让学生担当课堂的主角———堂双曲线的几何性质复习课的教学实录，本文主要内容关键词为：双曲线论文,几何论文,课堂论文,主角论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教材版本
普通高中课程标准实验教科书人教版数学选修1-1
二、教学设计
1.教学内容分析
圆锥曲线是高中解析几何的重要内容之一，双曲线是圆锥曲线的一种。双曲线的几何性质中的离心率与其特有的渐近线成了历年来高考的热点。
2.学生状况分析
浙江省瑞安中学是省重点中学，学生素质相对较好。但由于是高三第一轮复习，而且授教的班级是文科班，因此，学生基础相对薄弱，学生对学数学的兴趣也相对淡薄。在这之前，学生已复习好椭圆的几何性质，掌握了椭圆中如何利用其几何性质来求方程的一些思想与方法。
3.教学目标
通过提出问题（画双曲线的图像）、解决问题，增强学生对双曲线的几何性质的理解，特别是渐近线方程与双曲线方程的关系；通过学生亲历编题、析题、解题促进学生归纳、总结和反思的学习能力及创新意识与能力的培养，激发学生学习数学的兴趣和研究数学问题的自主性，同时渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法。
三、教学实录
1.创设情境，激发热情
教师：同学们能较为准确地画出
的图像吗？（给学生适当思考时间）
教师：请学生A上台板演。
（一会儿，学生A完成了）
教师：学生A，你能否叙述一下作图的思维过程？
学生A：先把双曲线的方程化为标准方程：
，再求出其顶点坐标
，及渐近线方程y=±2x并画出图像，渐近线的作用是可以较准确地画出双曲线在远处的趋向情况，然后结合图像关于坐标轴及原点对称画出。
教师：如何判定图像是轴对称图形，又是中心对称图形？
学生A：（稍停顿思考）方程中用-x代x，或-y代y，方程并不改变，所以它关于y轴或x轴对称；用-x代x，-y代y，方程也不改变，所以它又关于原点对称。
教师：（面向全体学生）大家赞同学生A的分析吗？
学生（众）：是的。
教师：学生A分析得非常好！（多媒体显示双曲线
的几何性质：范围，对称性，顶点，渐近线，离心率）
教师：已知双曲线的方程，我们可以求出它的一些性质；反之，如果已知双曲线的某个性质，能否求出它的方程呢？比如，已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，你能否求出它的方程？
学生（众）：在草稿纸上笔划着。
教师：学生B（数学科代表）你有想法吗？
学生B：我觉着求不出它的方程。因为通过作图我发现以直线y=±2x作为渐近线方程的双曲线不唯一，比如除了上面提到的双曲线外，我发现焦点在y轴上的双曲线
也满足。
教师：很好！方程也就是把方程中的“1”改为“-1”。
教师：仅仅是这两种吗？
（学生思考）
教师（拉长声音）：把“1”改为“-1”是满足条件的。
学生B（激动）：老师，我发现把方程中的“1”改为“2”或“3”或“-2”或“-3”等等也都是满足其渐近线方程为y=±2x的！
（其他学生纷纷验证并点头表示赞成）
教师：很好！学生B你能否写出满足条件的双曲线系方程呢？
学生B：（胸有成竹）
。
教师（提示）：λ∈R?
