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感知是指对事物特征的直接认识，它是一切学习活动的起点。只有被感知到的对象，才能进一步进行精细的认知加工。感知包括感觉和知觉，感觉是人脑对直接作用于感觉器官的客观事物的个别属性的反映，而知觉是人脑对直接作用于感觉器官的客观事物的整体属性的反映。
一、数学感知的含义及特征
1.数学感知的含义
数学感知指的是对数量关系和空间形式的感知，是对对象的结构、特征和关系的感觉登记和知觉加工活动，数学感觉登记绝大多数是通过视觉通道进行的，而数学知觉的形成需要用数学工具（数、式、图形、表格、程序、符号）描述对象，并根据特定的需要运用数学思想方法构建具有相关结构、特征和关系的典型模型。
例如，函数是初中数学的核心概念，对于函数关系的感知，首先需要考囗各种背景下两个变量的依存关系和变化过程（例如，匀速运动中物体运动的路程与时间的关系，总价不变下单价和数量的关系，矩形周长固定时面积与一边长之间的关系，气温和时间的关系，等等），当环境给出这些刺激时，个体需要把这些刺激转化为视觉形象或听觉序列进行初步的感觉登记，然后把注意力聚焦于变量的变化，通过数值计算（或估计）来体验两个量之间的对应关系，进一步构建一种能初步描述这种对应关系的典型拓扑模型（如图1）。
图1
随后，通过函数解析式、函数图象建立起函数概念的系统典型模型，形成变量之间对应关系的度量知觉。
2.数学感知的特征
从上述函数关系的感知过程可知，数学感知与一般感知相比，具有其特殊性，主要表现在以下7个方面。
(1)数学感知对象的特殊性
数学感知是对数量关系和空间形式的感知，感知的关注点是数量和数量关系、空间位置、形状、大小和结构关系。数学感知的对象具有数字加工和空间加工的基本特征，同时，语言是空间加工和数字加工的表征载体和联系桥梁，而数学语言具有形式化、符号化的特征，这就形成了数学感知基于数学语言符号进行空间和数字加工的属性。
(2)数学感知方法的特殊性
空间形式和数量关系不仅是数学的研究对象，而且是数学研究的核心思想方法[1]。用数量关系和空间结构形式描述现实世界中对象的特征，用基于数量关系和空间形式的抽象模型描述客观世界的对象，用直接观察的方法获得对象的数量属性和空间属性，用推理的方法间接获得对象的数量关系和空间属性，这是最核心的数学思想。因此，用已有的数量关系和空间形式构建新对象的数量关系和空间属性的知觉，是数学知觉建构的核心途径。
(3)数学感知结果储存方式的特殊性
数量关系和空间形式是数学地保持客观世界知觉的基本方式。经典认知心理学认为，记忆有语义记忆、情境记忆和图式记忆3种基本方式，而数学记忆是对数学对象的属性、结构和关系的结构化、形式化记忆[2]，数学记忆是基于模型、典型样例的图式和基于语义的概念命题记忆的综合体[3]，这种综合体体现的是数量关系和空间形式及其相互关系，具有显著的直观性和相互联系的特征。
(4)数学感知的数形结合属性
数量关系和空间形式是数学研究的基本对象、数学研究的基本工具、数学记忆的基本形式。同时，视知觉的形成，需要经历从拓扑到度量的过程，这就决定了数形结合是数学感知的基本属性。任何数学对象的知觉形成，都开始于对象的拓扑特征，深化于对象的度量特征。例如，在对函数关系的知觉形成过程中，经历了以下3个基本过程：
①对应关系的刺激；
②对应关系的拓扑图形描述（用集合的文氏图描述对应关系，如图1所示）；
③坐标系中的对应关系图（函数图象）。只有经历了函数图象引领下的函数对应关系的数量研究，才算形成了函数关系的稳定知觉。
再如，对直线的平行关系的感知开始于生活中的实例（近似模型），通过公共点个数获得直线平行关系的初步知觉，以角度进行初步的平行关系度量化表征，通过变换（平移）深化理解，最后通过向量运算特征的描述，获得对这种仿射变换下的不变性的进一步理解。
(5)数学感知的视觉优势与跨通道属性
