2014年中学入学考试中的数学：一种面对面的特征试题_数学论文

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      连云港卷第27题

      某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.

      问题思考：

      如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、PBFE.

      

      （1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.

      （2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.

      问题拓展：

      （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动.求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长.

      （4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

      

      突出模型建构 考查几何直观

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.”事实上，对复杂几何问题的解决途径的探究，总是凭借知识经验和思想方法，在直观视觉与比较分析的基础上，构建出包含众多要素及其结构关系的几何模型而实现的.本题的最显著特色在于命题者通过四个不同层次的问题解决，以模型建构为外显特征，有目的、静悄悄地渗透了对观察力、想象力等几何直观和几何直觉思维能力储备状况的考查.

      1.借助知识建模，考查直观观察力

      心理学家认为，“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力.”这里的“具体的对象”应该是以知识为载体的问题，而问题解决的过程就是释放直观观察力，完成对知识建模的过程，因为观察是思维的物质外壳.

      回溯解题思路，第（1）问既可以根据题意中最直观的变量特征，建立二次函数模型，还可以根据图形观察，以“母子正方形”为模，直观判断两个正方形边长相等时面积之和最小.作为整个问题的起始问，入口的“浅而宽”清晰可见，要建构合适的知识模型解决问题并不难，所以试题真正的考查指向是考生在阅读题设和观察图形的过程中，其直观观察力能否迅速从对象或现象的变化中感知出本质，并完成知识模型建构.

      2.借助方法建模，考查直观想象力

      数学家克莱因认为，“数学的直观是对概念、证明的直接把握.”把这里的“概念”“证明”放到“通用”位置则是方法建模之意.而概念通化的过程就是直观想象力捷足先登的过程，因为探索问题解决思路以及预测结果离不开想象力的帮助.

      回归解题路径，第（2）问的解决可以以“蝶形相似”为模，设元计算，也可以根据图形直观判断，需要建立“等（或同）底等（或同）高的两个三角形”模型，进而催生寻找平行线的思考路径.就几何直观而言，学生自从证实“平行线间的距离处处相等”之后，结合特殊四边形的特性可获悉：在梯形或平行四边形中可直观构造“面积相等的三角形”.而这一基于“做”数学的“直观构造”的过程，正是以方法建模为表象，释放直观想象力的过程.所以第（2）问以落实过程目标考查为前提，借助方法建模，对学生的几何直观想象力也进行了有效考查.

      3.借助经验建模，考查直觉思维能力

      西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分的逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识.”这里的“未经充分的逻辑推理”就能“直接洞察对象的本质”，是思维者调动自己的全部知识经验，仰赖直觉思维才拥有的“从天而降”的本质把握.

      回望试题条件和回流思考路径，学生纵然有“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”“三角形的中位线等于第三边的一半”“最小值问题与对称相关，与函数问题相连”（本题要考查的最基本知识）等经验图式，但还不足以顺利解决最后两问.学生需要凭借积累的丰富经验，根据第（3）问中点P、Q分别在三段相等的线段上呈“周期性”运动变化，择其一段，由PQ长度的不变性分离并抽象出教材中的“梯子靠墙问题”模型；根据第（4）问中点O在起点与终点时的位置，直观判断点O的运动路径为线段，并用中位线知识解决；根据点M、B是定点，动点O在定直线上运动，将OM+OB的最小值的求解从复杂的图形背景里剥离出来，并完善为“将军饮马问题”模型.这里看似“未经充分的逻辑推理”，直接分离或完善出相关模型，直接将不可视的轨迹直观呈现于脑海，但实际上包含了经验建模在复杂问题情境中跃迁的过程，更是直觉思维能力作用的结果.这也是试题为进一步凸显能力考查而选择的一个最佳落脚点.

      本题初看似乎“文眼”较大，主线不明，但实际上“形散神不散”，站在几何直观的角度来审视，可以清晰地看到斯托利亚尔所说的典型的“经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用”三个层次的探究活动，试题高远的立意也就可见一斑了.

