透析思维过程，培养思维能力——等差数列前n项和性质教学案例，本文主要内容关键词为：等差数列论文,思维能力论文,教学案例论文,思维论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在学习过程中，每个学生都有自己的活动经验和知识积累，有自己的思维方式和解决问题的策略，每个学生的思维能力与思维水平是不同的.学生思维水平的差异集中表现在对知识概念的理解和解题中对题意的分析上.从整体上看当前中学生的主要思维方式是辨别题型、选择方法；而主观性、单向性、封闭性是学生处理信息的主要态势，学生的数学思维能力亟待提高.普通高中数学新课程非常注重提高学生的思维能力，把它作为数学教育的基本目标之一.新课程要求数学教学必须鼓励学生积极参与教学活动，特别是思维上的参与，通过个体积极思考、与别人讨论疑难问题、发表不同意见等方式，激活思维；通过促进学生在心理活动、变化中的同化与顺应，深化思维，不断地提高数学思维能力.
一、案例实录
1.例题改编、发现问题
师：请你把书（《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》第一册（上））第117页例4：“已知一个等差数列的前10项和为210，前20项和为1220，由此可以确定其前n项和的公式吗？”改编成一个新的问题并求解n在此过程中你有什么发现？
学生部分成果（记等差数列｛a[，n]｝的前n项和为S[，n]）：
（1）等差数列｛a[，n]｝中，S[，m]=210，S[，2m]=1220，试确定S[，n]的表达式.
（2）等差数列｛a[，n]｝中，S[，10]=10，S[，20]=20，求S[，n].结论：S[，n]=na[，1]，发现：d=0.
（3）等差数列｛a[，n]｝中，S[，10]=20，S[，20]=10，求S[，n].结论：S[，n]=70n-3n[2]/20，发现：S[，30]=-30.
（4）等差数列｛a[，n]｝中，S[，10]=210，S[，20]=210，求S[，n].
结论：S[，n]=630n-21n[2]/20，发现：S[，30]=0.
生A：对题（1），由ma[，1]+（m（m-1）/2）d=210 ①
2ma[，1]+（2m（m-1）/2）d=1220，
②
得 a[，1]=400-190m/m[2]，d=800/m[2]，
则 S[，n]=400n[2]-190nm/m[2].
从形式上看S[，n]是关于n，m的表达式，但n取某些值时，S[，n]与m无关，如：S[，3m]=3030，S[，4m]=5640…这是为什么？
2.旧知应用、激活常规思维
师：A具有敏锐的观察力，那么S[，m]，S[，2m]，S[，3m]…为什么会如此特殊呢？
生B（兴奋又有点担心）：我认为习题3.3第10题：“已知数列｛a[，n]｝为等差数列，S[，n]为其前n项和，设k∈N[*]，则S[，k]，S[，2k]-S[，k]，S[，3k]-S[，2k]…构成等差数列.”这一结论能解决A的问题，但我没想到如何证明.
师：B发现的是等差数列前n项和的一个重要性质，你能证明吗？
生C：可用等差数列定义证明，
S[，k]=a[，1]+a[，2]+…+a[，k]，
S[，2k]-S[，k]=a[，k+1]+a[，k+2]+…+a[，2k]，
S[，3k]-S[，2k]=a[，2k+1]+a[，2k+2]+…+a[，3k]，
则（S[，2k]-S[，k]）-S[，k]=（a[，k+1]-a[，1]）+（a[，k+2]-a[，2]）+…+（a[，2x]-a[，k]）=k[2]d，
同理（S[，3k]-S[，2k]）-（S[，2k]-S[，k]）=k[2]d，
∴S[，k]，S[，2k]-S[，k]，S[，3k]-S[，2k]成等差数列.
生D：可用等差数列性质证明，
（S[，3k]-S[，2k]）+S[，k]
=（a[，2k+1]+a[，2k+2]+…+a[，3k]）+（a[，1]+a[，2]+…+a[，k]）
=（a[，2k+1]+a[，1]）+（a[，2k+2]+a[，2]）+…+（a[，3k]+a[，k]）
=2（a[，k+1]+a[，k+2]+…+a[，2k]）
=2（S[，2k]-S[，k]）.