数量关系和空间形式是数学研究的基本对象，视觉是空间知觉的通道，数字感知则可能联系视觉通道和听觉通道，而且涉及通道的转换，对大数的知觉形成，采用的数量模拟系统，往往与空间对象的度量相联系；对小数的精确感知，则采用客体归档形式加以区别。小学低段中学习的小正整数（如5以内的正整数），是经过数数形成的知觉，基本上是采用客体归档的形式形成知觉的，而大正整数的认识，则是基于序列中的元素比较，借助语言形成的知觉。从有理数开始，学生是基于数量模拟系统形成数量知觉的[4]。克莱茵认为，自然数是数出来的，而分数是量出来的[5]。量的过程就涉及空间客体加工。因此，数学感知实际上既依赖于视觉通道，也依赖于听觉通道；既具有空间加工的属性，也具有语义加工的属性。同样，在视觉空间加工中，个体的知觉首先来自于视觉通道，但进一步的综合知觉的形成需要借助语言，具有语言能力的个体的空间知觉加工也兼具语义加工的属性。可以说，数学感知既需要空间加工，也需要语义加工，其中视觉加工是数学知觉加工的优势通道。
(6)数学感知受制于选择性注意
数学感知过程分感觉登记和知觉形成两个基本阶段，在感觉登记阶段，对象的许多特征同时到达丘脑，但只有少数特征可以通过丘脑进一步投射到相关的脑区，这时，信息本身的特征竞争就成为获得进一步加工的一个要素。例如，在空间视觉加工中，具有背景反差、邻近性、相似性、连续性、闭合性（结构完整性）和对称性的对象就容易获得进一步加工的机会[6]。信息与个体体验的相关程度成为影响信息获得进一步加工机会的另一重要因素。例如，在数学课堂中，学生往往更喜欢教师用“海上日出”的情境来引入“直线与圆的位置关系”的学习，当学生看到海上日出的景象时，由于情境画面丰富，对优美的环境的记忆往往会更加深刻，容易使学生关注到情境中的非数学信息，如果不进行适当引导，则可能因学生的想入非非、忽视数学要素而影响对象的数学感知效果。数学知觉的形成，需要个体有意识地关注对象的某些信息，抑制无关信息的干扰，把关注的对象信息从背景中分离出来，形成对象特征的稳定知觉。在此例中，要引导学生形成直线与圆位置关系的稳定知觉，需要引导学生关注太阳与海平面的位置关系，从而进一步关注圆与直线的位置关系。教师可以用诸如“在这个画面中有我们熟悉的圆和直线，大家想一想，直线与圆可能有哪些位置关系呢”的语言引导学生进行有意识的信息抑制，从而引导学生进行合理的注意选择。
(7)数学感知需要思维的参与
数学具有抽象性和概括性，数学对象的属性、结构和关系的联系具有一定的因果逻辑关系，因此，在数学感知，特别是抽象和复杂对象的感知过程中，在对象特征扫描以及对象特征整合阶段，需要进行模型建构以及抽象概括和推理活动。例如，在无理数概念形成过程中，需要引导学生感知无理数的存在，为了让学生直观地感觉到外在信息的刺激，先让学生知道面积为2的正方形是存在的（通过拼图实验接受刺激），形成面积为2的正方形的边长一定是一个数的知觉，然后让学生总结有理数的小数表现形式，从中形成有理数是有限小数或无限循环小数的认识，再利用计算器计算面积为2的正方形的边长是无限不循环小数，从而知觉到这个数不是有理数，而是一个新的数——无理数。这些都是从实验操作的角度让学生认识到所得到的数不是有理数，而要真正确定所得到的数不是有理数，需要根据分数定义用反证法进行逻辑证明（让学生了解证明过程，对形成无理数的稳定知觉，无疑是有益的）。
二、数学感知的心理过程
数学知觉形成需要进行特征扫描和特征整合，与一般感知过程一样，数学感知分感觉登记和知觉形成两个阶段；另一方面，基于数学感知的特殊性，数学感知过程具有“两个阶段”（即感觉登记与知觉形成两个阶段）、“三种过程”（即感觉登记、特征扫描和特征整合三种过程）：
在感觉登记过程，视觉从光模式刺激中获取对象的拓扑特征（整体轮廓），同时，对象中与个体经验密切联系的特征也以自动加工的形式平行存在；