      盐城卷第27题

      问题情境：张老师给爱好学习的小军和小俊提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F.求证：PD+PE=CF.

      小军的证明思路是：

      如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF.

      小俊的证明思路是：

      如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF.

      变式探究：如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF.

      

      请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

      结论运用：如下页图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在C′处，点P为折痕上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值.

      

      熟而不俗 韵味悠长

      特色1：熟而不俗，新颖别致.

      初看本题，似曾相识.它取材于教材及平时例、习题，考查内容为学生所熟悉，如：“问题情境”中“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高”（以下简称“结论1”），这一结论在旧版本几何教材中是作为定理出现的，新课改后被删去.由于结论1的证明很好地体现了等腰三角形腰相等及等边对等角等性质，因此大部分教师会作为例题或习题进行补充，对学生来说属于“熟题”；又如：“结论运用”中矩形ABCD折叠后构成菱形，以及相关线段长度的计算，是由苏科版《数学》八年级下册P.111第20题改编而来；再如：“迁移拓展”中由条件AD·CE=DE·BC判断三角形相似，也是学生熟悉的问题.但命题者的高明之处在于：（1）命题方式不落俗套，如：“问题情境”中将常见的证明题以阅读题的形式给出，仿照苏科版教材上插图注解形式给出两种证明的简要过程，通过阅读理解、方法迁移来解决新问题，题型新颖别致，让熟悉此题的考生倍感亲切，让不熟悉此题的考生通过对给出思路的理解、甚至模仿也能解决问题，这样处理在降低难度的同时保证了试题的信度；（2）知识点组合方式新颖，以“阅读理解—方法迁移—模型应用”为主线将众多零散的知识点巧妙地穿插组合，既在情理之中，又在意料之外，给人耳目一新之感.

      特色2：构思精巧，韵味悠长.

      本题分问题情境、变式探究、结论运用、拓展迁移四部分，起点低，入口宽，区分度高，各小题之间富于关联又极具发展性，构思精巧，韵味悠长.“问题情境”中以阅读材料的形式给出了结论1的证明方法：用面积法或者构造全等三角形来解决问题，并在读懂的基础上来解决变式探究中的问题，可以说“问题情境”是解决“变式探究”的基础，体现了图形变化后方法的不变性，加深了对结论1的理解，为结论1的应用做好铺垫.“结论运用”部分将结论1抽象成数学模型，在矩形的折叠问题中巧妙地运用结论1解决问题，属于模型的直接应用.“迁移应用”则需要考生自行构造等腰三角形的条件，将新问题转化为熟悉的问题进行解决，属于模型的间接应用.整道试题层次分明，逐步递进，以阅读探究为主线引导学生的思维拾级而上，符合人们认识事物由简单到复杂，由直接到间接循序渐进的规律，体现了新课标关于课程和教学的总体要求：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”

      特色3：能力立意，凸显思想.

      本题作为压轴题综合考查了等腰三角形的性质、全等三角形的构造、图形的折叠、矩形的性质、菱形的判定、勾股定理的运用、相似三角形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等基础知识.问题解决以方法迁移和模型应用为基础，问题解决过程中渗透了类比、转化、抽象、模型应用等数学思想.要求考生理解所给材料的作用和用意，依据材料给出的方法和结论对新问题进行类似的方法迁移，并进一步将结论抽象成数学模型，观察模型使用的条件，是直接应用模型，还是构造条件，转化后再应用模型.试题不仅考查了学生的阅读理解能力、观察分析能力，还考查了学生的直觉思维能力、灵活变形能力，策略选择能力.在直接应用的结论过程中积累解题经验，为间接构造应用结论做铺垫.试题体现了“四基”（基础知识、基本能力、基本思想、基本活动经验）有很好的区分度，使考生在获得方法经验的基础上，应用经验来解决新问题