学生B：（豁然开朗）λ≠0，因为当λ=0时，它就表示直线了。
（其他学生向学生B投来了赞许的目光）
教师：真棒！当λ＞0时，表示焦点在x轴上；λ＜0表示焦点在y轴上。学生B的这种推理过程很值得大家去借鉴与学习。
教师：（在黑板上写出）渐近线方程为y=±mx的双曲线系方程是
（λ≠0）。
2.尝试编题，意义建构
教师：请看下面例题
已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，（请附加一个条件）______，求满足条件的双曲线的标准方程。
（给学生适当思考时间）
教师：请同学们抓住机会，体验一下编题的感觉吧。
学生们很活跃，纷纷举手
学生C：“它的一个焦点坐标为(5，0)。”
学生D：“过点P(2，2)。”
学生E：“虚轴长为4。”
学生F：“离心率为2。”
学生：……
（教师板书记录）
教师：很好！同学们思维很活跃。由于时间关系，今天我们只能解决同学C、D、E、F四位同学编的题目，其余的当课后作业。
教师：请G、H、I、J四位同学上来板演。（教师环绕教室观察学生的完成情况）
教师：好！首先有请四位命题的“老师”点评下自己命的题及同学的解题情况。
学生C：我的题比较简单，给定焦点坐标，就定了双曲线的焦点位置在x轴上。同学G做得很好，注意到了方程中的λ＞0。
教师：非常棒！“老师们”不但分析得简明扼要，有条有理，而且也让我们明白了她们命题的意图。实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程都不能直接确定双曲线的焦点所在的轴，因此，在解决相关问题时应该先定性（确定焦点的位置），后定量（求出
的值），无法确定位置的，得讨论！
教师：另外，我感觉同学F错得有价值！因为出了错，才给我们留下了非常深刻的印象，使我们进一步明白了渐近线与离心率的关系！显然离心率是影响着双曲线的张角大小。e越大，斜率越大，倾斜角越大，张角就越大，张口越开阔；e越小，斜率越小，倾斜角越小，张角就越小，张口越扁狭。
教师：同学们编的很好！让老师也编个吧，“焦点到渐近线的距离为1”。
（思考片刻）
教师：同学K分析得很好！老师的题目难点也是在于无法定性，因此也得分类讨论。
3.归纳猜想，形成结论
教师：（几何画板演示：拖动焦点，改变其到渐近线的距离，提示学生观察值的变化）有什么重大发现吗？
学生：观察到b的值与焦点到渐近线的距离相等。
教师：是巧合吗？
（学生纷纷计算验证）
图1
教师：对！焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。
4.题组训练，提高能力
已知双曲线
(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)，过F作渐近线的垂线交于点A，A关于x轴的对称点为B，如图2。
(1)以F为圆心且与渐近线相切的圆的半径是______。（07陕西）
(2)△OAF的面积为
，则两条渐近线的夹角为______。（05年湖南）
(3)如果以AB为直径的圆过点F，则双曲线的离心率为______。（05山东）
(4)延长FA交双曲线另一条渐近线为点M，若A为MF的中点，则双曲线的离心率为______。
学生（众）：(1)圆的半径就是焦点到渐近线的距离b。
教师：学生L，你来解决(2)吧。
图3
（同学们开心地笑了）
5.课堂小结，提炼知识
教师：通过刚才几个具体问题的解决，请大家来谈谈自己的收获吧。
学生F（编错题的学生，主动发言）：编题感觉真好！但是要小心，否则会编错题的。要弄清渐近线方程与双曲线方程的关系，渐近线与离心率的关系。
学生I：求双曲线的方程时，先要分清双曲线的焦点的位置，然后再求基本量，这点我深有体会。
教师：对极了。除此之外，问题解决中还体现出了数形结合、分类讨论和化归与转化等思想方法，这些都是数学中比较重要的思想与方法，需要同学们能掌握与运用。
6.课外作业（思考）：反比例函数
是双曲线吗？
四、课后反思
1.合理使用教材和资料，有效选择例（习）题
高三复习课，不能因为教学的对象是高三学生，在选题上片面注重“高、大、全”，追求“新、奇、难”，对那些既是基础又富有内涵的题目不屑一顾，忽视对学生进行基础知识和基本技能的强化，但也不能只是对基础知识的简单罗列，习题解法的演示，这样难免使学生感到厌倦，深陷题海无所适从。
2.注重教学模式的多样化，提高复习效率
复习就是再现学习过程，将已学知识加以梳理，纳入整体系统之中，复习课要达到进一步完善优化学生的知识结构，提炼数学思想方法，引导学生感悟数学思想，提高学生解决问题能力的目的。但长期以来，复习课在教学中并不讨学生喜欢，追其原因，复习课的方式过于僵化、呆板，一般都是“整理+练习”的板块结构，教师组织复习课，大多是一厢情愿机械地对所学知识进行简单的重复、堆积、罗列，学生缺乏主动性……这样一来，教师讲得累，学生听得累，但效果往往又不理想。《新课标》指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
3.教师要创设和谐的共同探讨的学习环境
新课程要求教学是平等的、民主的，要构筑起共同探讨的学习环境。一节成功的课堂应当是教师创设好宽松和谐的学习环境，对学生在学习活动中的表现给予充分的理解与尊重。宽松和谐的环境并不完全依靠故事、游戏或生动的情景来创设。教师形象生动、富于智慧的语言，一个含蓄的微笑，一句鼓励的话语，一个富有启发性、创造性的问题，一个激起学生强烈学习兴趣的探索活动，这些都可以为学生创设一个良好的学习环境，使学生不仅学会知识，形成技能，也获得情感上的丰富体验。
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