在特征扫描过程，个体进行注意选择，有意识地按照一定的次序（先熟悉再陌生、从整体到部分、从拓扑特征到度量特征）对对象的特征进行扫描；
在特征整合过程，个体有意识地把不同层次的特征模块整合成对象的稳定形象。
在感觉登记过程，以视觉加工为主，加工的方式是平行的自动加工；在特征扫描和特征整合过程，则需要语言符号的参与，属于系列加工。这一数学感知过程可以用图2表示：
图2
例如，在日常生活中，图形的放大与缩小、同一棵树上的两片树叶都给我们以形状相同的信息刺激（这是基于视觉通道的拓扑属性的感觉登记），当我们关注这种形状不变现象后，针对具体的图形（从简单到复杂）对这种图形之间的关系进一步进行度量特征扫描，并从静态和动态两个角度进行观察，获得三角形（以及凸多边形）对应边和对应角的特征（需要用语言符号表述），从而针对三角形和凸多边形形成了形状相同的稳定知觉。
数学对象的稳定知觉的形成是以各种变换下的不变性质为参照的。例如，两个代数式相同的感知，需要对字母不同的取值下代数式的值都相等的现象进行观察；两个方程（不等式）等价，指的是解集相同（同解）；两个函数相同，指的是定义域、值域和对应关系相同；图形的等价关系则可以建立在拓扑变换、射影变换、仿射变换、相似变换、全等变换的不同稳定层次的不变性上。
数学对象的稳定知觉形成，需要从拓扑特征到度量特征的分层扫描，需要经历从整体到部分再到整体的加工过程。例如，对直线与圆的位置关系的稳定知觉的形成，经历了以下3个基本阶段：
(1)从直线与圆位置的连续变化中，认识到直线与圆位置关系有三类；
(2)基于直线上的点落到圆内和圆上的个数，这种拓扑性质，形成对三种位置关系的拓扑描述；
(3)基于度量（圆心到直线的距离与圆的半径比较），对直线与圆的位置关系进行描述。
在阶段(3)中，需要把直线看作点集，把直线与圆的位置关系用直线上点与圆的位置关系来描述，利用垂线段的最短性作为转化的中介，这就是细节度量的特征扫描过程；最后，需要把得到的各种特征重新整合，形成结合图形的直线与圆位置关系特征的整体稳定知觉。
三、影响数学感知的基本要素
1.外在刺激信息的特征
具有背景反差、邻近性、相似性、连续性、闭合性（结构完整性）和对称性的外在刺激信息，更容易在注意控制竞争中得到更有利的地位，得到更多的注意资源，具有感知的优先性；变换中不变性显著的特征信息具有优先感知的地位，这可能与负责信息变化监控的“前额叶—海马”结构激活有关[7]，变化而造成认知冲突的信息更具有感知的优先性，与个体经验相关度高的信息也容易进行知觉加工。
2.个体的数学感知经验、数学知识丰富程度和数学思维水平
个体的数学感知经验、数学知识丰富程度和数学思维水平也影响着数学对象的感知加工。具有不同知识经验和思维水平的个体对同一对象的感知速度、感知深刻程度和感知广度是不同的。同样看到圆形，驾驶员首先想到的是方向盘和轮胎，而初中有一定几何基础的学生想到的可能是圆的轴对称性和旋转不变性，高中学生则可能想到圆与椭圆的关系，想到圆的方程。
3.感知对象的典型性
感知对象的典型性对一类对象特征的知觉形成具有重要的影响（这可能与数学归纳有关）。
4.感知任务
感知任务通过影响个体的选择性注意而进一步影响知觉的形成，同一对象在不同的感知任务下，由于关注焦点的不同，可能会形成不同的知觉。在图3（由小正三角形拼成的大正三角形）中，随着感知任务的不同而导致注意选择的不同，可能分别感知到正三角形、菱形、等腰梯形和正六边形。
图3
5.教师的合理指导
在正在学习数学且有教师指导的学生的数学感知过程中，教师的合理指导对学生迅速而深刻地形成对象特征知觉具有重要作用。
四、数学问题的感知
数学问题中往往包含着多个对象，而且对象之间的结构联系复杂而隐晦，因此，数学问题的结构感知具有综合性和复杂性。数学问题中包含了描述条件和结论的语言符号结构，体现对象数学属性的数量特征和空间关系结构，体现数学属性之间因果关系的逻辑结构。
1.数学符号语言的感知