      中考试题历来是教师教学及学生学习的风向标，引领着教师的教和学生的学.本题作为压轴题并不是知识的简单堆砌，而是通过阅读引导学生学习新方法、新知识，并创造条件应用新知识，能力要求较高.这就需要教师在平时的教学中要以课本为本，钻研教材，用活教材，做到一题多解、一题多变、多题归一、揭示解题方法及解决问题过程中所体现的数学思想；要认真、准确地把握学生的认知基础，耐心倾听学生的表述，引导学生分析、比较、尝试、调整，使学生解一题，会一类，通一片.教师要指导学生改变学习方式，通过观察、思考、探究等形式诱导学生主动探究，增强学生研究问题的意识，养成应用数学解决问题的习惯，形成良好的思维品质.

      济宁卷第20题

      在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：

      （1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；

      （2）设计的整个图案是某种对称图形.

      王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告.

      

      基础与创意并重 能力与技巧共存

      特色1：形式——图表结合，一目了然，彰显简约之美.

      不少中考试题特别是探究题往往有较长的文字表述，阅读量较大，图形复杂，无形中增加了解题的难度和考生答题时的紧张情绪，不少考生不是输在数学知识上，而是败给了读题.本题言简意赅，其中表格的运用更是简约明了，使得重要信息一览无余，这不但便于学生快速捕捉、理解有效信息，而且能很快明确自己的任务.整道试题给人一种明快自然之感，有效避免了非数学因素的干扰，为考生成功解题做好了心理铺垫.同时以圆为载体，将图形变换、轴对称、中心对称、作图等重要知识完美地联系起来，具有一定的综合性和灵活性，别致精巧，平中见奇.不但很好地考查了学生对基本图形、基本知识的理解与认识，还考查了学生的分析能力、综合能力.通过表格的命题形式实现了“浓缩精华”，堪称“形式简约，内涵丰富”之典范.

      特色2：方法——灵活多样，精彩纷呈，创意无限.

      本题具有较强的开放性，给了考生一定的发挥空间，四等分圆的解法是多种多样的.按不同的构造方法，笔者把解法简单地分为十字型、套圈型和创意型，其基本图形如图1所示.

      

      （1）十字型

      十字型又可以细分为以下四种情形：

      ①在图1（1）的四条半径上，分别构造一个凸出的全等图形，如图2所示.

      

      ②在图1（1）中圆的半径上，构造出既有凸出也有凹入的全等图形.如下页图3所示.其中，图3（1）～图3（3）是双半径构造的情形，图3（4）～图3（6）是四半径构造的情形.

      

      ③在图1（1）的内部以圆心为中心画一个正方形，描出正方形的4个顶点和各边中点（如图4），与圆上的4个点进行恰当的连接，可以作出符合题意的图形，如图5所示.

      

      ④在图1（1）的内部画一个四等分图形（常见的是圆和正方形），把内部的图形适当旋转可以做出符合题意的图形.如图6所示.

      

      （2）圈套型

      

      （3）创意型

      这是四等分圆的一些特殊解法，不容易想到，图8是其中的两种分法.

      

      

      特色3：立意——源于教材，凸显能力，少算多思.

      本题源于人教版《数学》九年级上册P115的第10题，增加了用三种作图工具设计成某种对称图形的要求，源于课本又高于课本，体现了直观感知和理性思考的结合.素材选择上以圆为载体，将众多知识点有机地组合在一起，设计巧妙.本题不同于其他几何试题，它让学生依据已知条件和图形，在空白的圆内，根据自己的知识储备进行创新，需要考生对所学知识有通透的理解并灵活运用.一道看似简单的四等分圆的题目，虽然没有复杂的推理和冗长的计算，但考查了学生的理解能力、作图能力、实验设计能力、推理能力、迁移能力，应变能力，要求考生具备良好的思维能力和数学素养.而且这种开放型的图形操作题在各省市的中考题中出现甚少，需要考生具备很强的探究能力、发散性思维和创造性思维，真正体现了从知识立意到能力立意的转变，值得我们关注和研究.

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