生E：也可以这样，2（S[，2k]-S[，k]）
=（a[，k+1]+a[，k+2]+…+a[，2k]）+（a[，2k]+…+a[，k+2]+a[，k+1]）
=k（a[，k+1]+a[，2k]）=k（a[，1]+a[，3k]）=k（2S[，3k]/3k），
因此S[，3k]=3（S[，2k]-S[，k]）.
即（S[，3k]-S[，2k]）-（S[，2k]-S[，k]）=（S[，2k]-S[，k]）-S[，k].
等差数列前n项和性质1 S[，n]为等差数列｛a[，n]｝的前n项和，则S[，k]，S[，2k]-S[，k]，S[，3k]-S[，2k]…（k∈N[*]）成等差数列.
3.凸现思想、引导灵活思维
（联系旧知，探索新知后，学生此时已处于知识简单积累后的膨发状态，思维状态已从再现性思维转向开放性思维，不再是简单地模仿与选择，而是转向分析与综合，并开始进行多向思维.）
师：运用性质1可以解释A的疑问.证明性质1时，主要运用了等差数列的定义及通项的有关性质.若将题（1）改成题（5）：已知S[，m]=210，S[，2m]=1220，求S[，3m]除了上述方法，还有其他方法吗？
师：数列的本质是特殊的函数，这一点应深刻理解.
生F：等差数列通项公式是关于n的一次函数，同样考虑S[，n]，S[，n]=na[，1]+n（n-1）d/2=（d/2）n[2]+（a[，1]-d/2）n=f（n）是关于n的二次函数，通过S[，m]，S[，2m]，求出a[，1]与d，则可求出S[，3m].
师：刚才有同学在笑，可能认为F与A的方法是一致的，事实是这样吗？谁能帮F一下，不走回头路呢？
生G：我认为F给出的S[，n]函数特征不明显，令a=d/2，b=a[，1]-d/2，则S[，n]=f（n）=an[2]+bn是常数项为零的二次函数，题（5）转化为已知f（m）=am[2]=210，f（2m）=4am[2]+2bm=1220，求f（3m）=9am[2]+3bm.可以把am[2]，bm看成两个未知数求解.
师：系数d/2与a[，1]-d/2换成a，b后未改变实质，但函数形式更明确，有创意.但G的表述有一点小问题，那就是——
生：S[，n]=f（n）=an[2]+bn，不一定是二次函数，若a=0，即d=0，则S[，n]=na[，1].
师：很多同学存在看到f（x）=ax[2]+bx+c就是二次函数的思维定势，要注意突破.
（解题过程中学生往往不是一帆风顺的，思维能力的培养并不在于该问题解决的本身，而在于通过问题解决过程中不断反思，寻求新的思维起点，从而使思维能力获得不断提升.）
等差数列前n项和性质2 若S[，n]为等差数列｛a[，n]｝的前n项和，则S[，n]=f（n）=an[2]+bn（a=d/2，b=a[，1]-d/2）.（1）当d=0时，S[，n]=f（n）=na[，1]；（2）当d≠0时，f（n）是常数项为零的二次函数，其图象为经过原点的抛物线上的点，d的符号决定抛物线开口方向.
师：等差数列前n项和S[，n]=f（n）=an[2]+bn既有二次函数的特征，又有数列的特殊性，应用广泛而灵活.下面运用它去解释题（2）（3）（4）的结论.（分三组讨论，代表发言.）
生H：对题（2），若d≠0，由S[，10]=10与S[，20]=20，知（10，10）和（20，20）在抛物线上，这两点也在直线y=x上.则直线y=x与抛物线f（x）=ax[2]+bx有3个不同的交点，这是不可能的，故d=0.