数学问题的表达，往往是自然语言和数学符号语言、图形语言、表格语言相互交叉出现的。一方面，由于在不同符号语言的感知中，形成的知觉效果不同，使问题中不同的符号语言相互转换需要花费很多注意资源；另一方面，由于学生对某些符号语言的敏感性高、对某些符号语言的敏感性低，往往容易导致对问题某些结构的忽视，而影响问题的解决因此，数学问题感知的第一关就是阅读问题，把描述问题的不同符号语言进行一致转换，通过问题的抽象化模型特征描述，把问题中的不同语言描述统一到某一背景或模型中。数学问题结构感知的第一步是明确问题的背景和主要对象，把问题的不同语言描述用统一的数量关系和空间结构关系进行描述，并标注在主要对象的数学模型上。
例1 2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥通车了。通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米。已知运输车速度不变时，行车时间从原来的3时20分缩短到2时。
(1)求A地经杭州湾大桥到宁波的路程。
(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波的运输成本是1.8元每千米，时间成本是28元每时，那么该货车从A地经杭州湾大桥到宁波的运输费用为多少？
(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地出发经杭州湾大桥到宁波港，再从宁波港转运到B地，若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线到B地的运输成本为8320元，其中从A地经杭州湾大桥到宁波港的每车运输成本与(2)中相同；从宁波港到B地运输这批不超过10车的货物的海上运输成本是800元每车，当货物每增加一车时，每车的海上运输成本减少20元。问这批货物有多少？
问题中有大量的自然语言描述和许多数据，如果仅靠反复阅读，由于问题中的描述语言远远超出了个体工作记忆容量，往往会“读了前面忘记后面，读了后面忘记前面”，难以形成问题结构的整体知觉。在这个问题的感知中，首先应该用示意图描述问题的背景和对象，这时对问题背景的感知往往没有数量特征，只是拓扑特征（连通性、连续性和封闭性），在此基础上，对这个模型进行数据标注（如图4）。
图4
问题(1)中，需要感知模型中的关键数据：两种不同路径下的路程、速度、时间及其相互关系，如路程=速度×时间，同一类量在不同运动过程下的相互关系；在两个运动过程中，运动时间确定，运动速度相同，运动路程相差120千米，从中发现，当路程给定（设为未知数）时，可以由速度相同列出方程解决问题。
同样，在问题(2)中，首先需要感知成本构成关系（如图5），再把运输成本和时间成本分别用数量表示，就可以求出总费用。
图5
在问题(3)中，首先感知的是费用组成的类别拓扑图（如图6），得知：总成本=陆运成本+海运成本。在此基础上，重点感知陆运成本、海运成本与车数之间的关系，并用含未知数的式子表示。
图6
学生容易感知到“陆运成本=（每车运输成本+每车时间成本）×车数”，而海运成本与车数之间的关系并不明确，需要在感知的基础上进行归纳和表征（如图7），根据总费用与两段费用关系列出方程进而求解。
图7
2.数学问题中的图形结构关系的感知（主要是视觉感知）
视觉感知最基本的功能之一是视觉分割，即分辨哪些信息属于一个整体，进而把这些信息组成一个独立的目标。
例2如图8，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0,4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD。
图8
(1)求直线AB的解析式；
(2)当点P运动到点(
,0)时，求此时DP的长及点D的坐标；
(3)是否存在点P，使△OPD的面积等于
