浙江省瑞安市湖岭镇中学
【摘要】：数学课标（实验稿）中指出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法”。数学“基本图形”是数学思想方法中的其中一种。数学知识是有“形”的，它明显地写在教材中，而数学“基本图形”是无“形”的，是隐含在数学知识体系中的。需要我们教师去发现、去提炼、去渗透到教学中。学生在已有知识体系中，获得“基本图形”就会如虎添翼，使解题得心应手。大大的提高了学生的解题素养。
关键词：基本图形、解题素养、数学思想
波利亚曾说过：“学习数学的目的就意味着解题”。而解题的关键是找到合适的解题思路，而“基本图形”就是帮助构建解题思路的有效途径和策略。特别是初三中考复习阶段，很多时候是打着“温故而知新”的旗帜去“炒着冷饭”。然后就是大量的题海战术，教师累学生更累，最后的效果就一般般了。用学生的话回答就是“我做了很多题但是考试还是考不起来”。问题究竟出在哪儿呢？首先我对学生持之以恒的学习态度表示赞赏，但对他的学习方法就不敢苟同了，因为他成了做题的“机器”。 做题变成了任务，每天有做不完的题，做了之后来不及反思、又急忙去做题，没有在解题中沉淀下属于自己的思想方法和解题技巧，自然考试就考不好了。所以为了“减负提质”，提高我们的数学解题能力，我们在教学时要对数学本质的东西进行挖掘、提炼出模型或方法，从而达到会一题而明一路，通一类的效果。数学“基本图形”就是基于数学知识的基础上，归纳出来的数学本质，并为解决相应的数学问题提供帮助的一种模式。
比如我们在复习三角形相似的性质时，这一块的数学知识点是“相似三角形对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方”。我们可以事先给出简单的练习（先达到温故的目的）：案例1：如图，△ABC中D、E是边AB、
；
通过以上的练习把隐蔽在知识内容背后的“基本图形”提炼出来，并用此模型去解决这类数学问题就非常有效了。比如案例2：在△BCC2中，A1,A2,A3是边BC的四等分点，且A1B1∥A2B2∥A3C2,若S△A1B1C=a,则S△A3BC2= .
分析：由“A字模型”与图2模型可知△A1B1C
与△CA2B2与△CA3C2的面积之比为1:4:9，易得
△CA3C2的面积为9a，又∵上述图1模型可知
△CA3C2与△A3C2B的面积之比为底边CA3：A3B=3:1
易得S△A3BC2=3a，教师做到这里继续拓展下去，
让适量的练习题去帮助学生加深理解这种“基本图形”。
变式训练 1：延长BC2至C1，使得C1C2=BC2，连接CC1，
C1B2延长A1B1交CC1于B3,则S△C1C2B2=
分析：由图2模型△A3BC2与△BA2C1的面积比为1:4，而四边形A2B2C2A3的面积为5a，∴△C1C2B2=4a，
变式训练2：继续延长C2C1至A,使得AC1=C2C1连接AB3，如图，若S△AC1B3+
S△A3BC2=9，则S△C1C2B2=
分析：△CBC2与△CC1C2的面积都为12a，有图1模型得△CC1B2与△C1C2B2的面积之比为CB2：C2B2=2:1，∴△CC1B2=8a，在△CC1B2中又有图2模型可知
S△CB3B1=2a，四边形C1B2B1B3的面积=6a，继续有图2模型得到△BA3C2与
△BA1A的面积比为1:9，∴S△BA1A=27a，∴S△AC1B3=6a，∴3a+6a=9,即a=1，S△C1C2B2=4，通过上述师生共同的探讨研究，学生对三角形相似的周长比和面积比有比较深的理解。古人云：“授人以鱼不如授人以渔”，传授知识固然重要，传授思想方法和技能更是难得，后者更有利于培养学生的创造性思维品质和为追求真理而勇于探索的精神。在此要趁热打铁再给出几个类似的题目让学生去解决（可以是家庭作业的形式）。作业1：如图，△ABC，△DCE, △GEF都是正三角形，且B，C，E，F在同一直线上，A，D，G也在
设△ABC，△DCE,
△GEF的面积分别为S1，S2，S3，
当S1=4，S2=6时，S3=
作业2：如图，
已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC，CE，EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC，DC，DE于点
P，Q，K，其中S△PCQ=1，则图中
三个阴影部分的面积和为
上述作业题都可以用图1模型或
图2模型来解决（这里就不在叙述了）。
我想学生经历了主动参与、积极探索、发现“基本图形”并应用“基本图形”解决数学问题等一系列的活动。开阔了他们的视野，锻炼了他们的思维，提高了解题素养。
我们知道在人的一生中，最有用的不仅仅是数学知识，虽然数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此在平时的教学中要始终想到渗透数学“基本图形”思想的方法。比如案例3如图：AB⊥AC于点A，CD⊥AC于点C，P是AC上一点，且BP=PD，BP⊥PD，则△ABP≌△CPD，
试说明理由：
此题证明比较简单：∠A=∠C=Rt∠，∠APB=∠CDP
BP=PD, ∴△ABP≌△CPD(AAS)
这是数学中的又一个基本图形（K型图），由它可以解决很多几何问题。因此我们在复习中要提炼出“K型图”基本图形，然后给出相应的练习题进行巩固：
案例4：构造如图,四边形JIHF，FBAG，ACDE都为正方形。四边形KIDL为长方形,已知AC=3，图中空白面积是14.4，求阴影部分的面积
分析：仍然构造出原题中的一个基本图形，
即△HBF≌△BCA，设BC=HF=x，
S四变形KJFN+S四边形MAEL+4S三角形ABC=14.4
即3x+3x+4× 3x=14.4 ∴x=1.2
∴阴影部分的面积=
上述练习题要让学生自主参与探索，经历基本图形的发现、运用、到解决问题的过程。让他们去体验利用“基本图形”可以解决一类问题，而不仅仅是一个问题。这有利于学生明白“基本图形”在解题中的重要性，也有利于提高学生的解题素养。上述案例是“K型图”全等类型的应用。学生通过已有“K型图”或构造“K型图”来解决数学问题。同时“K型图”也可在相似中应用。
案例5：如图AB⊥AC于点A，CD⊥AC于点C，P是AC上一点， BP⊥PD，若AC=4，
每种情况都可以通过做辅助线构造“K型图”（这里给出
一种情况如右图其它三种情况这里不做叙述）
利用相似三角形对应边成比例从而获得结果。
通过上述几个练习题的解决，进一步让学生明白数学基本图形在解题中的重要性。也加强了学生对上述基本图形的深刻认识，为今后解决类似题目掌握了窍门。只要我们在平时的教学中，练习中注重数学基本图形的渗透，就有利于学生解题能力的提高。数学基本图形还有很多，这里就不在一一介绍了。总之利用数学基本图形解决问题是一种很有效的方法与策略，它能提高学生的解题速度和转化能力，有利于学生创造性思维的发展。因此在平时的教学中要始终想到渗透数学“基本图形”思想的方法。
美国教育心理家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。 因此数学的思想方法是数学的灵魂和精髓。总之，我们在教学过程中要加强对数学问题本质的挖掘和提炼，重视数学“基本图形”渗透，提高学生解题素养。通过渗透，尽量让学生达到对数学“基本图形”及解题方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力。
论文作者:王品寿
论文发表刊物:《文化研究》2017年3月
论文发表时间:2017/7/7
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