生I：对题（4），由S[，10]=S[，20]知d≠0且f（10）=f（20）.记M（10，S[，10]），N（20，S[，20]），则线段MN的中垂线x=15为抛物线的对称轴，所以原点（0，0）关于直线x=5的对称点（30，0）也在抛物线上，即S[，30]=0.
生J：对题（3），可以用S[，n]=an[2]+bn轻松解决，但到目前为止我们还未找到像其他两题那样的图形解释.（J的幽默使教室充满了笑声）
师：是真的不能用数形结合解释，还是“不识庐山真面目”呢？
（学生再一次陷入沉思，简洁、优美的思维方法给他们带来了无穷的乐趣，他们已经进入了数形结合的美妙世界，思绪也进一步被打开.）
生K：既然S[，n]=an[2]+bn（a≠0）是常数项为零的二次函数，则S[，n]/n=an+b就是关于n的一次函数，因此
是等差数列，则P（10，S[，10]/10），Q（20，S[，20]/20），
（K创造性的解法令其他同学目瞪口呆，不少同学沉思片刻后就鼓起掌来.）
等差数列前n项和性质3 等差数列｛a[，n]｝的首项为a[，1]，公差为d，S[，n]为其前n项和，则数列是首项为a[，1]，公差为d/2的等差数列.
4.透析本质、形成创新思维
（虽然课将结束，但学生通过类比、归纳、猜想等思维方法探求到书本上没有的知识，体验知识形成的过程，还沉浸在发现的快乐之中，此时是学生大脑皮层最兴奋，求知欲最强，也最容易奇思异想的时刻，偶然的一次“点击”都会迸发出“耀眼的火花”.）
师（提出更高的要求）：我们已有多种方法解决题（5）并得到了一些成果，但我希望有同学用最快的方法来获得题（5）的答案作为本节课的结束.
（教室内顿时安静了下来，但学生的思绪却如同脱缰的野马在奔腾，谁都希望成为最后的“幸运之星”）
生L（抑制不住内心的激动站起来）：从题目条件及上述几位同学的解法来看，答案是与m无关的，可令，m=1，则题目转化为：已知等差数列的S[，1]=210，S[，2]=1220，求S[，3].（大家报以热烈的掌声…）
二、分析与反思
课后对几位发言同学作调查与研究，发现他们的思维可分3个层次：学生C、F的分析方法属于较低层次的思维，该层次的思维状态是常规思维，思维方式往往是辨别模式选择方法，思维方向是正向思维，思维态势往往是再现性思维；学生D、E、G的分析方法是中等层次的思维，该层次的思维状态是灵活思维，思维方式往往是注重分析与综合，思维方向除正向思维之外，还有多向思维，思维态势往往是开放型的；学生K与L的分析方法是高层次的思维，该层次的思维状态是创造思维，思维方式往往是善于归纳，能抓住问题的本质，思维方向是多向的，特别是逆向思维，思维态势往往是动态的.
作为数学教育现代化的一个重要内容，对学习过程中思维活动的深入研究导致了教育思想的根本变革.按照建构主义观点，这应被看成一切教学工作的实际出发点.对学生真实思维活动的深入了解与分析已在国外的数学教学研究中获得高度重视，国内一些优秀教师也早就提出既“备课”又“备人”，而后者就是指我们应深入了解学生的情况，特别是学生真实的思维活动.那么在实际教学中，我们应该怎样做呢？
教学中应充分暴露学生思维过程，如让学生参与揭示知识的发生过程、参与例习题分析的思维过程、参与数学思想方法总结的全过程.要给学生时间与机会讲出解决问题的各种想法和思路，哪怕是思路受阻或错误的，也要让学生暴露受阻或错误的原因.教师应认真钻研教材，把概念理解、知识掌握、例习题分析、问题解决等按思维层次结构进行设计，使每一个学生经历由浅入深、由易到难、由具体到抽象的探索过程.这样层层递进、环环相扣，符合学生的认知规律，能有效调动学生学习的主动性，使学生的思维能力在原有的基础上都有所发展，逐步提升到同一平台，最终达到“共同富裕”的目的.