，若存在，试求出符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由。
怎样感知这个问题中的图形结构呢？
首先，需要阅读问题：
①从题干发现问题的初始条件中有“直角坐标系”的背景，联想到可能需要进行坐标计算；
②由“等边△AOB”，联想到可能涉及相等的边和60~角；
③由“把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD”，即直角三角形的旋转，联想到这可能涉及到图形旋转的性质以及全等三角形的有关性质。
其次，通过阅读问题(1)，明确需要确定的结论“求直线AB的解析式”，联想到确定直线解析式的条件——直线上两点的坐标。由于点A的坐标已知，关键是确定点B的坐标——结合坐标系中等边△AOB解决问题。
再次，由“把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD”，发现点D的坐标完全由“△ABD”以及点B的坐标确定。在问题(1)中求出了点B的坐标，因此点D的坐标完全由△ABD决定，因而由△AOP确定，进一步可知，本质上是由点P的位置确定，在此基础上发现DP也完全由点P的位置确定。
最后，通过阅读可以知道，问题(3)是已知结论探究初始条件“点P的坐标”。由结论“△OPD的面积等于”，发现需要分析△OPD的面积与点P的位置的关系。由于点D的位置由点P的位置确定，而点O的位置不变，△OPD的面积完全由点P的位置确定，从而可以建立它们之间的联系，使问题(3)顺利解决。
总结、反思上述的阅读、思考过程：首先，需要从问题的阅读中明确问题的背景——在直角坐标系中，主要对象——等边△AOB，直角△AOP，直角△ABD，主要对象的变化过程——把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边A0与AB重合，得到△ABD。其次，需要分别针对每一小题，感知与结论相关的对象的数学特征及其变化规律，明确结论相关对象的特征是由什么决定的，变化是由什么原因造成的，感知结论相关对象可能与问题条件系统中哪一部分相联系。第三，把结论相关的对象特征与条件系统中的特定部分建立明确的联系，并用数学方式合理地表示出这种联系，如果难以直接表示，就通过建立数学模型联系条件和结论。
感知问题结构过程，就是把问题的整体和各部分的结构与背景相分离，通过这种分离明确问题的整体结构或若干部分结构的特殊性，并与基本和典型的结构相联系，为后续解题提供有效的启发。例如，在上述例子中发现问题中的等边三角形、直角三角形、图形旋转，可以为知识经验搜索确定合理的方向（这其中往往需要将当前结构与记忆中的典型结构进行类比），为后续的解题活动提供有效的启发。
3.数学问题的因果关系（逻辑关系）结构的感知过程
数学问题的因果关系结构，是问题与数学知识内在联系的桥梁，数学问题中的逻辑关系结构往往隐含在问题的数量与图形结构之中。对数学问题逻辑结构的感知，需要数学推理的参与。在问题逻辑结构的感知中，首先需要将问题中的典型结构与个体记忆中储存的结构进行类比（例如，例2中的等边三角形——三边相等、每个内角为60°；直角三角形——已知一边和直角外的另一元素可以求出其余元素；直角坐标系中多边形的面积——转化到用点的坐标表示，等等），为把已知条件和结论进行合理的数学表征和转换提供方向性启发。其次，在一些复杂问题中，需要对感知到的对象的属性进行归纳（如例1(3)中的货物车数与海运成本之间的关系），把隐含的数量关系和空间结构明朗化。第三，需要对形成知觉的结构进行逻辑检验，或者从条件和结论中直接利用等价关系或因果关系得到中间结构模型，从而逐步缩短条件和结论的逻辑距离（在数学证明题的分析中所用的“顺推法”、“逆推法”和“两头推法”就是问题感知中演绎推理运用的典型例子）。
4.问题结构感知的综合性、层次性和有序性
