数列递推教材研究_数学论文

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一、问题的提出

人教社章建跃老师在文[1]中指出“最近几年这个问题(递推数列为背景的压轴题)又热闹起来了,于是递推数列的题型及其解题技巧又热起来了.在递推数列的代数变换中,由于涉及巧法较多,而这些确实是学习的难点,因此教师就在技巧上大做文章……题型套题型,题型何其多;没有思想方法作为主线,成为题型的杂乱无章的堆砌.实际教学中,采取灌输的方式,将这些题型及其解法强加给学生.这种只给结果的教学是不可能奏效的,因为没有对解法的来源有任何交代,因此学生是无法理解的.”为纠正“重结果轻过程”,坚持“过程与结果并重”使数学教学成为“有思想的”教学,章老师亲自对递推公式为常数,且p≠1)的通项公式探求做了精心的教学过程设计.(具体内容见文[1]例9).章老师作为人教版副主编能深入课堂教学一线,亲身亲为,是我们数学老师学习的典范.递推数列的理解和教学实施确实还存在不少问题有待探讨:课标对递推数列有无明确限制与要求?教材编写必须贯彻高中数学课程的基本理念与要求,那么递推数列在教材中又是如何呈现的?它的要求是什么?在具体教学实践中如何把握“度”、如何组织有效教学?如何看待高考对递推数列的要求?等等.

二、递推数列在课标与教材的要求与呈现形式

1.从课标看递推数列

递推数列是数列的子概念,数列内容在课标中主要安排为:必修模块数学5(约12课时)、选修系列4-3数列与差分(18课时).另外,选修1-2中“推理与证明”和选修2-2中“推理与证明”因为有“合情推理”,数列及其通项是很好的载体,理科还有“数学归纳法”,这就为归纳猜想的结果证明提供了方法支撑;递推数列与算法.细读课标的内容标准,数学5“数列”没提递推数列这一概念,更没有对其内容编写和教学提要求和限制(主要是对等差数列和等比数列这两个模型的学习探讨).不过课标对数列的教学提了一条要求,“应保证本技能的训练,引导学生通过必要的练习,掌握数列中各量之间的基本关系.但训练要控制难度和复杂程度”,这条虽不是针对递推数列,但也可理解为对递推数列一样需要遵循;选修系列4-3“数列与差分”中差分方程与递推数列有一定联系,但内容设置的角度与意义不是一回事,而且目前尚无省份选该专题,本文讨论不涉及此专题.

2.从教材看递推数列

从系统和整体联系角度观察,人教A版对递推数列编写是以螺旋式呈现的,其基本思路线索可概括为:描述性定义→递推公式是数列的一种给出方式→等差(等比)数列是最简单的递推数列→归纳猜想递推数列的通项公式→用数学归纳法证明(理科).具体的要求是:数学5中了解定义,知道递推公式是给出数列的一种方式,会根据公式求前几项,在教师引导下知道等差(等比)数列是最简单的递推数列,这些是“满足所有学生的共同数学需求”;选修1-2和选修2-2中“推理与证明”的“合情推理”设置一些简单递推数列通项公式猜想的例子和习题,其意义在于训练学生合情推理的能力,递推数列为载体,不在于对递推数列内容做深入研究,理科稍有弹性,借助数学归纳法可对猜想的结果给予证明.这些方法和思维训练为学生提供了选择和发展空间,从某种意义上说是“满足不同学生的不同数学需求”.

教材的编写,体现了编者的数学理解和课标阐释:递推数列是特殊的数列,而等差数列和等比数列又可视为特殊的递推数列;等差数列和等比数列是两种重要的数列模型,感受这两种数列模型的广泛应用,侧重实际应用,但也不应不涉及数学内部的应用:如将简单的递推数列化归为等差数列或等比数列模型解决.

3.从高考看递推数列

以2010年高考统计为例.全国13套新课标卷(理)数列解答题有2道为递推数列:

把考题与教材比较,我们得到三个结论:递推数列的考查在高考中仍有可能出现;递推数列考查的难度控制得较好,不繁杂也不需高技巧,“源于教材,略高于教材”;突出化归思想,将递推数列回到等比(差)数列模型,是等差、等比数列模型的迁移应用.

三、递推数列的教材例子、习题和阅读材料的分析

本文所讨论的是人教A版材料,包括数学5(2007年第3版,2010年第1次印刷)和选修2-2(2007年第2版,2010年第1次印刷).

1.关于例子

数学5中与递推数列有关的例子共5个,选修2-2共2道:

2.关于习题

选修2-2的递推数列练习3道,任务明确,旨在训练归纳猜想.

3.关于阅读材料

数学5在拓展性栏目“阅读与思考”选取了与递推数列关联的两个主要问题,即“斐波那契数列”和“九连环”,富于趣味,体现数学的奇妙和魅力.此栏目为学生提供选学素材,教材建议有兴趣的学生可以自主选择其中的一些内容进行探究.很有意味的是,在人教A版选修4-7优选法与试验设计初步还提供了“斐波那契数列和黄金分割”的阅读材料,并在边框给出了通项公式:

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