生在问题解决和解决问题的过程中积累数学经验并适时适度的再造，使得个体获得将“知识结构”转化为“认知结构”的经验和能力.让个体经验结构化，客观经验秩序化，并形成逻辑顺序稳定的图式结构.课例“问题探求”栏的“找公因式”活动和“用公式法”尝试填空都是思维实验的好载体.经历这样的思维活动，学生要将提公因式法和公式法（知识结构）转化为具体的分解因式行为（认知结构），同时经历思维实验、经验交互，个体经验渐次合理、稳定并趋于功能固着.

      事实上，数学经验需要一个长期的动态累积过程.想一步到位获得数学经验是困难的.数学活动的重复和提升、思维实验的反复、连接，让学生经历原初经验的再生、再认，进而形成对这些经验的概括、提升，在多次调用、反思后内化为经验图式并渐次结构化，这些结构化的经验才能为后续的学习经验再造奠定基础.课例“尝试迁移”项就是“问题探求”项思维实验活动的升级版（因式分解方法论），体现经验结构化的反复性和经验再造的连续性.总之，经验需要概括，更需要再造，方能让经验成为经验，方能体现思维实验作为经验再造拐点的核心价值.

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