数学问题结构感知中，对问题的语言符号感知、数量结构和空间结构感知、逻辑结构感知是同时交叉进行的。对问题中的语言符号结构的感知，需要把不同表述方式进行统一表征，而模型构造和抽象是实现表述方式统一的重要策略；在问题的数量结构和空间结构的感知中，用数形结合的方法感知和表征问题结构具有良好的启发性；对问题的语言符号结构、数量结构和空间结构的感知中，需要同时感知问题的因果逻辑结构，而问题的因果逻辑结构的感知，离不开抽象概括和推理。数学问题结构感知的本质，是把问题中的系列结构从背景中分离出来，由于问题的整体结构是由问题中不同层次关系的子结构组成的有机系统，数学问题结构的感知是分层次、有次序的。在数学问题结构感知中，问题刺激引发感知自下而上的加工和从知识经验开始、指向问题的自上而下的加工并存。在数学问题结构感知中，工作记忆容量限制着感知中知觉的形成，也就是说，个体对问题结构的一次同时感知项目个数不能超过工作记忆的容量，如果的确需要进行多项目的同时感知，则需要对这些项目进行合理组织和归类（如视觉感知中用颜色对比、恒定、邻近、连续、同向、对称等格式塔原理进行归类和捆绑）。
五、数学感知的基本方法
1.观察测量
直接观察和测量是认识事物最基本的方法，直接观察和测量具有直观性、启发性。例如，在“勾股定理”的学习中，让学生自然合理地感知到直角三角形三边之间的平方关系，是一个值得研究的问题。可以首先让学生计算图9（见下页）网格中的正方形的面积（如此简单的问题让学生感觉到惊奇）。然后，再让学生计算图10（见下页）中变化位置后的正方形面积（面积不变，仍然为25），再让学生用不同的方法计算面积，产生了“割”“补”两种不同的方法，建立正方形面积与三角形三边之间的数量关系，从而得到了“勾3股4弦必5”的结论，而且学生感知到的是直角三角形特殊边长的平方关系。最后，让学生在没有网格的情形下建立正方形与四个全等的直角三角形的关系，形成直角三角形三边平方关系的一般、稳定的知觉（如图11）。
2.数学实验
当对象隐晦而不能通过直接观察形成对象的特征知觉时，需要对变化中的对象进行适当的条件操纵，即数学实验，让对象特征在实验过程中分层次地显现出来，形成对象特征的知觉。例如，一枚硬币抛出后，落地时正面朝上的可能性有多大？这一规律的感知需要进行数学实验，让学生直接知觉到随着试验次数的增加，正面朝上的次数越来越稳定于总试验次数的一半。
3.模型建构
在数学感知过程中，对象的背景复杂往往干扰着个体知觉的形成，这时，就需要个体有意识地抑制一些信息的刺激；或者由于对象的视觉形象与个体经验中的典型结构有差异，隐含了某些结构信息，需要进行对象结构的复原。这些，都需要根据感知任务对对象的结构、特征和关系进行重组，从而涉及到数学模型的建构。如在“勾股定理”的学习中，建构正方形面积与四个全等的直角三角形面积之间的关系，在解几何题时忽略无关结构的图形重构等。
4.归纳整合
个体对数学对象特征的感知，从整体的拓扑特征开始，然后进行分层特征扫描，获得各不同层次、不同子结构的部分特征，这时，就需要针对形成的模型，进行模型特征的重新标注，建立知识之间的相互联系，新对象特征与个体已有经验的联系，形成对象特征的整体、系统的知觉。例如，在初中锐角三角函数概念的学习中，当学生观察了30°、45°、60°的锐角相应的直角三角形三边关系后，引导学生测量一般锐角（如37°）锐角相应的直角三角形的三边关系，通过《几何画板》制作动画，并进行测量，让学生感知当锐角确定时，三边的比例关系确定，再通过相似三角形证明这一结论，在此基础上，形成锐角与比值的对应关系知觉。这时，需要画出直角三角形，并在直角三角形中标注出这些比值（如图12），从而形成锐角三角函数概念的系统理解。
图12
数学认知的过程包括感知、表征、抽象概括和推理、记忆等活动，研究这些过程的心理机制及其影响要素，是数学教学效率的基础，教师应遵循感知规律，开展教学活动，这是高效率数学教学的重要保证。